2023-2024学年山西省运城市高一（上）期末模拟数学试卷（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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绝密★启用前
2023-2024学年山西省运城市高一（上）期末模拟数学试卷
考试时间：100分钟；命题人：谢燕霞
题号 一 二 三 四 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.若方程在上有解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知、 是方程的两个实根，当取最小值时，实数的值是( )
A. B. C. D.
4.函数的部分图象是( )
A. B.
C. D.
5.已知扇形的周长是，面积是，则扇形的中心角的弧度数是( )
A. B. C. 或 D. 或
6.设偶函数满足：对任意的，，都有，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.下列函数是偶函数的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是
( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，若，且的最小值为，则下列说法正确的是
( )
A.
B. 函数在上单调递减
C. 对，都有
D. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
11.已知函数，则下列关于函数的零点个数的判断正确的是( )
A. 当时，有个零点 B. 当时，有个零点
C. 当时，有个零点 D. 当时，有个零点
12.定义：为集合相对常数的“余弦方差”若，则集合相对的“余弦方差”的取值可能为
．( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数，且图象不过原点，则 ．
14.已知函数的部分图象如图所示，则______．
15.已知角终边上一点的，则 ______．
16.在中，点为线段上任一点不含端点，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，设为的面积，且
求角的大小；
当取得最大值时，判断的形状．
18.本小题分
已知函数为实数，，
若，且函数的值域为，求的表达式；
在的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；
设，，，且为偶函数，判断能否大于零？
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的亲密向量，同时称函数为向量的亲密函数．
设函数，试求的亲密向量的模；
若，与同向共线，，记的亲密函数为，求使得关于的方程在内恒有两个不相等实数根的实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数且的图象恒过定点，二次数的图象经过点，且的解集为
求的解析式
求函数的最值
21.本小题分
已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有，且当时，，．
求证：是偶函数；
求证：在上是减函数；
解不等式．
22.本小题分
关于有如下命题：在正三角形内部不包括边界任取一点，点到三边的距离分别为，，，则为定值，证明如下：连接、、，设、、的面积分别为，，，的面积为，则有：其中为的高，根据上述思维猜想在正四面体四个面均为正三角形的三棱锥中的结论，并对猜想进行证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查诱导公式，根据诱导公式直接可得结果．
【解答】
解：因为，
所以．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：，
，
又，
又，
；
；
，
故选B．
由题意可得，再由可得；从而解得．
本题考查了对数运算与指数运算的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质的应用，属于基础题．
由题意可得判别式，求得或化简的解析式为，再利用二次函数的性质可得此式取最小值时的值．
【解答】
解：由题意可得，，
，
解得或．
当2
，
所以当时，取到最小值，
故选D．
4.【答案】
【解析】解：函数为奇函数，
图象关于原点对称，排除，．
当时，，
排除，
故选：．
将函数进行化简为，然后利用函数的奇偶性，以及取值符号是否对应进行判断．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的性质研究图象是解决此类问题的基本方法．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查了扇形的周长公式、扇形的面积公式等知识，属于基础题．
首先，设扇形的半径为，弧长为，然后，建立等式，求解、，最后，求解圆心角即可．
【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，则
，，
解得，或，
或，
故选C．
6.【答案】
【解析】解：结合所给的条件可得函数在区间上单调递增，
在区间上单调递减，且，
且：，则不等式等价于：
或者，
据此可得不等式的解集为：．
故选：．
由题意首先确定函数的性质，然后结合偶函数的性质分类讨论即可求得最终结果．
本题考查函数的奇偶性，函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
7.【答案】
【解析】解：，
则
，
故选：．
运用诱导公式可得，即可得到所求值．
本题考查诱导公式的运用，考查化简运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：为非奇非偶函数，不符合题意；
为非奇非偶函数，不符合题意；
为非奇非偶函数，不符合题意；
对于函数，定义域为或，
又，
所以为偶函数，符合题意．
故选：．
由已知结合基本初等函数的奇偶性检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数的奇偶性的判断，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，考查作差法比较大小，属于中档题．
根据作差比较大小的方法，对进行判断，中利用对数运算和基本不等式判断．
【解答】
解：已知．
选项A中，因为，所以，
则，，故A错误；
选项B中，因为，所以，，
则，，故B正确
选项C中，因为，所以，，所以，故C错误
选项D中，，
而，根据基本不等式中，故等号取不到，
所以，
，故D正确．
故选BD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正弦函数的图像与性质，属于中档题．
首先根据辅助角公式，然后由三角函数的图象与性质，结合诱导公式，逐项分析即可．
【解答】
解：由题意得，，故，故A正确
若，且的最小值为，
所以，，
所以，
当时，，
所以函数在上不单调，故B错误
因为，
所以是的对称轴，
即对，都有，故C正确，
将函数的图象向右平移个单位长度后得到
的图象，
所以，图象不关于原点对称，故D错误．
故选AC．
11.【答案】
【解析】解：，则由，
可得或，解之得或，
则由，可得或，
即或，
则，或或，或，
由得，由得，由得，由得，
综上，当时，有个零点，选项A判断正确；选项B判断错误；
当时，有个零点，选项C判断正确；选项D判断错误．
故选：．
先求得方程的根，进而得到函数的零点个数．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角恒等变换的综合应用，考查正弦型函数的值域，属于中档题．
根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得．
【解答】
解：依题意
，
因为，所以，所以，
所以．
故选ABC．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
利用幂函数的定义得到方程，然后解之即可，再根据图象不过原点排除．
【解答】
解：由题意，解得或，
时，，其图象过原点，不符题意，舍去，故，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：函数的部分图象，
可得，．
再根据五点法作图，可得，，
故答案为：．
由题意，根据特殊点的坐标求出，再根据五点法作图求出的值．
本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由特殊点的坐标求出，由五点法作图求出，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：角终边上一点的，、、，
则，，，
故答案为：．
由条件利用任意角的三角函数的定义求得和的值，可得的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为点为线段上任一点不含端点，
若，则，
，当且仅当且，即时取等号．
故答案为：．
由已知结合向量共线定理可得，然后结合乘法及基本不等式即可求解．
本题主要考查了向量共线定理，基本不等式求解最值，属于中档题．
17.【答案】解：在中，由余弦定理可得，
；
又，
，，
；
，
当时，取得最大值，
此时为等边三角形．
【解析】利用余弦定理得，将与，联立即可求得，而，从而可得角的大小；
，利用两角差的余弦与两角和的正弦可求得当取得最大值时，的值，从而可判断的形状．
本题考查三角形形状的判断，着重考查余弦定理、正弦定理的综合应用，考查两角和与差的正弦、余弦，属于中档题．
18.【答案】解：，
分
又函数的值域为，所以
且由知即
由得，分
．
分
由有，分
当或时，
即或时，是具有单调性．分
是偶函数
，，分
，，则，则又，，
分
，
能大于零．分
【解析】，又值域为即最小值为，求出的表达式再求的表达式即可；
把的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．
为偶函数对称轴为，把转化为再利用，，，来判断即可．
本题是对二次函数性质的综合考查．其中考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．
19.【答案】解：函数
，
的亲密向量为，
故的亲密向量的模为．
设，
则，
即
故的亲密函数为，
关于的方程在内恒有两个不相等实数根，
即函数的图象和直线在内恒有两个不同的交点．
如图所示：．
【解析】化简函数的解析式，可得的亲密向量，可得该向量的模．
先由条件求得，可得的亲密函数为由题意可得函数的图象和直线在内恒有两个不同的交点，数形结合可得实数的取值范围．
本题主要考查新定义，正弦和函数的图象特征，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
20.【答案】本小题满分分
解：且的图象恒过定点，分
由的解集为可知的根为或，
故可设，，
的图象过点，
，，
分
令，
，
，
则，分
在上是增函数，
当，即时，；
当，即时，分
【解析】由对数函数恒过定点可求函数的图象恒过定点，然后结合二次不等式与二次函数的关系可设，，代入的坐标即可求解；，
令，由，可求的范围，然后结合二次函数的性质可求函数的最值．
本题主要考查了对数函数的性质，二次函数解析式的求解及二次函数闭区间上最值的求解，试题具有一定的综合性．
21.【答案】解：由题意知，对定义域内的任意，都有，
令，，代入上式得，解得，
令，，得，，解得，
令，代入上式，，
是偶函数．
在上的单调递减．
证明：设，是任意两个变量，且，设，，
则
当时，；
，即，
，
即在上的单调递减．
，令，，则，
则．
．
则不等式等价为不等式，
在上是减函数且函数是偶函数，
或，
即或，
即或或，
即不等式的解集为或或
【解析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义进行证明即可．
利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．
利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．
本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数求值的基本方法，利用抽象函数恒成立，可以将条件进行转换．
22.【答案】解：类比在正三角形内部不包括边界任取一点，点到三边的距离分别为，，，则为定值，可得：
是棱长为的空间正四面体内的一点，则点到四个面的距离之和为定值，
如图：连接，，，，则三棱锥，，，的体积分别为：，，，，
由棱长为可以得到，，
在直角三角形中，根据勾股定理可以得到
，即，即，其中为正四面体的高，
故正四面体的体积，
正四面体的四个面，，，的面积均为，
则，
解得：，
即是棱长为的空间正四面体内的一点，则点到四个面的距离之和为定值
【解析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质
本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题猜想．
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