2023-2024学年广西百色市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西百色市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，，，，，，则是这个数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.已知空间向量，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
3.设双曲线的虚轴长为，焦距为，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知直线和圆相交于，两点．若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
7.若直线和平行，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一．指的是：已知动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 椭圆的长轴长是 B. 抛物线的焦点是
C. 等轴双曲线的离心率是 D. 不是圆方程
10.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是( )
A. 数列是递增数列 B. 数列有最大项，无最小项
C. 当时， D. 当或时，取得最大值
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 若，则
C. 满足为等腰三角形的点只有个
D. 的取值范围为
12.如图，在棱长为的正方体中，为内的任意一点含边界，则下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 点到直线的距离的最小值为
C. 向量与夹角的取值范围是
D. 若线段的中点为，当时，点的轨迹为线段
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线的一个方向向量是，则直线的倾斜角是 ．
14.在等比数列中，，，则 ______．
15.如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为______
16.已知点，是椭圆上的两点，且直线恰好平分圆，为椭圆上与，不重合的一点，且直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆经过点和，且圆心在直线上．
求圆方程；
若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系．
18.本小题分
已知等差数列和正项等比数列满足：，，．
求数列，的通项公式；
已知数列满足，求数列的前项和．
19.本小题分
已知抛物线：上的点到焦点的距离为．
求抛物线的方程；
过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求直线方程．
20.本小题分
如图，直三棱柱中，，，，点在线段上．
若为的中点．证明：平面；
是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
22.本小题分
已知椭圆，离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．
求椭圆的标准方程；
若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，数列，，，，，，
其通项公式可以为，
若，可得，即是这个数列的第项．
故选：．
根据题意，归纳数列的通项公式，进而分析可得答案．
本题考查数列的表示方法，涉及数列的递推公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，，与不垂直，故C错误；
对于，空间向量，，
，，
在上的投影向量为，故D正确．
故选：．
根据空间向量的坐标运算可判断，，，根据投影向量的定义可判断．
本题主要考查了空间向量的坐标运算，考查了投影向量的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：双曲线虚轴长为，焦距为，
，，可得且，
因此，
可得双曲线的渐近线方程为，即
故选：．
根据题意，可得且，因此，再由双曲线的渐近线方程公式，可得答案．
本题考查双曲线的性质，考查求双曲线的渐近线方程，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，，
则，，，，，，
由此不难发现，数列的项具有周期性，且最小正周期为，
故．
故选：．
根据数列的递推公式和首项依次求出若干项，即可发现项的周期性，从而得解．
本题考查数列的递推式，求得数列的周期是解题的关键，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设圆心到直线的距离为，由题意可得，
即，结合点到直线距离公式可得：，
解得：．
故选：．
由题意首先求得圆心到直线的距离，然后利用点到直线距离公式可得的值．
本题主要考查点到直线距离公式，圆的弦长公式等知识，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在四面体中，是的中点，是的中点，
则，
．
故选：．
在四面体中，是的中点，是的中点，可得，即可得出．
本题考查了空间向量运算性质、平面向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为两条直线平行，所以，且，
解得．
故选：．
写出两条直线平行的充要条件，求出的值即可．
本题考查两条直线平行线的充要条件的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，，所以，由，
所以，因为且，所以，
整理可得，又动点的轨迹是，所以，
解得，所以，又，
所以，
因为，所以的最小值，
当在位置或时等号成立．
故选：．
设，，根据和求出的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可．
本题主要考查轨迹方程及其应用，新定义知识的应用等知识，属于中等题．
9.【答案】
【解析】解：椭圆中，故长轴长，错；
抛物线的焦点是，错；
等轴双曲线的离心率是，对；
不是圆方程，对．
故选：．
根据圆锥曲线的性质逐一判断即可．
本题主要考查圆锥曲线的性质，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，数列中，
当时，，
当时，，
也符合该式，，
故数列是首项为，公差为的等差数列，
依次分析选项：
对于，数列是公差为的等差数列，则数列是递减数列，A错误；
对于，数列是公差为的等差数列，则数列有最大项，最小项为末项，B错误；
对于，，故当时，，C正确；
对于，由于，有，故当或时，取得最大值，D正确．
故选：．
根据题意，求出数列的通项公式，结合等差数列的性质分析可得选项，即可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及数列的通项公式与前项和的关系，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意：可得，的最小值为，所以，又，
所以，，所以椭圆方程为，
当点为该椭圆的上顶点时，，所以，
此时，所在存在点，使得，所以选项A正确；
若，，，
由余弦定理，
即，
又，
所以，
所以，，所以选项B正确；
满足的点有两个，同理满足的点有两个，在上下两个顶点时，有个，所以选项C不正确；
对于选项D，，
分析可得，，所以选项D正确，
故选：．
首先求出椭圆方程，当点为该椭圆的上顶点时，求出，即可判断；利用余弦定理及三角形面积公式判断；再根据的范围判断；根据椭圆的定义及的范围判断．
本题主要考查椭圆的几何性质，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
12.【答案】
【解析】解：对于，平面平面，
点到平面距离等于点到平面的距离，且为定值，
，是定值，故A正确；
对于，平面，
到直线距离的最小值，等于到平面的距离，
，，解得，故B错误；
对于，，，故C正确；
对于，连接，，连接，由，
则在平面上，又平面，
的轨迹为两个面的交线段，故D正确．
故选：．
根据面面平行的性质得，且为定值，结合棱锥的体积公式即可判断；根据线面平行的性质，利用等体积法计算即可判断；由，即可判断；连接，由，知在平面上，即可判断．
本题考查面面平行的性质、棱锥的体积公式、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线的方向向量平面和直线的倾斜角与斜率，属于基础题．
设直线的倾斜角是，利用直线的方向向量得直线的斜率，再利用直线的倾斜角与斜率的关系，计算得结论．
【解答】解：设直线的倾斜角是，
因为直线的一个方向向量是，
所以直线的斜率为，
因此，而，所以．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：为等比数列，
则，解得，
，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标，
以与抛物线的拱坝的相切的直线为轴，以拱坝的顶点处与轴垂直的直线为轴，
设抛物线的方程为，由题意可得点在该抛物线上，
将点代入抛物线的方程可得：，解得，
即抛物线的方程为：，
水面上升米，设，
将点的坐标代入抛物线的方程可得，
可得，
所以水面宽度为
故答案为：．
建立适当的坐标系，由题意可得在抛物线上，求出抛物线的方程，水面上升米，可得水面与抛物线的交点的纵坐标，代入抛物线的方程，可得交点的横坐标，进而求出水面的宽度．
本题考查抛物线的性质的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由直线恰好平分圆，可得直线过原点，
设，则，，
可得，作差可得，
可得，
而，
所以可得，即，
所以椭圆的离心率，
故答案为：．
由直线平分圆，可得直线过圆心，设，的坐标，由题意可得的坐标，将，的坐标代入椭圆的方程，作差可得，的坐标的关系，求出直线，的斜率之积，由题意可得，的关系，进而求出椭圆的离心率的值．
本题考查直线平分圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于基础题．
17.【答案】解：设圆的方程为，
则圆心坐标为，
由题意，解得，
圆的方程为；
由知，圆的方程为，
即，则圆心坐标为，半．
圆：，
圆心，半径．
，，，
，则圆与圆相交．
【解析】设圆的方程为，则圆心坐标为，由题意可得关于、、的方程组，求得、、的值，则圆的方程可求；
分别求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的和与差的关系判断．
本题考查圆的方程的求法，考查圆与圆位置关系的判定，是基础题．
18.【答案】解：是公差为的等差数列，是各项都为正数，公比为的等比数列，
，，．
，
，．
，
．
【解析】利用等差数列和等比数列的通项公式即可求解；
利用分组求和及等差数列和等比数列的求和公式即可求解．
本题考查了等差数列和等比数列的综合，分组求和，属于中档题．
19.【答案】解：由抛物线：的方程，可得准线方程，
再由抛物线的性质可得，可得，
所以抛物线的方程为：；
设，，可得的中点，
由题意可得，则，
，作差可得，
整理可得：，
所以直线的方程为：，
即．
【解析】由抛物线的性质可得的表达式，进而可得的值，求出抛物线的方程；
设，的坐标，代入抛物线的方程，作差可得直线的斜率，代入点斜式方程可得直线的方程．
本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合应用，点差法求直线的方程的方法，属于基础题．
20.【答案】解：证明：在中，，，，
，
又直三梭柱中，，则为正方形，分
设交于点，则为的中点，且．
连接，，，侧棱底面，为的中点，
则，，
故，分
，且，平面，
平面B.分
以点为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，其中，则，分
故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，分
平面的一个法向量为，分
因为平面与平面所成的二面角为，
所以，
解得分
故在线段上不存在点，使得平面与平面所成的二面角为分
【解析】证明为正方形，设交于点，推出，连接，，，，然后证明平面B.
以点为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，其中，求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积，解得，说明结果．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法与应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：由题意，当时，，
解得，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
整理，得，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，．
由可得，，
则，
，
两式相减，
可得
，
．
【解析】先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论，转化与化归思想，错位相减法，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
22.【答案】解：椭圆离心率为，即，
点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，
，，，故椭圆方程为．
由直线与椭圆交于，两点，
联立，得，
设，，则，
，，
所以，
，
，
原点到的距离，
为定值．
【解析】通过椭圆的离心率，结合点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，求出，，即可得到椭圆方程．
由直线与椭圆交于，两点，联立，得，设，，利用以及韦达定理，通过斜率乘积推出，利用弦长公式以及点到直线的距离求解三角形的面积，推出结果即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
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