2023-2024学年四川省凉山州西昌市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省凉山州西昌市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.方程的实数根所在的区间是( )
A. B. C. D.
3.若，，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知是角终边上的一点，则的值为( )
A. B. C. D.
5.要在半径厘米的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为厘米，那么圆心角的大小是度( )
A. B. C. D.
6.如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.关于函数，下列说法错误的是( )
A. 函数是奇函数
B.
C. 函数在上单调递增
D. 函数在上单调递增
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 函数的图像的对称轴为直线
C. 函数的最小值为
D. “”是“”充分不必要条件
11.若函数在上恰有个零点，则下列说法正确的是( )
A. 在区间上的最小值
B. 在区间上个零点之差的绝对值为
C. 的取值范围
D. 若，，且，则必有
12.已知函数，存在两个不同的实数，满足，则( )
A. 是偶函数 B. 的取值范围为
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若幂函数图象过点，则的值为______．
14.请任意写出一个既是偶函数又在区间上单调递增的函数解析式______．
15.若，，，则的最小值是______．
16.定义在上偶函数的图象关于点中心对称，且，，则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，求：
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知集合，．
当时，求；
当时，若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数是奇函数，其中为常数．
求的值；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
年月到月，世界大学生运动会在四川成都举行，四川某文创公司制作了一款大熊猫主题纪念品即将投放市场，根据市场调研情况，预计每个纪念品的市场价单位：元与上市时间单位：天的数据如下表．
上市时间单位：天
市场价单位：元
根据上表数据从下列函数中选取一个恰当的函数，描述该大熊猫主题纪念品的市场价与上市时间的变化关系，并说明理由；
且；
；
且．
利用你选取的函数，求该大熊猫主题纪念品的市场价最低时的上市天数及最低的价格．
21.本小题分
已知函数，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，且在区间单调递减．
求的解析式并且作出在区间的图象；
当时，函数恰有三个不同的零点，，，求：
实数的取值范围；
的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
用函数单调性的定义去证明：在区间单调递增；
关于方程恰有两个不同实数根，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设函数，
当时，，
故函数在上无零点，
而，
由零点存在性定理可得，函数在上有零点．
结合选项可得，只有选项D符合．
故选：．
设函数，研究函数在时以及时的符号，即可求解结论．
本题主要考查函数的零点存在性定理，考查计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由可得，，
则．
故选：．
由已知结合指数与对数的转化及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数与对数的转化及对数运算性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由于点是角终边上的一点，故，
故．
故选：．
直接利用三角函数的定义及三角函数的诱导公式求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由弧长公式可得，圆心角的大小是．
故选：．
由已知结合弧长公式即可求解．
本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数的对称轴为，由于该函数在区间上单调递减，
所以，整理得．
故选：．
直接利用二次函数的对称轴和区间的关系求出参数的取值范围．
本题考查的知识要点：二次函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
则，，的大小关系为．
故选：．
利用对数函数、指数函数、三角函数的单调性求解．
本题考查对数函数、指数函数、三角函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
，即为奇函数，A正确；
，B正确；
函数在和上单调递增，但在上不单调，C错误；
显然在上单调递增，D正确．
故选：．
先求出函数有意义的条件，然后结合函数的奇偶性及单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
根据不等式的性质或特值法，逐项分析即可得出答案．
【解答】：
解：对于选项A，当，异号时，即，有，因为，则，故A错误；
对于选项B，因为，，所以，故B正确；
对于选项C，令，，则，所以，故C错误；
对于选项D，因为，，所以，故D正确．
故选BD．
10.【答案】
【解析】解：对于，命题“，”的否定是“，”，故A错误；
对于，令，其定义域为，
则，
所以函数的图像的对称轴为直线，故B正确；
对于，函数在上单调递减，当时，，故C错误；
对于，画出函数和的图象，如图所示：
由图象可知，由可以推出，但是由推不出，
所以“”是“”充分不必要条件，故D正确．
故选：．
根据全称命题的否定为特称命题可判断，根据函数的对称性判断，根据对勾函数的性质可判断，利用函数和的图象可判断．
本题主要考查了命题的否定，考查了函数的对称性，以及对勾函数的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由可得，，
因为在上恰有个零点，
所以，解得，C正确；
当，即时，取得最小值，A正确；
由可得，，，
所以或，而，B错误；
若，，且，
则，关于对称，
又时，的图象在上关于对称，
即存在，使得，此时，D错误．
故选：．
根据给定条件求出的范围，再检验各选项即可求解．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，
函数，其定义域为，
有，则不是偶函数，A错误；
又由，若且，
则有，则有，则有，即的取值范围为，B正确；
同时，，，
若，则有，变形可得，C正确；
由于，且，则有，变形可得，即，必有，D正确．
故选：．
根据题意，分析函数的奇偶性可得A错误，将写成分段函数的形式，分析、的范围，由指数函数的性质可得B正确，结合函数的解析式可得C正确，利用基本不等式分析可得D正确，综合可得答案．
本题考查分段函数的性质，涉及指数函数的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：幂函数的图象经过点，
，
解得，
，
．
故答案为：．
把点的坐标代入函数解析式求出的值，写出函数解析式，再计算的值．
本题考查了幂函数的定义，属于基础题．
14.【答案】答案不唯一
【解析】解：根据题意，二次函数，其对称轴为轴，则为偶函数，
且开口向上，则在区间上单调递增，
故函数符合题意；
故答案为：答案不唯一．
根据题意，结合二次函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
由，，
故，当且仅当，即，时等号成立，
即．
故答案为：．
由可得，结合基本不等式即可得．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，为偶函数，则有，
又由函数的图象关于点中心对称，则，
则有，变形可得，
故有，则函数是周期为的周期函数，
由于，则有，，，
则有，
．
故答案为：．
根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得是周期为的周期函数，由此计算可得答案．
本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性和周期性，属于中档题．
17.【答案】解：，
则，解得；
，
则，，
，解得，
联立，解得，，
故．
【解析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解；
结合三角函数的同角公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，
又集合，
；
当时，，
若，则，
，
即实数的取值范围为．
【解析】先求出集合，再利用集合的交集运算求解；
若，则，进而列出不等式，求出的取值范围即可．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
19.【答案】解：函数图象关于原点对称，则是奇函数，
所以，
所以在函数定义域内恒成立，所以，解得，
当时，不合题意；当时，，
定义域是，符合题意．
所以．
由，令，
着函数的定义域为，
所以，
依题意可知，时，恒成立，
而函数在上是增函数，
所以，所以，
所以的取值范围是．
【解析】利用奇函数的定义，列方程求出的值；
求出函数的值域即可得解．
本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
20.【答案】解：因为随着时间的增加，的值先减后增，
在所给的个函数中，，都是单调函数，不满足题意；
所以选取二次函数；
把点，，代入函数，
得，解得；
所以．
当时，有最小值，，
所以该纪念品市场价最低时的上市天数为天，最低价格为元．
【解析】根据随着的增加，的值先减后增，判断二次函数满足题意；
利用待定系数法求出函数解析式，求出函数的最小值以及对应的值．
本题考查了根据实际问题选择函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：由题意可得，解得，，
所以，
，则，



要使有个零点，则，
即的范围为；
如图所示：，
而，
所以，令，，
所以，，
所以，
令，，
设，，
因为单调递减，单调递增，
而，，
所以
即的取值范围为：
【解析】由题意可得，的值，由五点法作图，可得函数的图象；
由可得函数的零点满足的条件，可得的范围；
由可得的范围，换元整理可得函数的值域．
本题考查数形结合的方法求函数的解析式及三角函数的性质的应用，属于中档题
22.【答案】解：证明：任取，，且，
则，
因为，所以，，
所以，，
所以，
所以函数是单调增函数；
因为关于方程恰有两个不同实数根，
即恰有两个不同实数根，
令，
令，因为，所以，
由对勾函数的性质可知，
所以在上有两个不同的实数解，
即在上有两个不同的实数解，
由对勾函数的性质可知在上单调递增，
所以，
所以，
解得
【解析】按函数单调性的定义证明即可；
由题意可得恰有两个不同实数根，令，则有在上有两个不同的实数解，结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了指数函数、对勾函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
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