苏科版2022-2023七年级下册数学第9章《整式乘法与因式分解》检测卷（含解析）

2022-2023学年七年级下册数学检测卷
第9章《整式乘法与因式分解》
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
一、选择题（共8小题）
1．已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，则c2（a+b）﹣2020＝（　　）
A．0 B．1 C．2020 D．2021
2．若x2+2mx+16是完全平方式，则（m﹣1）2+2的值是（　　）
A．11 B．3 C．11或27 D．3或11
3．下列各数中，可以写成两个连续奇数的平方差的（　　）
A．520 B．502 C．250 D．205
4．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．利用因式分解简便计算69×99+32×99﹣99正确的是（　　）
A．99×（69+32）＝99×101＝9999
B．99×（69+32﹣1）＝99×100＝9900
C．99×（69+32+1）＝99×102＝10096
D．99×（69+32﹣99）＝99×2＝198
6．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为“和谐数”．那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
7．如图，4张边长分别为a、b的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是（　　）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
8．如图，在长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形（正方形DEFG和正方形HIJK）．3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝2，则长方形ABCD的面积为（　　）
A．100 B．96 C．90 D．86
二、填空题（共8小题）
9．若25x2﹣mxy+9y2是完全平方式，则m的值为__________．
10．若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为__________．
11．若m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 __________．
12．已知：x3，则x2__________．
13．如图，AB＝5，C为线段AB上一点（AC＜BC），分别以AC、BC为边向上作正方形ACDE和正方形BCFG，S△BEF﹣S△AEC，则S△BEC＝__________．
14．如图是A型卡片（边长为a的正方形）、B型卡片（长为a、宽为b的长方形）、C型卡片（边长为b的正方形）．现有4张A卡片，11张B卡片，7张C卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是__________．（只填序号）
①可拼成边长为a+2b的正方形；
②可拼成边长为2a+3b的正方形；
③可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形；
④用所有卡片可拼成一个大长方形．
15．三种不同类型的地砖的长、宽如图所示，若现有A型地砖4块，B型地砖4块，C型地砖2块，要拼成一个正方形，则应去掉1块地砖；这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为__________．
16．已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是 __________．
三、解答题（共9小题）
17．（1）（﹣3a3）2 a3+6a12÷（﹣a3）； （2）（﹣0.125）2019×22020×42018．
18．先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m2+m﹣2＝0．
19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）判断28，50是否为“神秘数”？如果是，请写成两个连续偶数平方差的形式；
（2）观察上式，猜想“神秘数”是4的倍数吗？并说明理由．
20．观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；
（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．
根据上面各式的规律可得（__________）÷（x﹣1）＝xn+xn﹣1+…+x+1；利用规律完成下列问题：
（1）52021+52020+52019+…+51+1＝__________；
（2）求（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）的值．
21．阅读下列文字，我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式__________；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片．若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
22．如图所示，现有边长分别为b、a的正方形、邻边长为b和a（b＞a）的长方形硬纸板若干．
（1）请选择适当形状和数量的硬纸板，拼出面积为2b2+3ab+a2的长方形，画出拼法的示意图；
（2）从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为8ab的不同形状的长方形，则这些长方形的周长共有__________种不同情况；
（3）现有①类纸板1张，②类纸板4张，则应至少取③类纸板__________张才能用它们拼成一个新的正方形；
（4）已知长方形②的周长为20，面积为12，求小正方形①与大正方形③的面积之和．
23．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 __________；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 __________；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝2.75，求x﹣y；
（4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢？
24．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
（1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是__________；
（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片__________张，3号卡片__________张；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是__________；
（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2＝__________画出拼图．
25．阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝__________；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为__________平方单位．
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．B
【分析】先通过已知等式，找到a，b，c的关系再求值．
【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）．
∴a2b+a2c﹣ab2﹣b2c＝0．
∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0．
∴（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0．
∵a≠b．
∵a2（b+c）＝2021．
∴a（ab+ac）＝2021．
∴a（﹣bc）＝2021．
∴﹣abc＝2021．
∴abc＝﹣2021．
∴原式＝c（ac+bc）﹣2020＝c（﹣ab）﹣2020
＝﹣abc﹣2020
＝2021﹣2020
＝1．
故选：B．
【点评】本题考查用因式分解求代数式的值，利用题中等式得到ab+bc+ac＝0是求解本题的关键．
2．C
【分析】先根据完全平方式特征求m，再求代数式的值．
【解答】解：∵x2+2mx+16是完全平方式．
∴m2＝16．
∴m＝±4．
当m＝4时，（m﹣1）2+2＝9+2＝11．
当m＝﹣4时（m﹣1）2+2＝25+2＝27．
故答案为：C．
故选：C．
【点评】本题考查求代数式的值，根据完全平方式的特征求m的值是求解本题的关键．
3．A
【分析】根据平方差公式，利用方程求解即可．
【解答】解：设较小的奇数为m，则与之相邻的较大的奇数为m+2，
这两个奇数的平方差为：（m+2）2﹣m2＝4m+4，
因此这两个奇数的平方差能被4整除，
而520÷4＝130，502÷4＝125……2，250÷4＝62……2，205÷4＝51……1，
故选：A．
【点评】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
4．D
【分析】根据题目中的式子，可以求得a﹣b、a﹣c、b﹣c的值，然后对所求式子变形，利用完全平方公式进行解答．
【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝3，
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，应用完全平方公式进行解答．
5．B
【分析】利用提公因式分法将99提公因式进行计算即可判断．
【解答】解：69×99+32×99﹣99
＝99（69+32﹣1）
＝99×100
＝9900．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解．
6．B
【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：（2k+1）3﹣（2k﹣1）3＝2（12k2+1）（其中k为非负整数），然后再分析计算即可．
【解答】解：（2k+1）3﹣（2k﹣1）3
＝[（2k+1）﹣（2k﹣1）][（2k+1）2+（2k+1）（2k﹣1）+（2k﹣1）2]
＝2（12k2+1）（其中k为非负整数），
由2（12k2+1）≤2016得，k
∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2016的“和谐数”，
它们的和为[13﹣（﹣1）3]+（33﹣13）+（53﹣33）+…+（173﹣153）+（193﹣173）＝193+1＝6860．
故选：B．
【点评】本题是一道概念型推理题目，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所在．
7．D
【分析】假设大正方形的面积S1，小正方形的面积S2，则S1﹣S2＝4个长方形面积．
【解答】解：设大正方形的面积S1，小正方形的面积S2，
大正方形的边长为a+b，则大正方形面积S1＝（a+b）2，
小正方形的边长为a﹣b，则小正方形面积S2＝（a﹣b）2，
四个长方形的面积为4ab，
∵S1﹣S2＝4ab，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故选：D．
【点评】本题主要考查通过正方形面积的计算，列出代数式，得出两个完全平方公式相减等于4ab的正确性．难点在于小正方形边长的求解：用一个长方形的长a，减去另一个长方形的宽b，即a﹣b．
8．C
【分析】设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得S1，S2，S3的长、宽及面积如何表示，根据2S3+S1﹣S2＝2，可整体求得ab的值，即长方形ABCD的面积．
【解答】解：设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：
S1的长为：8﹣6＝2，宽为：b﹣8，故S1＝2（b﹣8），
S2的长为：，8+6﹣a＝14﹣a，宽为：6+6﹣b＝12﹣b，故S2＝（14﹣a）（12﹣b），
S3的长为：a﹣8，宽为：b﹣6，故S3＝（a﹣8）（b﹣6），
∵2S3+S1﹣S2＝2，
∴2（a﹣8）（b﹣6）+2（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝2，
∴2（ab﹣6a﹣8b+48）+2b﹣16﹣（168﹣14b﹣12a+ab）＝2，
∴ab﹣88＝2，
∴ab＝90．
故选：C．
【点评】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键．
二、填空题（共8小题）
9．　±30　．
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．把所求式化成该形式就能求出m的值．
【解答】解：由25x2﹣mxy+9y2＝（5x±3y）2，
解得m＝±30．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项求乘积项．
10．　﹣8　．
【分析】首先利用多项式乘法法则计算出（x2﹣x+m）（x﹣8），再根据积不含x的一次项，可得含x的一次项的系数等于零，即可求出m的值．
【解答】解：（x2﹣x+m）（x﹣8）
＝x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m
＝x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m，
∵不含x的一次项，
∴8+m＝0，
解得：m＝﹣8．
故答案为﹣8．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意不含某一项就是说含此项的系数等于0．
11．　﹣2021　．
【分析】将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减得出m+n＝﹣1，将m2＝n+2021两边乘以m，n2＝m+2021两边乘以n再相加便可得出．
【解答】解：将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减，
得m2﹣n2＝n﹣m，
（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，（因为m≠n，所以m﹣n≠0），
m+n＝﹣1，
解法一：
将m2＝n+2021两边乘以m，得m ＝mn+2021m①，
将n2＝m+2021两边乘以n，得n ＝mn+2021n②，
由①+②得：m +n ＝2mn+2021（m+n），
m +n ﹣2mn＝2021（m+n），
m +n ﹣2mn＝2021×（﹣1）＝﹣2021．
故答案为﹣2021．
解法二：
∵m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），
∴m2﹣n＝2021，n2﹣m＝2021（m≠n），
∴m3﹣2mn+n3
＝m3﹣mn﹣mn+n3
＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）
＝2021m+2021n
＝2021（m+n）
＝﹣2021，
故答案为﹣2021．
【点评】本题考查因式分解的应用，代数式m3﹣2mn+n3的降次处理是解题关键．
12．　7　．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵x3，
∴（x）2＝x2+29，
∴x27，
故答案为：7．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．
13．　3　
【分析】设正方形AEDC的边长是a，正方形BCFG的边长是b，根据正方形的性质得出AE＝DE＝DC＝AC＝a，CF＝FG＝BG＝BC＝b，根据S△BEF﹣S△AEC得出S正方形ACDE+S正方形BCFG+S△DFE﹣S△ABE﹣S△BGF﹣S△AEC，求出b﹣a＝1，再根据a+b＝AB＝5求出a、b的值，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：设正方形AEDC的边长是a，正方形BCFG的边长是b，
则AE＝DE＝DC＝AC＝a，CF＝FG＝BG＝BC＝b，
∵S△BEF＝S正方形ACDE+S正方形BCFG+S△DFE﹣S△ABE﹣S△BGF，
∵S△BEF﹣S△AEC，
∴S正方形ACDE+S正方形BCFG+S△DFE﹣S△ABE﹣S△BGF﹣S△AEC，
∴a2b2（b﹣a）a5×ab2，
即ba，
∴b﹣a＝1，
∵AC+BC＝AB＝5，
∴a+b＝5，
解得：a＝2，b＝3，
即BC＝3，AE＝2，
∴S△BEC3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了整式的混合运算，正方形的性质，三角形的面积等知识点，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
14．　①③④　
【分析】①②③利用完全平方公式和多项式乘多项式法则求出要拼成的图形的面积，各项系数即为各型号卡片的个数．
④所有卡片面积和为4a2+11ab+7b2，将此多项式因式分解即可．
【解答】①（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，要用A型卡片1张，B型卡片4张，C型卡片4张，
所以可拼成边长为a+2b的正方形．
②（2a+3b）2＝4a2+12ab+9b2，要用A型卡片4张，B型卡片12张，C型卡片9张，
因为B型卡片只有11张，C型卡片只有7张，
所以不能拼成边长为2a+3b的正方形．
③（2a+4b）（2a+b）＝4a2+2ab+8ab+4b2＝4a2+10ab+4b2，
可得A型卡片4张，B型卡片10张，C型卡片4张，
所以可拼成长、宽分别为2a+4b、2a+b的长方形．
④所有卡片面积和为4a2+11ab+7b2＝（4a+7b）（a+b）．
所以所有卡片可拼长长为（4a+7b），宽为（a+b）的长方形．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了整式乘法、分解因式与几何图形之间的联系，解题时注意利用数形结合和熟记公式是解题的关键．
15．　（2m+n）2＝4m2+4mn+n2　．
【分析】分别计算出4块A的面积和4块B的面积、2块C的面积，再计算这三种类型的砖的总面积，用完全平方公式化简后，即可得出多了哪种类型的地砖．
【解答】解：4块A的面积为：4×m×m＝4m2；
4块B的面积为：4×m×n＝4mn；
2块C的面积为2×n×n＝2n2；
那么这三种类型的砖的总面积应该是：
4m2+4mn+2n2＝4m2+4mn+n2+n2＝（2m+n）2+n2，
因此，多出了一块C型地砖，去掉一块C型地砖，这两个数的平方为（2m+n）2．
这样的地砖拼法可以得到一个关于m，n的恒等式为：4m2+4mn+n2＝（2m+n）2
故答案为：4m2+4mn+n2＝（2m+n）2．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，立意较新颖，注意面积的不同求解是解题的关键，对此类问题要深入理解．
16．　等腰三角形　．
【分析】把给出的式子重新组合，分解因式，分析得出b＝c，才能说明这个三角形是等腰三角形．
【解答】解：b2+2ab＝c2+2ac，
a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac，
（a+b）2＝（a+c）2，
a+b＝a+c，
b＝c，
所以此三角形是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
【点评】此题主要考查了学生对等腰三角形的判定，即两边相等的三角形为等腰三角形，分类讨论思想的应用是解题关键．
三、解答题（共9小题）
17．
【分析】（1）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；
（2）先将原式变形，然后根据积的乘方可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣3a3）2 a3+6a12÷（﹣a3）
＝9a6 a3+6a12÷（﹣a3）
＝9a9+（﹣6a9）
＝3a9；
（2）（﹣0.125）2019×22020×42018
＝（）2019×（22018×42018×22）
＝（）2019×（22018×42018×4）
＝（）2019×82018×4
＝（8）2018×（）×4
＝（﹣1）2018×（）×4
＝1×（）×4
．
【点评】本题考查整式的混合运算、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．
【分析】先算乘方，再算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝4m2﹣1﹣（m2﹣2m+1）+8m3÷（﹣8m）
＝4m2﹣1﹣m2+2m﹣1﹣m2
＝2m2+2m﹣2
＝2（m2+m）﹣2，
∵m2+m﹣2＝0，
∴m2+m＝2，
当m2+m＝2时，原式＝2×2﹣2＝2．
【点评】本题考查整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．
【分析】（1）结合新定义，直接可以判断28是“神秘数”，可以设50是“神秘数”，根据新定义，列出方程，无整数解，即可否定；
（2）利用新定义，列出“神秘数”的表达式，因式分解，即可解决．
【解答】解：（1）∵28＝82﹣62，
∴28是“神秘数”，
设50＝（2k+2）2﹣（2k）2，
∴8k+4＝50，
∴k，
∴2k不是整数，
故50不是“神秘数”，
即28是“神秘数”，且28＝82﹣62，
50不是“神秘数”；
（2）“神秘数”是4的倍数，理由如下：
∵（2k+2）2﹣（2k）2＝8k+4＝4（2k+1），
∵2k+1是奇数，
∴4（2k+1）是4的倍数，
故“神秘数”是4的倍数．
【点评】本题考查了因式分解的应用，理解新定义的原理是解决本题的关键．
20．
【分析】根据各式规律即可确定出所求；
（1）仿照题目中规律，将x＝5，n＝2021代入后再等式变形即可；
（2）将x＝﹣3，n＝20代入题目中发现的规律，再等式变形计算即可求出答案．
【解答】解：由题意得：xn+1﹣1；
（1）将x＝5，n＝2021代入得：
（52022﹣1）÷（5﹣1）＝52021+52020+52019+…+51+1，
∴52021+52020+52019+…+51+1．
（2）将x＝﹣3，n＝20代入得：
[（﹣3）21﹣1]÷（﹣3﹣1）＝（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）+1，
∴（﹣3）20+（﹣3）19+（﹣3）18+…+（﹣3）
．
【点评】本题主要考查了探索规律，体现了由一般到特殊的应用，解题的关键是探索出规律，根据规律答题．
21．
【分析】（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．
（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38作为整式代入即可求出．
（3）找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件．
【解答】解：（1）根据题意，大矩形的面积为：（a+b+c）（a+b+c）＝（a+b+c）2，
各小矩形部分的面积之和＝a2+2ab+b2+2bc+2ac+c2，
∴等式为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）a2+b2+c2 ＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
＝112﹣2×38
＝45．
（3）如图所示
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．
22．
【分析】（1）将多项式2b2+3ab+a2进行因式分解，结合边长即可画出符合题意的图形；
（2）利用8ab可以分解为：a，8b；8a，b；2a，4b；4a，2b即可得出答案；
（3）利用图形直接得出答案；
（4）利用长方形②的周长为20，面积为12，得出a，b的关系，利用完全平方公式得出小正方形①与大正方形③的面积之和a2+b2的值．
【解答】解：（1）如图所示：S＝2b2+3ab+a2＝（a+b）（a+2b）；
（2）从这三种硬纸板中选择一些拼出面积为8ab的不同形状的长方形，
∵8ab可以分解为：a，8b；8a，b；2a，4b；4a，2b．
∴这些长方形的周长共有4种不同情况．
故答案为：4．
（3）设还需要③类纸片x张才能用它们拼成一个新的正方形；
则新正方形面积为：a2+4ab+xb2，且它是完全平方式．
∴x＝4．
故答案为：4．
（4）由已知得：a+b＝10，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣24＝76．
【点评】此题考查了整式的运算和因式分解与几何图形设计，体现了数形结合思想．
23．
【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；
（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系．
（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．
（4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式．
【解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝25，
则x﹣y＝±5；
（4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）＝2m2+3mn+n2．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．
24．
【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，即可得出答案，
（3）由图③可知矩形面积为（a+2b） （a+b），利用面积得出a2+3ab+2b2＝（a+2b） （a+b），
（4）先分解因式，再根据边长画图即可．
【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）由如图③可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张；
故答案为：2，3．
（3）由图③可知矩形面积为（a+2b） （a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b） （a+b），
故答案为：（a+2b） （a+b）．
（4）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b），
如图，
故答案为：（a+2b）（a+3b）．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．
25．
【分析】（1）根据题目提供的方法，进行计算即可；
（2）根据题意可得，a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，将ab化成[（a+b）2﹣（a2+b2）]的形式，代入求值即可；
（3）根据题意可得，（20﹣x）（12﹣x）＝160，即（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，根据（1）中提供的方法，求出（20﹣x）2+（12﹣x）2的结果就是阴影部分的面积．
【解答】解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，
所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；
故答案为：12；
（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，
所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab[（a+b）2﹣（a2+b2）]（32﹣2020）；
答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为；
（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），
∵长方形CEPF的面积为160，
∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，
∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，
∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，
所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；
故答案为：384．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键．