2023-2024学年第一学期省实深圳、深外龙华高二期末联考
数学试卷
2024.1
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.
第一部分 选择题（共60分）
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知抛物线方程为则抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 等比数列中，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（ ）
A. B.
C D.
5. 已知数列的通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（ ）
A. 1012 B. 1013 C. 1014 D. 1015
6. 已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少 有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知数列的前项依次为，则下列可以作为数列通项公式的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 当实数变化时，关于的方程可以表示的曲线类型有（ ）
A 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
11. 如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 直线与平面的夹角正切值为
D.
12. 已知圆过点，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，以为直径作圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的方程为
B. 面积的最小值为2
C. 圆的面积的最小值为
D. 切点的连线过定点
第二部分 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 双曲线的离心率为_______.
14. 已知是等差数列的前项和，若，则数列的前2024项和为________.
15. 已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为________.
16. 如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为________.
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知动点到两个定点，的距离的比
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作曲线的切线，求切线的方程.
18. 如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去;在这个过程中，记正方形边长为，正方形，第个正方形边长为，构成数列.
（1）写出；
（2）求数列的通项公式；
（3）记数列满足，求数列的前项和.
19 已知椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作倾斜角的直线，直线交椭圆于点，求面积.
20. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，
（1）求证：平面；
（2）若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
21. 已知平面直角坐标系下，抛物线的准线方程：
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线上两点满足，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
22. 已知数列的前项和，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的通项公式，若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列:与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前100项的和.2023-2024学年第一学期省实深圳、深外龙华高二期末联考
数学试卷
2024.1
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.
第一部分 选择题（共60分）
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知抛物线的方程为则抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的抛物线方程，求出抛物线的焦点坐标即得.
【详解】抛物线：的焦点在轴上，其坐标为.
故选：C
2. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出斜率即可得倾斜角.
【详解】直线的方程为，即，
方程斜率为，所以倾斜角为.
故选：D.
3. 等比数列中，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，进而求出首项即可得解.
【详解】依题意，等比数列的公比，则，解得，
因此，所以.
故选：B
4. 已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程表示圆的条件可得结果.
【详解】因为方程表示一个圆，
所以，
即，所以或，
故选：C.
5. 已知数列通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（ ）
A. 1012 B. 1013 C. 1014 D. 1015
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，确定数列的单调性，再求出的的最大值即得.
【详解】数列的通项公式，显然数列是递增数列，
由，得，而，因此数列的前1012项均为负数，从第起为正，
所以取最小值时的值为1012.
故选：A
6. 已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可.
详解】圆：，圆心，半径 ，
圆：，圆心，半径 ，
设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切，
得，则，
因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支，
即，半焦距，虚半轴长，
所以动圆圆心的轨迹方程是.
故选：B
7. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，以为基底，则可以表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案.
【详解】依题意，
.
故选：D
8. 在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出.
【详解】由，得，即，
而，则，即，，
由数列为递增数列，得任意的恒成立，
则，即恒成立，
当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为1，则，
当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则，
所以实数的取值范围为.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少 有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知数列的前项依次为，则下列可以作为数列通项公式的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
分析】根据通项公式逐一判断即可.
【详解】对于A：，符合；
对于B：，不符合；
对于C：，符合；
对于D：，不符合；
故选：AC.
10. 当实数变化时，关于的方程可以表示的曲线类型有（ ）
A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用曲线方程的特征逐一判断即可.
【详解】当时，方程为，即，此时方程表示直线；
当时，方程为
若，则方程表示双曲线；
若，此时无解；
当，方程表示椭圆.
方程可以表示的曲线类型有直线，双曲线，椭圆.
故选：ACD.
11. 如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 直线与平面的夹角正切值为
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：直接求解判断；对于B：通过证明面来判断；对于C：为直线与平面的夹角，计算其正切值即可；对于D：分别求出，，然后利用公式计算即可.
【详解】对于A：因为，
所以，
则，A错误；
对于B：因为，为线段中点，
所以，
又面面，面面，面，
所以面，又面，
所以，B正确；
对于C：因为面，
所以面，
所以为直线与平面的夹角，
又，C正确；
对于D：
，
又，
所以，D错误.
故选：BC.
12. 已知圆过点，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，以为直径作圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的方程为
B. 面积的最小值为2
C. 圆的面积的最小值为
D. 切点的连线过定点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆方程，结合圆的切线性质及圆与圆的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】依题意，圆的圆心在直线上，设，则，
解得，圆，其圆心，半径，A正确；
设，显然四点共圆，该圆的直径是线段，
方程为，整理得，
由消去二次项得直线的方程：，
直线：，由得，即直线过定点，D正确；
显然，当时，弦长最短，此时，
因此以为直径的圆的面积最小值为，C错误；
直线的斜率，当时，直线：与线段平行，
因此点到直线的距离最小值为两条平行直线与间距离，
而此时弦长最短，从而的面积的最小值为，B正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：①几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；②代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.
第二部分 非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 双曲线的离心率为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线方程直接求出离心率即可.
【详解】双曲线实半轴长，虚半轴长，半焦距，
所以双曲线的离心率.
故答案为：
14. 已知是等差数列的前项和，若，则数列的前2024项和为________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项及前项和，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】等差数列中，，又，则，
因此等差数列的公差，则，，
于是，
数列的前项和，
所以数列的前2024项和为.
故答案为：
15. 已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为________.
【答案】或2
【解析】
【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】直线，，
所以两平行线间的距离为，解得或，
故答案为：2或
16. 如图，在棱长为6的正方体中，分别是棱的中点，过三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实作出截面，再求出截面多边形周长.
【详解】直线与直线分别交于点，连接分别交于是，连接，
则五边形是过三点的平面截正方体所得截面，如图，
显然，，则，
，，而，
所以五边形的周长为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知动点到两个定点，的距离的比
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作曲线的切线，求切线的方程.
【答案】17.
18. 或
【解析】
【分析】（1）设，根据题中几何关系得，再利用两点间距离公式从而可求解.
（2）由（1）求出圆心，半径，设出直线方程，再结合直线与圆相切从而可求解.
【小问1详解】
设，由题意得，即，化简得，
所以动点的轨迹的方程为.
【小问2详解】
由（1）知化简为标准方程为，圆心为，半径，
设直线的斜率为，即直线方程为，因为直线与圆相切，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
18. 如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去;在这个过程中，记正方形边长为，正方形，第个正方形边长为，构成数列.
（1）写出；
（2）求数列的通项公式；
（3）记数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据图形特征，利用勾股定理求出；
（2）分析得到，从而得到为等比数列，进而求出通项公式；
（3）由题意，，进而求数列的前项和.
【小问1详解】
因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
第个正方形边长为，则那么第个正方形边长为，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
【小问3详解】
因为，所以，
所以
.
19. 已知椭圆经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作倾斜角的直线，直线交椭圆于点，求面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列出方程组并求解即得.
（2）求出直线的方程，与椭圆的方程联立，求出纵坐标差的绝对值即可计算面积.
【小问1详解】
依题意，且，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由直线过点且倾斜角为，得直线的方程为，
由消去并整理得，易知，
设，则，
于是，
所以面积为.
.
20. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，
（1）求证：平面；
（2）若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，分别计算平面与平面的法向量，用向量法求平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
因为四边形是菱形，则为的中点，
且所以，
又，且平面，
所以平面.
【小问2详解】
设菱形的边长为，，，
由（1）知平面，∴与平面所成的角为，
得到，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量，则，
即，令，则，所以，
设平面的法向量，则，
即，令，则，所以，
所以
因为二面角为钝二面角，则平面与平面夹角的余弦值为.
21. 已知平面直角坐标系下，抛物线的准线方程：
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线上两点满足，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过准线求出即可；
（2）设，，与抛物线联立，利用韦达定理计算，求出即可.
【小问1详解】
由准线方程：可得，即，
所以抛物线的标准方程为；
【小问2详解】
是抛物线上两点，明显直线的斜率不为零，
设，，
联立，消去得，
则，
所以，
解得，此时
所以，其过定点.
22. 已知数列的前项和，且
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的通项公式，若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列:与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前100项的和.
【答案】22.
23.
【解析】
【分析】（1）根据递推公式求出，从而求出，再验证从而可求解.
（2）分析数列前项中，各有多少项，然后再利用分组求和即可求解.
【小问1详解】
由题意知当时，，
当时，，即，
所以数列为等比数列，且，当时，也满足，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由题知，由（1）知，在数列中（含）前面共有：
项，
由，，解得，
所以数列前项中含有数列的前项，含有数列的前项，
所以
.
【点睛】关键点点睛：（2）问中的关键是计算出在数列中前100项中包含数列，的项数，利用分组求和法从而可求解.
