初中数学人教版九年级下册第二十七章相似单元检测卷（二）（含解析）

专题检测卷（二） 相似
满分：100分 时间：60分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）已知，，若，则的长为（ ）
A． B．5 C．10 D．20
2．（本题3分）在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm增加了4cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）
A．4倍 B．6倍 C．9倍 D．12倍
3．（本题3分）如图为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为米，踏板长为米，支撑点A到踏脚点D的距离为1米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了（ ）．
A．1.5米 B．1.2米 C．1米 D．0.9米
（4） （6）
4．（本题3分）如图，点D是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）已知△AOB和是以点O为位似中心的位似图形 ，且△AOB和的周长之比为1:2，点B的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点．BD与CE交干点O，连接DE．下列结论：①OE OB=OD OC；②；③=；④=．其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（本题3分）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
（8） （10）
9．（本题3分）在中，点在边上，连接，下列说法错误的是（ ）
A．如果，，那么；
B．如果，，那么；
C．如果，，那么；
D．如果，，那么．
10．（本题3分）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）两个相似三角形的面积之比为3：4，则这两个三角形的周长之比为 ．
12．（本题3分）如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部．如果小王身高1.55m，他的眼睛距地面1.50m，同时量得BC＝0.3m，CE＝2m，则楼高DE为 m．
（13） （14）
13．（本题3分）如图，在中，，分别为边、AC上的点，，,点F为BC边上一点，添加一个条件: ，可以使得与相似.（只需写出一个）
14．（本题3分）如图，中，，点D、E分别在边上，，且，则 ．
15．（本题3分）如图，在菱形中，.上有一点E，连接，将沿翻折使点A的对应点落在上，连接，.若，则 ．

（16） （17） （18）
16．（本题3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝ ．
17．（本题3分）如图，在直角坐标系中有两点，如果点在轴上（C与不重合），当点的坐标为 或 时，使得由点组成的三角形与相似（至少写出两个满足条件的点的坐标）．
18．（本题3分）如图，正方形ABCD中，，，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为 ．
评卷人得分
三、解答题（共46分）
19．（本题6分）如图，是边长为个单位的小正方形组成的方格，在网格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为和．顶点都在格点上，将的三边分别扩大得到（顶点均在格点上），它们是以点为位似中心的位似图形．

(1)画出向下平移3个单位后的三角形；
(2)画出关于原点成中心对称的三角形；
(3)直接写出点P的坐标．
20．（本题8分）如图，在锐角中，，高，矩形的一边在边上，、分别在、上，交于点．
（1）当，求的长．
（2）当为何值时，矩形的面积为？
21．（本题8分）党的二十大报告提出要“全面推进乡村振兴”，这是对党的十九大报告所提出的“实施乡村振兴战略”的进一步发展，彰显出新时代新征程在工农城乡关系布局上的深远谋划，为不断推进乡村振兴、加快农村现代化进程指明了方向某市为了加快城乡发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在的延长线上取点，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为60米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．

22．（本题12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：；
（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．
23．（本题12分）【基础巩固】
（1）如图1，在中，点D、E分别在边上，连接，若，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在中，在边上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在边上，连接，若，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，在中，在边上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在边上，连接，若，求的长．（提示：延长交于点G）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查了相似三角形性质，根据相似三角形的对应边成比例即可求出结果．
【详解】解：，
，
，
，
故选：C．
2．C
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答．
【详解】解：因为复印出来的图形与原图形是相似图形，
原来三角形的一条边为2cm，
复印后三角形的对应边2+4=6cm，
其相似比为2∶6=1∶3，故其面积比为1∶9，所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍.
故选C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是关键．
3．D
【分析】如图，先证明，然后根据对应边成比例列列方程求解即可．
【详解】解：如图：

∵由题意可得，
∴，
∴
∴
∴米．
∴捣头点E上升了米．
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，能将实际问题抽象到相似三角形中并利用相似三角形对应边成比例列出方程是解答本题的关键．
4．C
【分析】本题考查相似三角形判定．根据题意利用相似三角形判定定理即可得到本题答案．
【详解】解：∵，
∴当或时，根据两组对应角相等判断，
∴当，根据对应边成比例，中间夹角相等即可判定，
∴ABD选项均可判定，
故选：C．
5．D
【分析】过B作BC⊥y轴于C，过B1作B1D⊥y轴于D，依据△AOB和△A1O相似，且周长之比为1：2，即可得到，再根据△BOC∽△OD，可得OD=2OC=4，D=2BC=2，进而得出点B1的坐标为（2，-4）或（-2，4）．
【详解】解：如图，过B作BC⊥y轴于C，过作D⊥y轴于D，
∵点B的坐标为（-1，2），
∴BC=1，OC=2，
∵△AOB和△O相似，且周长之比为1：2，
∴，
∵∠BCO=∠DO=90°，∠BOC=∠OD，
∴△BOC∽△OD，
∴OD=2OC=4， D=2BC=2，
∴点的坐标为（2，-4），
同理点（-2，4）也符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
6．C
【分析】根据平行线分线段成比例的运算方法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例的内容是解题的关键．
7．A
【分析】由三角形中位线定理可得DE=BC，DE∥BC，可得△DEO∽△BCO，由相似三角形的性质可依次判断即可求解．
【详解】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点．
∴DE=BC，DE∥BC
∴△DEO∽△BCO
∴
∴OE OB=OD OC，BO=2DO，CO=2EO
故①②正确
∵△DEO∽△BCO
∴=（）2=
故③正确
∵BO=2DO
∴BD=3OD
∴=
故④正确
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，证明△DEO∽△BCO是本题的关键．
8．C
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出，，，是的中位线，易证，得，解得，则．
【详解】解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
9．D
【分析】根据相似三角形的判定定理证明相应的三角形相似，根据相似三角形的性质判断即可.
【详解】A、∵，
∴，又∠B＝∠B
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；
B、∵，
∴，又∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，故B选项说法正确，不符合题意；
C、∵，
∴，又∠B＝∠B
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BAC＝∠BDA＝90°，故C选项说法正确，不符合题意；
D、如果∠BAC＝90°，，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符合题意；
故选D.
【点睛】此题考查相似三角形，解题关键在于掌握相似三角形的判定定理证明.
10．A
【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律．
【详解】解：∵，，，，，
∴，
∵，则，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．
11．：2
【分析】相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为3：4，
∴相似比是：2，
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两个三角形的周长之比为：：2，
故答案为：：2．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
12．10
【分析】如图，根据镜面反射的性质，△ABC∽△DEC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：根据题意，
∵∠ABC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DCE（反射角等于入射角，它们的余角相等），
∴△ABC∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴DE＝10（m）
故答案为：10．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
13．DF∥AC，或∠BFD=∠A
【详解】试题分析： DF//C，或∠BFD=∠A．
理由：∵，,
∴
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF//AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF//C，或∠BFD=∠A．
考点：相似三角形的判定
14．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，延长、交于点， 作交于点，由菱形性质得，，，则，再证明，即可得出答案，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
【详解】解：延长、交于点， 作交于点，

∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
由翻折得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴,
∵,，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
解得 ，
，
∵，
∴
∴，
解得，
，
故答案为：．
16．
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝CD＝AB，根据相似三角形的判定证明△ABP∽△EDP，再利用相识三角形的性质和判定即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90° ，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CD＝AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴＝＝，
∵CD＝2，
∴PQ＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质的应用，运用矩形的性质和相似三角形判定和性质证明△ABP∽△EDP得到＝是解题的关键．
17．
【分析】利用当时，求点C的坐标，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标是0，且，
由点B、O、C组成的三角形与相似，即应该与对应，
当，
则，
故，
解得：，
故；
同理可得：也是符合题意的答案．
故答案是：；．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质、坐标与图形性质．解答此类题目时，首先判断由B、O、C三点组成的三角形形状，再利用两个三角形直角边与直角边对应关系求解．
18．4
【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ=y，BP=x，则CP=12-x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，PQ⊥EP，
∴∠B=∠C=90°，∠EPQ=90°，
∴∠BEP+∠BPE=90°，∠QPC+∠BPE=90°，
∴∠BEP=∠CPQ．
又∵∠B=∠C=90°，
∴△BPE∽△CQP．
∴．
设CQ=y，BP=x，则CP=12-x.
∴，化简得，
整理得，
所以当x=6时，y有最大值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，用二次函数最值表示CQ是解题的关键．
19．(1)见详解；
(2)见详解；
(3)．
【分析】（1）将A、B、C三点分别向下平移3个单位，得到，再顺次连接即可得到；
（2））作出A、B分别关于原点的对称点，顺次连接，即可得到；
（3）连接并延长，它们的交点就是P点．

【详解】（1）如图即为所求；
（2）如图即为所求；
（3）连接并延长，交点为，则P点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形变换：平移变换／旋转变换和位似变换．正确的找到变换以后的对应点是解题的关键．
20．（1）；（2）当时，矩形的面积为．
【分析】（1）先证明∽，则，然后设，表示出需要的线段，代入计算，即可求出答案；
（2）设，则，由，得到，然后根据矩形的面积公式，结合解一元二次方程，即可求出答案．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
∴∽，
∴，
∵AD⊥BC，
在矩形中，有
，
设，
∴，，
∴，
解得：；
∴．
（2）由（1）可知∽，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴矩形的面积为：；
∵矩形的面积为，即，
∴
解得：；
∴当时，矩形的面积为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21．桥的长度为80米．
【分析】与的延长线相交于点G，则，米，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：设与的延长线相交于点G，则，米，

∵，
∴，
∴，即，
解得米，
答：桥的长度为80米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确掌握“相似三角形的对应角相等、对应边成比例、对应高的比等于相似比”是解题的关键．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）结合直角三角形两锐角互余、角平分线的性质，根据两角对应相等两三角形相似即可完成证明；
（2）首先证明CE＝CF，利用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）解直角三角形求出FH，CH，利用相似三角形的性质求出DF，再根据相似三角形的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△AEB∽△CFB．
（2）结合（1）的结论，得：∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵△AEB∽△CFB，
∴＝，
∴＝．
（3）如图，作CH⊥EF交EF于点H
∵CE＝CF，CH⊥EF，
∴EH=FH==，
∴CH＝＝＝2，
∵，
∴△BFD∽△CFH，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝3
∴CD＝CF+DF＝CE+DF＝5+3＝8，
∵∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝．
【点睛】本题考查了直角三角形、相似三角形、角平分线、等腰三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、相似三角形、角平分线、三角形外角、等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．
23．（1）详见解析
（2）
（3）
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）根据平行四边形的性质得出，证明，，结合（1）的结论代入数据即可求解；
（3）延长交于点G，同（2）即可．
【详解】解：（1）证明．
∴，
∴．
（2）解：，
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
，
，，
∴．
∵．
∴．
由（1）得．
∴，
解得或（不合题意，舍去）．
∴．
（3）解：延长交于点G
∵，
∴
∵四边形是平行四边形，
，．
∴
∵，
∴
由（1）得．
∴，
解得或（不合题意，舍去）．
∴
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