数学人教A版（2019）必修第二册6.1平面向量的概念 课件（共19张ppt）

(共19张PPT)
第六章
平面向量及其应用
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
一
二
三
学习目标
从物理、几何背景入手，从矢量概念引入向量概念
类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义
了解相等向量、平行向量、零向量等概念
学习目标
章前导读
在现实生活照中，我们会遇到许多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等。
还有一些量则不是这样，如图中小船的位移。
　如图所示，小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地(速度为10 n mile/h)．如果仅仅给出指令：
“由A地航行15 n mile”，小船能否到达B地？
给出指令：“向东南方向航行”呢？
小船不一定能到达B地
东
西
北
南
45o
也不一定能
小船的位移
大小：15 n mile
方向：东南方向
方向和距离缺一不可
对于这种既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量。
新课导入
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量既有代数研究对象，也有几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究 数学其他领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。
本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系。在此基础上，用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。
新知探究
6.1.1 向量的实际背景与概念
像引言中的位移一样，物理中的力、速度、加速度也是这样的量.例如
G
物体受到的重力方向是竖直向下（如图），物体的质量越大，它受到的重力越大
F
物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（如图），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大
问题1 这些量有怎样的共同特征？
既有大小，又有方向
“一支笔、一棵树、一本书......”抽象出数量“1”，因此可以用实数表示年龄、身高、长度、面积的等.
对“既有大小、又有方向”的量抽象出向量，因此可以用向量表示诸如力、速度、加速度、位移等量.
概念生成
在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量。
向量
数量
只有大小没有方向的量称为数量.
比如：长度、面积、质量等等.
思考：数量与向量的联系与区别是什么呢？
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；
②向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，
故向量不能比较大小.
知识链接：物理学中常称向量为矢量，数量为标量。
你还能举出物理学中的一些向量和数量吗？
动量是向量，时间、路程、功是数量.
向量两要素：
大小，方向
向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.
6.1.2 向量的几何表示
新知探究
问题2 由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量．那么，该如何表示向量呢？
以位移为例，小船以A为起点,B为终点，线段长度代表小船行进的距离，在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向.于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移.
A(起点)
B(终点)
受此启发，可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向.
在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向．
思考：有向线段包含了哪些要素？
起点、方向、长度
A
B
具有方向的线段叫做有向线段(directed line segment)．
（起点）
（终点）
概念生成
有向线段
通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．
以A为起点、B为终点的有向线段记作 ，
线段AB的长度也叫做有向线段 的长度，记作 ．
知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了。
概念生成
向量的几何表示法
向量可以用有向线段 来表示，我们把这个向量记作向量 .
有向线段的长度 表示向量的大小.
用有向线段表示向量，使向量有了直观形象.
向量 的大小称为向量 的长度（或称模），记作：
向量的符号表示法
①用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如 ， . . .
②用小写字母表示，例如 . . .
印刷用黑体a，书写用a.
概念生成
两个特殊的向量
长度(模)为0的向量，叫做零向量，记作： .
长度(模)为1的向量，叫做单位向量.
即| |=0.
若向量 为单位向量，则| |=1.
思考1 与0有区别吗？为什么？
①0是一个实数 是一个向量，并且||=0，
书写时表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
思考2 零向量与单位向量有没有方向，方向是怎样的？
②规定零向量的方向是任意的
每个单位向量的方向视具体情况而定.
例1 在右图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离(精确到1 km)．
解： 表示A地至B地的位移，且 ≈ ．
表示A地至C地的位移，且 ≈ ．
典例解析
6.1.3 相等向量与共线向量
新知探究
下面，我们通过向量之间的关系进一步认识向量.
思考：观察右图,你有什么发现？
概念：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(parallel vectors)．
符号表示：向量 与 平行，记作：
图形表示：
规定：零向量与任何向量平行，即对于任意 ，都有
平行向量
相等向量
概念：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．
图形表示：
说明：任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定.
符号表示：向量 与 相等，记作：
新知探究
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上
O
A
B
C
l
如图，是a, b, c一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出 .
平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．
新知探究
共线向量
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
不一定
不一定
零向量
平行向量
长度相等且方向相同
不一定
零向量
回答下列问题：
概念辨析
典例解析
例2 如图示，设O是正六边形ABCDEF的中心.
(1) 写出图中的共线向量;
(2) 分别写出图中与 ，相等的向量.
解:
巩固练习
课本P4
3. 指出图中各向量的长度. (规定小方格的边长为0.5)
4. 将向量用具有同一起点O的有向线段表示.
(1) 当 与 是相等向量时，判断终点M与N的位置关系;
(2) 当 与 是平行向量，且 时，求向量 的长度，并判断 的方向与 的方向之间的关系.
定义
1.长度（模）
表示
有向线段
字母表示
零向量
单位向量
3.向量间的关系
相等
平行(共线)
向量
向量的有关概念
2.特殊向量
课堂小结