专题 01 全等三角形
考点 1：全等图形
1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；
B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；
C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意；
D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．如图，已知方格纸中是 4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．100°
【答案】C
【解析】在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠1＝∠BAC，
∵∠BAC+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：C．
3．全等形是指两个图形（ ）
A．大小相等 B．完全重合 C．形状相同 D．以上都不对
【答案】B
【解析】能够完全重合的两个图形叫做全等形，
故选：B．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．面积相等的两个图形是全等图形
B．形状相等的两个图形是全等图形
C．周长相等的两个图形是全等图形
D．能够完全重合的两个图形是全等图形
【答案】D
【解析】A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误；
B、形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误；
C、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误；
D、符合全等形的概念，正确．
故选：D．
5．如图，四边形 ABCD≌四边形 A′B′C′D′，则∠A的大小是 ________．
【答案】95°．
【解析】∵四边形 ABCD≌四边形 A'B'C'D'，
∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，
故答案为：95°．
6．如图，在 2×2的正方形网格中，线段 AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝________°．
【答案】90．
【解析】由题意可得 CO＝AO，BO＝DO，
在△COD和△AOB中 ，
∴△COD≌△AOB（SAS），
∴∠1＝∠BAO，
∵∠2+∠BAO＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：90．
7．如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有 ②③ ．（填序号）
【答案】②③．
【解析】由图可知，图上由实线围成的图形与①是全等形的有②，③，
故答案为：②③．
8．如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．
【答案】见解析
【解析】如图所示：
．
考点 2：全等三角形的性质
1．如图两个直角三角形，若△ABC≌△CDE，则线段 AC和线段 CE的关系是（ ）
A．既不相等也不互相垂直 B．相等但不互相垂直
C．互相垂直但不相等 D．相等且互相垂直
【答案】D
【解析】∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴AC＝CE，∠A＝∠ECD，∠B＝∠D，∠ACB＝∠E．
∵△ABC是直角三角形，
∠A+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝∠ACB+∠A＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥CE，
∴AC和 CE相等且互相垂直，
故选：D．
2．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝25°，则∠ACA′的度数为（ ）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【答案】C
【解析】∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠A′CB′＝∠ACB，
∴∠A′CB′﹣∠A′CB＝∠ACB﹣∠A′CB，
∴∠ACA′＝∠BCB′＝25°，
故选：C．
3．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线 l对称，点 A′，B′，C′分别是 A，B，C的对称点，AB＝3，BC＝4，AC＝5，
则 B′C′的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】∵△ABC和△A′B′C′关于直线 l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴BC＝B′C′＝4，
故选：B．
4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．47° B．57° C．60° D．73°
【答案】A
【解析】由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣60°﹣73°＝47°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝47°，
故选：A．
5．已知△ABC与△DEF是一组全等三角形，它们的部分内角度数和边长如图，那么∠D的度数是________．
【答案】72°．
【解析】∵△ABC与△DEF是一组全等三角形，且 BC＝EF＝10，
∴∠A与∠D是对应角，
∵∠A＝72°，
∴∠D＝72°，
故答案为：72°．
6．如图，CA⊥AB，垂足为点 A，AB＝8cm，AC＝4cm，射线 BM⊥AB，垂足为点 B，一动点 E从 A点出发，以 2cm/
秒的速度沿射线 AN运动，点 D为射线 BM上一动点，随着 E点运动而运动，且始终保持 ED＝CB，当点 E运动
________秒时，点 B、D、E组成的三角形与点 A、B、C组成的三角形全等．
【答案】0，2，6，8．
【解析】①当 E在线段 AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8﹣4＝4，
∴点 E的运动时间为 4÷2＝2（秒）；
②当 E在 BN上，AC＝BE时，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8+4＝12，
∴点 E的运动时间为 12÷2＝6（秒）；
③当 E在线段 AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时 E在 A点未动，因此时间为 0秒；
④当 E在 BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝8+8＝16，
点 E的运动时间为 16÷2＝8（秒），
故答案为：0，2，6，8．
7．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出 x＝________．
【答案】【故答案为：18．
解析】如图，
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝18，
即 x＝18，
故答案为：18．
8．如图，已知△AEF≌△ABC，点 E在 BC边上，EF与 AC交于点 D．若∠B＝64°，∠C＝30°，求∠CDF的度数．
【答案】见解析
【解析】∵△AEF≌△ABC，
∴AE＝AB，∠AEF＝∠B＝64°，
∵点 E在 BC边上，
∴∠AEB＝∠B＝64°，
∴∠DEC＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣64°﹣64°＝52°，
又∵∠C＝30°，且∠CDF是△CDE的外角，
∴∠CDF＝180°﹣∠C﹣∠DEC＝180°﹣52°﹣30°＝98°．
考点 3：全等三角形的判定
1．如图，AC与 BD相交于点 O，∠D＝∠C，添加下列哪个条件后，仍不能使△ADO≌△BCO的是（ ）
A．AC＝BD B．∠ABD＝∠BAC C．AD＝BC D．OD＝OC
【答案】A
【解析】添加 AC＝BD，不能证明△ADO≌△BCO；
添加∠ABD＝∠BAC，得 OA＝OB，根据 AAS，可证明△ADO≌△BCO；
添加 AD＝BC，根据 AAS，可证明△ADO≌△BCO；
添加 OD＝OC，根据 ASA，可证明△ADO≌△BCO；
故选：A．
2．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90° B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm
C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°
【答案】A
【解析】A、由题意，根据勾股定理可得 AB＝4，根据 SSS可以确定三角形，本选项符合题意．
B、由题意，AB+AC＝BC，不能构成三角形，本选项不符合题意．
C、AAA不能确定三角形，本选项不符合题意．
D、SSA不能确定三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
3．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AB∥DE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（ ）
A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE
【答案】C
【解析】补充 BE＝CF，理由如下：
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故选：C．
4．如图，∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，可证明△ABC≌△BAD．使用了全等三角形的判定定理（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】D
【解析】在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS）．
故选：D．
5．如图，AB＝DE，AB∥DE，请添加一个条件________，使△ABC≌△DEF．
【答案】故答案是：∠A＝∠D或 BE＝CF或 BC＝EF或∠ACB＝∠F（填一个即可）．
【解析】可添加条件为∠A＝∠D或 BC＝EF或 BE＝CF或∠ACB＝∠F．
理由如下：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
若添加 BE＝CF或 BC＝EF，可由 SAS证得△ABC≌△DEF；
若添加∠ACB＝∠F，可由 AAS证得△ABC≌△DEF；
故答案是：∠A＝∠D或 BE＝CF或 BC＝EF或∠ACB＝∠F（填一个即可）．
6．如图，已知∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，则应添加的一个条件是________．（填一种即可）
【答案】AC＝AD或∠C＝∠D或∠ABC＝∠ABD．
【解析】添加 AC＝AD，利用 SAS可得△ABC≌△ABD；
添加∠C＝∠D，利用 AAS可得△ABC≌△ABD；
添加∠ABC＝∠ABD，利用 ASA可得△ABC≌△ABD；
故答案为：AC＝AD或∠C＝∠D或∠ABC＝∠ABD．
7．如图，已知 AC＝BD，要使得△ABC≌△DCB，根据“SSS”判定方法，需要再添加的一个条件是________．
【答案】AB＝DC．
【解析】添加 AB＝DC．
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴添加一个适当的条件是 AB＝DC．
8．已知；如图，AB＝AD，∠1＝∠2，∠B＝∠D．
求证：△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
考点 4：直角三角形全等的判定
1．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
【答案】D
【解析】A、根据 SAS定理可知，两条直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
B、根据 AAS定理可知，斜边和一锐角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
C、根据 HL定理可知，斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
D、两个锐角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项符合题意；
故选：D．
2．如图，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定 Rt△ABD和 Rt△CDB全等的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】D
【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在 Rt△ABD和 Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：D．
3．下列结论正确的是（ ）
A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．两个等边三角形全等
D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
【答案】D
【解析】A、由于判断两个三角形全等，必须要一组边相等，所以有两个锐角相等的两个直角三角形全等的说法
错误；
B、由于直角三角形除了直角，还需两个条件才能判断这两个直角三角形全等，所以一条斜边对应相等的两个直
角三角形全等的说法错误；
C、由于判断两个三角形全等，必须要一组边相等，所以两个等边三角形全等的说法错误；
D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，说法正确；
故选：D．
4．如图，若要用“HL”证明 Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确
【答案】B
【解析】若要用“HL”证明 Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件 AC＝AD或 BC＝BD，
故选：B．
5．在△ABC中，AD⊥BC于 D，要用“HL“证明 Rt△ADB≌Rt△ADC，则需添加的条件是________．
【答案】AB＝AC．
【解析】添加条件：AB＝AC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在 Rt△ABD和 Rt△ACD中
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
6．两个锐角分别相等的直角三角形________全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）
【答案】不一定．
【解析】当还有一条边对应相等时，两直角三角形全等；
当三角形的边不相等时，两直角三角形不全等；
即两个锐角分别相等的直角三角形不一定全等，
故答案为：不一定．
7．如图，在 Rt△ABC与 Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明 Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件
是________．（不添加字母和辅助线）
【答案】AB＝DC（答案不唯一）
【解析】∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，
∴在 Rt△ABC与 Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使 Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC．
8．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且 BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
【解答】证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在 Rt△BEC和 Rt△CDB中，
，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）．
考点 5：全等三角形的判定与性质
1．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在 AC上取一点 E，使 EC＝BC，过点 E作 EF⊥AC，连接 CF，
使 CF＝AB，若 EF＝12cm，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠F＝∠BCF B．AE＝7cm C．EF平分 AB D．AB⊥CF
【答案】C
【解析】∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠F＝∠BCF，故 A正确；
∵BD⊥AC，EF⊥AB，
∴∠ADB＝∠FEB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠F+∠FBE＝90°，
∴∠A＝∠F，
在△ABC和△FEB中，
，
∴△ABC≌△FEB（AAS），
∴AB＝EF＝12cm，
∵BE＝BC＝5cm，
∴AE＝AB﹣BE＝7cm．故 B正确；
∵AE≠EC，
∴不能证明 EF平分 AB，故 C错误；
∵∠A＝∠F，
∴∠A+∠ACD＝∠F+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AB⊥CF，故 D正确．
∴结论不正确的是 C．
故选：C．
2．如图所示，∠E＝∠F＝90°，AE＝AF，AB＝AC，下列结论①∠FAN＝∠EAM；②EM＝FN；③CD＝DN；
④△ACN≌△ABM．其中下列结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】在 Rt△AEB与 Rt△AFC中，
，
∴Rt△AEB≌Rt△AFC（HL），
∴∠FAM＝∠EAN，
∴∠EAN﹣∠MAN＝∠FAM﹣∠MAN，
即∠EAM＝∠FAN．
故①正确；
又∵∠E＝∠F＝90°，AE＝AF，
∴△EAM≌△FAN（ASA），
∴EM＝FN．
故②正确；
由△AEB≌△AFC知：∠B＝∠C，
又∵∠CAB＝∠BAC，AC＝AB，
∴△ACN≌△ABM（ASA）；
故④正确．
由于条件不足，无法证得③CD＝DN；
故正确的结论有：①②④；
故选：C．
3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【解析】∵∠B＝40°，AB＝CB，
∴∠A＝∠C＝ （180°﹣40°）＝70°，
在△AEF和△CFD中，
，
∴△AEF≌△CFD（SAS），
∴∠AFE＝∠CDF，
∵∠AFE+∠EFD+∠CFD＝180°，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴∠EFD＝∠C＝70°．
故选：C．
4．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠C＝30°，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】A
【解析】在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠D＝∠C，
∵∠C＝30°，
∴∠D＝30°，
故选：A．
5．在四边形 ABCD中，∠A＝96°，对角线 BD平分∠ABC，AD＝CD，∠BDC﹣∠ABC＝24°，则∠ABD的度数为
________．
【答案】24°．
【解析】过 D作 DE⊥AB于 E，DF⊥BC于 F，如图所示：
则∠DEA＝∠DFC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，DE＝DF，
在 Rt△ADE和 Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠DAE＝∠C＝180°﹣∠BAD＝180°﹣96°＝84°，
∴∠CDF＝90°﹣∠C＝6°，
设∠ABD＝∠CBD＝x，则∠ABC＝2x，∠BDF＝90°﹣x，
∴∠BDC＝90°﹣x+6°＝96°﹣x，
∵∠BDC﹣∠ABC＝24°，
∴96°﹣x﹣2x＝24°，
解得：x＝24°，
即∠ABD＝24°，
故答案为：24°．
6．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是中线，点 E在 AD的延长线上，若 AD＝DE＝2，则 S△ABC＝________．
【答案】6．
【解析】∵AD是边 BC上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴△ABD的面积＝△ECD的面积，AB＝CE＝3，
∴△ABC的面积＝△ACE的面积，
∵AE＝AD+DE＝4，AC＝5，CE＝3，
∴AE2+CE2＝AC2，
∴△ACE是直角三角形，
∴△ABC的面积＝△ACE的面积＝ CE×AE＝ ×3×4＝6，
故答案为：6．
7．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠DAB＝80°，则∠DAC＝________．
【解答】证明：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC
∵∠DAB＝80°，
∴∠DAC＝40°，
故答案为：40°．
8．如图，已知 AD是△ABC的高，∠ABC＝45°，E为 AC上一点，连 AD、BE交于点 F，且∠CBE＝∠CAD．
（1）求证：△BFD≌△ACD．
（2）若 BD＝5，CD＝2，AE＝2 ，则 EF等于多少？
【答案】见解析
【解析】（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
在△BFD和△ACD中，
，
∴△BFD≌△ACD（AAS）；
（2）∵△BFD≌△ACD，
∴DF＝CD＝2，∠DBF＝∠DAC，
∴∠DBF+∠BFD＝∠DAC+∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∵BD＝AD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3，
在 Rt△AEF中，AF＝3，AE＝2 ，根据勾股定理，得
EF＝ ＝1．
考点 6：全等三角形的应用
1．如图，张三不小心把家中一块三角形的玻璃摔成四块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正
确的办法是带（ ）去配．
A．第 1块 B．第 2块 C．第 3块 D．第 4块
【答案】B
【解析】因为第 2块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用 ASA易证三角形全等，故应带第 2块．
故选：B．
2．如图为了测量 B点到河对面的目标 A之间的距离，在 B点同侧选择了一点 C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，
然后在 M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得 MB的长就是 A，B两点
间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
【答案】D
【解析】在△ABC和△MBC中 ，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：D．
3．如图，将两根钢条 AA'、BB'的中点 O连在一起，使 AA'、BB'可以绕着点 O自由旋转，就做成了一个测量工件，
则 A'B'的长等于内槽宽 AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】B
【解析】△OAB与△OA′B′中，
∵AO＝A′O，∠AOB＝∠A′OB′，BO＝B′O，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．
故选：B．
4．一块三角形玻璃摔成四片（如图），只需带上其中的一片，玻璃店的师傅就能重新配一块与原来形状和大小相同
的玻璃，请选出应带玻璃片的序号（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】由图可知，带 2去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形．
故选：B．
5．如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块，他只要带________块碎片到商店，就能配出一块和原来一样
的三角形玻璃．
【答案】c．
【解析】a只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
b则只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃；
而 c不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带“c”去，根据全等三角形判定“ASA”可以配出一块和原
来一样的三角形玻璃．
故答案为：c．
6．有一座小山，现要在小山 A，B的两端开一条隧道，施工队要知道 A，B两端的距离，于是先在平地上取一个可
以直接到达点 A和点 B的点 C，连接 AC并延长到 D，使 CD＝CA，连接 BC并延长到 E，使 CE＝CB，连接 DE．经
测量 DE，EC，DC的长度分别为 800m，500m，400m，则 A，B之间的距离为________m．
【答案】800．
【解析】在△ABC和△EDC中 ，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB＝DE＝800．
答：A，B之间的距离为 800m．
故答案是：800．
7．如图，把两根钢条 AB，CD的中点连在一起做成卡钳，可测量工件内槽的宽，已知 AC的长度是 6cm，则工件内
槽的宽 BD是________cm．
【答案】6．
【解析】∵把两根钢条 AB，CD的中点连在一起做成卡钳，
∴AO＝BO，CO＝DO，
在△BOD和△AOC中 ，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴BD＝AC＝6cm，
故答案为：6．
8．要测量河两岸相对的两点 A，B的距离，先在 AB的垂线 BF上取两点 C，D，使 CD＝BC，再定出 BF的垂线
DE，使 A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得 ED＝AB，因此测得 ED的长就是
AB的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．
【解答】证明：∵BF⊥AB，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠BDE
又∵CD＝BC，∠ACB＝∠DCE
∴△EDC≌△ABC（ASA），
∴DE＝BA．
考点 7：作图—尺规作图的定义
1．下列关于几何画图的语句，正确的是（ ）
A．延长射线 AB到点 C，使 BC＝2AB
B．点 P在线段 AB上，点 Q在直线 AB的反向延长线上
C．将射线 OA绕点 O旋转，当终止位置 OB与起始位置 OA成一条直线时形成平角
D．已知线段 a、b，若在同一直线上作线段 AB＝a，BC＝b，则线段 AC＝a+b
【答案】C
【解析】A．延长射线 AB到点 C，使 BC＝2AB，
因为射线不能延长，
所以 A选项错误，不符合题意；
B．因为直线不能反向延长，
所以 B选项错误，不符合题意；
C．将射线 OA绕点 O旋转，当终止位置 OB与起始位置 OA成一条直线时形成平角．
C选项正确，符号题意；
D．已知线段 a、b，若在同一直线上作线段 AB＝a，BC＝b，则线段 AC＝a+b或＝a﹣b．
所以 D选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．下列作图语句正确的是（ ）
A．连接 AD，并且平分∠BAC B．延长射线 AB
C．作∠AOB的平分线 OC D．过点 A作 AB∥CD∥EF
【答案】C
【解析】A．连接 AD，不能同时使平分∠BAC，此作图错误；
B．只能反向延长射线 AB，此作图错误；
C．作∠AOB的平分线 OC，此作图正确；
D．过点 A作 AB∥CD或 AB∥EF，此作图错误；
故选：C．
3．下列画图的语句中，正确的为（ ）
A．画直线 AB＝10cm
B．画射线 OB＝10cm
C．延长射线 BA到 C，使 BA＝BC
D．画线段 CD＝2cm
【答案】D
【解析】A、错误．直线没有长度；
B、错误．射线没有长度；
C、错误．射线有无限延伸性，不需要延长；
D、正确．
故选：D．
4．下列画图的语句中，正确的为（ ）
A．画直线 AB＝10cm
B．画射线 OB＝10cm
C．延长射线 BA到 C，使 BA＝BC
D．过直线 AB外一点画一条直线和直线 AB相交
【答案】D
【解析】A、错误．直线没有长度；
B、错误．射线没有长度；
C、错误．射线有无限延伸性，不需要延长；
D、正确．
故选：D．
5．下列说法：其中正确的是________．（填序号）
①用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段属于尺规作图；
②射线 AB与射线 BA表示同一条射线；
③若 AC＝BC，则点 C是线段 AB的中点；
④钟表在 8：30时，时针与分针的夹角是 60°．
【答案】①．
【解析】①用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段属于尺规作图，所以本说法正确；
②射线 AB与射线 BA表示同一条射线，射线有方向，所以本说法错误；
③若 AC＝BC，则点 C是线段 AB的中点，A，B，C不一定在一条直线上，所以本说法错误；
④钟表在 8：30时，时针与分针的夹角是 75°，所以本说法错误．
6．下列语句表示的图形是（只填序号）
①过点 O的三条直线与另条一直线分别相交于点 B、C、D三点：________．
②以直线 AB上一点 O为顶点，在直线 AB的同侧画∠AOC和∠BOD：________．
③过 O点的一条直线和以 O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点 B、C、D三点： ________．
【答案】（3），（2），（1）．
【解析】①过点 O的三条直线与另一条直线分别相交于点 B、C、D三点的图形为（3）；
②以直线 AB上一点 O为顶点，在直线 AB的同侧画∠AOC和∠BOD的图形为（2）；
③过 O点的一条直线和以 O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点 B、C、D三点的图形为（1）．
7．下列语句是有关几何作图的叙述．
①以 O为圆心作弧；②延长射线 AB到点 C；③作∠AOB，使∠AOB＝∠1；④作直线 AB，使 AB＝a；⑤过三角
形 ABC的顶点 C作它的对边 AB的平行线．其中正确的有 ________．（填序号即可）
【答案】③⑤．
【解析】①以 O为圆心作弧可以画出无数条弧，因为半径不固定，所以叙述错误；
②射线 AB是由 A向 B向无限延伸，所以叙述错误；
③根据作一个角等于已知角的作法，可以作一个角∠AOB，使∠AOB等于已知∠1，所以叙述正确；
④直线可以向两方无限延伸，所以叙述错误；
⑤根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以过三角形 ABC的顶点 C作它的对边 AB
的平行线，所以叙述正确．
所以正确的有③⑤．
8．如图，利用尺规，在△ABC的边 AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线 AE上截取 AD＝BC，连接 CD，并证明：
CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】图象如图所示，
∵∠EAC＝∠ACB，
∴AD∥CB，
∵AD＝BC，∠DAC＝∠ACB，AC＝CA，
∴△ACD≌△CAB（SAS），
∴∠ACD＝∠CAB，
∴AB∥CD．
考点 8：作图—基本作图
1．如图 1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图 2，步骤如下，
第一步：以 B为圆心，以 a为半径画弧，分别交射线 BA，BC于点 D，E；
第二步：分别以 D，E为圆心，以 b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点 P；
第三步：画射线 BP．射线 BP即为所求．
下列正确的是（ ）
A．a，b均无限制 B．a＞0，b＞ DE的长
C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b＜ DE的长
【答案】B
【解析】以 B为圆心画弧时，半径 a必须大于 0，分别以 D，E为圆心，以 b为半径画弧时，b必须大于 DE，
否则没有交点，
故选：B．
2．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）
A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
【答案】D
【解析】由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（AAS），
∴DB＝DE，AB＝AE，
∵∠AED+∠B＝180°
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EDC＝∠BAC，
故 A，B，C正确，
故选：D．
3．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点 B和 C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于
点 M和 N；②作直线 MN交 AC于点 D，连接 BD．若 AC＝6，AD＝2，则 BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由作图知，MN是线段 BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AC＝6，AD＝2，
∴BD＝CD＝4，
故选：C．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝30°，分别以点 A和点 C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相
交于点 M，N，作直线 MN交 BC于点 D，连接 AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【解析】由作图可知：MN垂直平分线段 AC，
可得 DA＝DC，
则∠DAC＝∠C＝30°，
故∠BAD＝70°﹣30°＝40°，
故选：A．
5．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以 A为圆心，以适当的长为半径作弧，交 AB于点 M，交 AC于
点 N．分别以 M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点 G，作射线 AG，交
BC于点 D，点 F在 AC边上，AF＝AB，连接 DF，则△CDF的周长为________．
【答案】12．
【解析】∵AB＝5，AC＝8，AF＝AB，
∴FC＝AC﹣AF＝8﹣5＝3，
由作图方法可得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△AFD中
，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴BD＝DF，
∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+3＝12．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点 A为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC于点 M和 N，再
分别以 M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于 P，连接 AP并延长交 BC于点 D，则∠ADB＝________
度．
【答案】120；
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝ ∠CAB＝30°，
∴∠ADB＝90°+30°＝120°，
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，AC＝2，分别以点 A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两
弧相交于点 M，N，作直线 MN交 BC于点 D，则 BD的长为________．
【答案】2 ．
【解析】由作法得 MN垂直平分 AB，连接 AD，则 DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝22.5°，
∴∠CDA＝22.5°+22.5°＝45°，
∵∠C＝90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD＝ AC＝2 ，
∴BD＝2 ．
8．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请用尺规作图法，作 ACB的平分线 CD，交 AB于点 D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点 D分别作 DE⊥AC于点 E，DF⊥BC于点 F，四边形 CEDF ________形．
【答案】见解析
【解析】（1）如图，射线 CD即为所求．
（2）结论：四边形 CEDF是正方形．
理由：∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝∠ECF＝∠DFC＝90°，
∴四边形 CEDF是矩形，
∵∠DCA＝∠DCF，DE⊥AC，DF⊥CB，
∴DE＝DF，
∴四边形 CEDF是正方形．
故答案为：正方．
考点 9：作图—复杂作图
1．下列用三角板过点 P画 AB的垂线 CD，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据垂线的定义可知选项 D中，直线 CD经过点 P，CD⊥AB，符合题意．
故选：D．
2．我们利用尺规作图，可以作一个角（∠A'O'B'）等于已知角（∠AOB），如下所示：
（1）作射线 O'A'；
（2）以 O为圆心，任意长为半径作弧，交 OA于 C，交 OB于 D；
（3）以 O'为圆心，OC为半径作弧，交 O'A'于 C'；
（4）以 C'为圆心，OC为半径作弧，交前面的弧于 D'；
（5）连接 O'D'作射线 O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．
以上作法中，错误的一步是（ ）
A．（2） B．（3） C．（4） D．（5）
【答案】C
【解析】（4）错误．应该是以 C'为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于 D'；
故选：C．
3．已知△ABC（AC＞BC），用尺规作图的方法在 AB 上确定一点 P，使 PA+PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵PA+PB＝AB，PA+PC＝AB，
∴PC＝PB，
∴点 P在 BC的垂直平分线上．
故选：B．
4．已知线段 a，h，小明用如图所示的方法作△ABC，他的具体作法是：
①作射线 AM，以点 A为圆心，线段 a的长为半径画弧，交射线 AM于点 B；②分别以点 A，B为圆心，大于 AB
长为半径画弧，两弧交于 D，E两点；③作直线 DE，交 AB于点 F；④以点 F为圆心，线段 h的长为半径画弧，
交直线 DE于点 C，连接 AC，BC．
下列关于小明作的△ABC的说法，错误的是（ ）
A．AF＝BF B．∠CAB＝∠CBA C．∠ACF＝∠BCF D．AB＝BC
【答案】D
【解析】由作图可知，DE垂直平分线段 AB，
∴AF＝BF，DE⊥AB，
∴CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，∠ACF＝∠BCF，
故 A，B，C正确，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝15，AD平分∠BAC，交 BC于点 D．以点 C为圆心，以任意长
为半径作弧，分别与边 CA和 CB相交，然后再分别以这两个交点为圆心，大于交点间距离的一半为半径作弧，
两弧交于点 F，连接 CF并延长交 AD于点 O，过点 O作 AC的平行线交 BC于点 E，则 OE的长为________．
【答案】 ．
【解析】过点 D作 DJ⊥AB于 J，DK⊥AC于 K．
在 Rt△ACB中，∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝15，
∴BC＝ ＝ ＝17，
∵AD平分∠BAC，DJ⊥AB，DK⊥AC，
∴DJ＝DK，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴CD＝ ×17＝ ，
∵OC平分∠ACD，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵OE∥AC，
∴∠EOC＝∠AOC＝∠ECO，
∴OE＝EC，
∵OD：OA＝DE：EO＝17：23，
∴EC＝ × ＝ ．
6．“过点 P作直线 b，使 b∥a”，小明的作图痕迹如图所示，他的作法的依据是________．
【答案】内错角相等，两直线平行．
【解析】由作法得∠1＝∠2，
所以 a∥b．
7．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，以点 A为圆心，AB长为半径作弧，交 BC于点 D，交 AC于点 G；再分别以
点 B和点 D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点 E，作射线 AE交 BC于点 F．若以点 G为圆心，
GC长为半径画弧，这段弧恰好经过 C、D两点，则此时∠FAC的度数是________．
【答案】54°．
【解析】连接 DG，如图，设∠C＝x，∠B＝2x，
由作法得 AB＝AD＝AG，AF垂直平分 BD，
∵以点 G为圆心，GC长为半径画弧，这段弧恰好经过 C、D两点，
∴GD＝GC，
∴∠GDC＝∠C＝x，
∴∠AGD＝∠GDC+∠C＝2x，
∵AD＝AG，
∴∠ADG＝∠AGD＝2x，
∵AD＝AB，
∴∠ADB＝∠B＝2x，
∵∠ADB+∠ADG+∠GDC＝180°，即 2x+2x+x＝180°，
∴x＝36°，
∵∠AFC＝90°，
∴∠FAC＝90°﹣∠C＝90°﹣36°＝54°．
8．已知 A（0，2），B（3，0），C（4，4）．
（1）在坐标系中描出各点，画出三角形 ABC；
（2）求三角形 ABC的面积；
（3）设点 P在坐标轴上，且三角形 ABP与三角形 ABC的面积相等，请直接写出所有点 P的坐标．
【答案】见解析【解析】（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图所示，过点 C向 x、y轴作垂线，垂足为 D，E．
∴S 四边形DOEC＝4×4＝16，S△BCD＝ ×1×4＝2，
S△ACE＝ ×2×4＝4，S△AOB＝ ×2×3＝3．
∴S△ABC＝S 四边形DOEC﹣S△ACE﹣S△BCD﹣S△AOB＝16﹣2﹣4﹣3＝7．
（3）当点 p在 x轴上时，S△ABP＝ AO BP＝7，即： ×2×BP＝7，解得：BP＝7，
所以点 P的坐标为（10，0）或（﹣4，0）；
当点 P在 y轴上时，S△ABP＝ BO AP＝7，即 ×3×AP＝7，解得：AP＝ ．
所以点 P的坐标为（0， ）或（0，﹣ ）．
∴点 P的坐标为（10，0）或（﹣4，0）或（0， ）或（0，﹣ ）．专题 01 全等三角形
考点 1：全等图形
1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，已知方格纸中是 4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．100°
3．全等形是指两个图形（ ）
A．大小相等 B．完全重合 C．形状相同 D．以上都不对
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．面积相等的两个图形是全等图形
B．形状相等的两个图形是全等图形
C．周长相等的两个图形是全等图形
D．能够完全重合的两个图形是全等图形
5．如图，四边形 ABCD≌四边形 A′B′C′D′，则∠A的大小是 ________．
6．如图，在 2×2的正方形网格中，线段 AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝________°．
7．如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有 ②③ ．（填序号）
8．如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．
考点 2：全等三角形的性质
1．如图两个直角三角形，若△ABC≌△CDE，则线段 AC和线段 CE的关系是（ ）
A．既不相等也不互相垂直 B．相等但不互相垂直
C．互相垂直但不相等 D．相等且互相垂直
3．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线 l对称，点 A′，B′，C′分别是 A，B，C的对称点，AB＝3，BC＝4，AC＝5，
则 B′C′的长为（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
4．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．47° B．57° C．60° D．73°
5．已知△ABC与△DEF是一组全等三角形，它们的部分内角度数和边长如图，那么∠D的度数是________．
6．如图，CA⊥AB，垂足为点 A，AB＝8cm，AC＝4cm，射线 BM⊥AB，垂足为点 B，一动点 E从 A点出发，以 2cm/
秒的速度沿射线 AN运动，点 D为射线 BM上一动点，随着 E点运动而运动，且始终保持 ED＝CB，当点 E运动
________秒时，点 B、D、E组成的三角形与点 A、B、C组成的三角形全等．
7．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出 x＝________．
8．如图，已知△AEF≌△ABC，点 E在 BC边上，EF与 AC交于点 D．若∠B＝64°，∠C＝30°，求∠CDF的度数．
考点 3：全等三角形的判定
1．如图，AC与 BD相交于点 O，∠D＝∠C，添加下列哪个条件后，仍不能使△ADO≌△BCO的是（ ）
A．AC＝BD B．∠ABD＝∠BAC C．AD＝BC D．OD＝OC
2．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（ ）
A．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90° B．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝4cm
C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°
3．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AB∥DE，运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需补充的条件是（ ）
A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．BE＝CF D．∠ACB＝∠DFE
4．如图，∠C＝∠D，∠ABC＝∠BAD，可证明△ABC≌△BAD．使用了全等三角形的判定定理（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．如图，AB＝DE，AB∥DE，请添加一个条件________，使△ABC≌△DEF．
6．如图，已知∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，则应添加的一个条件是________．（填一种即可）
7．如图，已知 AC＝BD，要使得△ABC≌△DCB，根据“SSS”判定方法，需要再添加的一个条件是________．
8．已知；如图，AB＝AD，∠1＝∠2，∠B＝∠D．
求证：△ABC≌△ADE．
考点 4：直角三角形全等的判定
1．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等
B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等
D．两个锐角对应相等
2．如图，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定 Rt△ABD和 Rt△CDB全等的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
3．下列结论正确的是（ ）
A．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
B．一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．两个等边三角形全等
D．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
4．如图，若要用“HL”证明 Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（ ）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD
C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确
5．在△ABC中，AD⊥BC于 D，要用“HL“证明 Rt△ADB≌Rt△ADC，则需添加的条件是________．
6．两个锐角分别相等的直角三角形________全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）
7．如图，在 Rt△ABC与 Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明 Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件
是________．（不添加字母和辅助线）
8．如图，BD，CE分别是△ABC的高，且 BE＝CD，求证：Rt△BEC≌Rt△CDB．
考点 5：全等三角形的判定与性质
1．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在 AC上取一点 E，使 EC＝BC，过点 E作 EF⊥AC，连接 CF，
使 CF＝AB，若 EF＝12cm，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠F＝∠BCF B．AE＝7cm C．EF平分 AB D．AB⊥CF
2．如图所示，∠E＝∠F＝90°，AE＝AF，AB＝AC，下列结论①∠FAN＝∠EAM；②EM＝FN；③CD＝DN；
④△ACN≌△ABM．其中下列结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠C＝30°，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．在四边形 ABCD中，∠A＝96°，对角线 BD平分∠ABC，AD＝CD，∠BDC﹣∠ABC＝24°，则∠ABD的度数为
________．
6．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是中线，点 E在 AD的延长线上，若 AD＝DE＝2，则 S△ABC＝________．
7．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠DAB＝80°，则∠DAC＝________．
8．如图，已知 AD是△ABC的高，∠ABC＝45°，E为 AC上一点，连 AD、BE交于点 F，且∠CBE＝∠CAD．
（1）求证：△BFD≌△ACD．
（2）若 BD＝5，CD＝2，AE＝2 ，则 EF等于多少？
考点 6：全等三角形的应用
1．如图，张三不小心把家中一块三角形的玻璃摔成四块碎片，现要带其中一块去配出与原来完全一样的玻璃，正
确的办法是带（ ）去配．
A．第 1块 B．第 2块
C．第 3块 D．第 4块
2．如图为了测量 B点到河对面的目标 A之间的距离，在 B点同侧选择了一点 C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，
然后在 M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得 MB的长就是 A，B两点
间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
3．如图，将两根钢条 AA'、BB'的中点 O连在一起，使 AA'、BB'可以绕着点 O自由旋转，就做成了一个测量工件，
则 A'B'的长等于内槽宽 AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
4．一块三角形玻璃摔成四片（如图），只需带上其中的一片，玻璃店的师傅就能重新配一块与原来形状和大小相同
的玻璃，请选出应带玻璃片的序号（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．如图，小华不小心把一块三角形玻璃打碎为三块，他只要带________块碎片到商店，就能配出一块和原来一样
的三角形玻璃．
6．有一座小山，现要在小山 A，B的两端开一条隧道，施工队要知道 A，B两端的距离，于是先在平地上取一个可
以直接到达点 A和点 B的点 C，连接 AC并延长到 D，使 CD＝CA，连接 BC并延长到 E，使 CE＝CB，连接 DE．经
测量 DE，EC，DC的长度分别为 800m，500m，400m，则 A，B之间的距离为________m．
7．如图，把两根钢条 AB，CD的中点连在一起做成卡钳，可测量工件内槽的宽，已知 AC的长度是 6cm，则工件内
槽的宽 BD是________cm．
8．要测量河两岸相对的两点 A，B的距离，先在 AB的垂线 BF上取两点 C，D，使 CD＝BC，再定出 BF的垂线
DE，使 A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得 ED＝AB，因此测得 ED的长就是
AB的长，请你运用自己所学知识说明他们的做法是正确的．
考点 7：作图—尺规作图的定义
1．下列关于几何画图的语句，正确的是（ ）
A．延长射线 AB到点 C，使 BC＝2AB B．点 P在线段 AB上，点 Q在直线 AB的反向延长线上
C．将射线 OA绕点 O旋转，当终止位置 OB与起始位置 OA成一条直线时形成平角
D．已知线段 a、b，若在同一直线上作线段 AB＝a，BC＝b，则线段 AC＝a+b
2．下列作图语句正确的是（ ）
A．连接 AD，并且平分∠BAC B．延长射线 AB
C．作∠AOB的平分线 OC D．过点 A作 AB∥CD∥EF
3．下列画图的语句中，正确的为（ ）
A．画直线 AB＝10cm B．画射线 OB＝10cm C．延长射线 BA到 C，使 BA＝BC D．画线段 CD＝2cm
4．下列画图的语句中，正确的为（ ）
A．画直线 AB＝10cm B．画射线 OB＝10cm
C．延长射线 BA到 C，使 BA＝BC D．过直线 AB外一点画一条直线和直线 AB相交
5．下列说法：其中正确的是________．（填序号）
①用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段属于尺规作图；②射线 AB与射线 BA表示同一条射线；
③若 AC＝BC，则点 C是线段 AB的中点；④钟表在 8：30时，时针与分针的夹角是 60°．
6．下列语句表示的图形是（只填序号）
①过点 O的三条直线与另条一直线分别相交于点 B、C、D三点：________．
②以直线 AB上一点 O为顶点，在直线 AB的同侧画∠AOC和∠BOD：________．
③过 O点的一条直线和以 O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点 B、C、D三点： ________．
7．下列语句是有关几何作图的叙述．
①以 O为圆心作弧；②延长射线 AB到点 C；③作∠AOB，使∠AOB＝∠1；④作直线 AB，使 AB＝a；⑤过三角
形 ABC的顶点 C作它的对边 AB的平行线．其中正确的有 ________．（填序号即可）
8．如图，利用尺规，在△ABC的边 AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线 AE上截取 AD＝BC，连接 CD，并证明：
CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
考点 8：作图—基本作图
1．如图 1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．
如图 2，步骤如下，
第一步：以 B为圆心，以 a为半径画弧，分别交射线 BA，BC于点 D，E；
第二步：分别以 D，E为圆心，以 b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点 P；
第三步：画射线 BP．射线 BP即为所求．
下列正确的是（ ）
A．a，b均无限制 B．a＞0，b＞ DE的长
C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b＜ DE的长
2．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）
A．DB＝DEB．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
3．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点 B和 C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于
点 M和 N；②作直线 MN交 AC于点 D，连接 BD．若 AC＝6，AD＝2，则 BD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝30°，分别以点 A和点 C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相
交于点 M，N，作直线 MN交 BC于点 D，连接 AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以 A为圆心，以适当的长为半径作弧，交 AB于点 M，交 AC于
点 N．分别以 M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点 G，作射线 AG，交
BC于点 D，点 F在 AC边上，AF＝AB，连接 DF，则△CDF的周长为________．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点 A为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、AC于点 M和 N，再分别
以 M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于 P，连接 AP并延长交 BC于点 D，则∠ADB＝________度．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，AC＝2，分别以点 A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两
弧相交于点 M，N，作直线 MN交 BC于点 D，则 BD的长为________．
8．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请用尺规作图法，作 ACB的平分线 CD，交 AB于点 D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点 D分别作 DE⊥AC于点 E，DF⊥BC于点 F，四边形 CEDF ________形．
考点 9：作图—复杂作图
1．下列用三角板过点 P画 AB的垂线 CD，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．我们利用尺规作图，可以作一个角（∠A'O'B'）等于已知角（∠AOB），如下所示：
（1）作射线 O'A'；
（2）以 O为圆心，任意长为半径作弧，交 OA于 C，交 OB于 D；
（3）以 O'为圆心，OC为半径作弧，交 O'A'于 C'；
（4）以 C'为圆心，OC为半径作弧，交前面的弧于 D'；
（5）连接 O'D'作射线 O'B'，则∠A'O'B'就是所求作的角．
以上作法中，错误的一步是（ ）
A．（2） B．（3） C．（4） D．（5）
3．已知△ABC（AC＞BC），用尺规作图的方法在 AB上确定一点 P，使 PA+PC＝AB，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B． C． D．
4．已知线段 a，h，小明用如图所示的方法作△ABC，他的具体作法是：
①作射线 AM，以点 A为圆心，线段 a的长为半径画弧，交射线 AM于点 B；②分别以点 A，B为圆心，大于 AB
长为半径画弧，两弧交于 D，E两点；③作直线 DE，交 AB于点 F；④以点 F为圆心，线段 h的长为半径画弧，
交直线 DE于点 C，连接 AC，BC．
下列关于小明作的△ABC的说法，错误的是（ ）
A．AF＝BF B．∠CAB＝∠CBA C．∠ACF＝∠BCF D．AB＝BC
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝15，AD平分∠BAC，交 BC于点 D．以点 C为圆心，以任意长
为半径作弧，分别与边 CA和 CB相交，然后再分别以这两个交点为圆心，大于交点间距离的一半为半径作弧，
两弧交于点 F，连接 CF并延长交 AD于点 O，过点 O作 AC的平行线交 BC于点 E，则 OE的长为________．
6．“过点 P作直线 b，使 b∥a”，小明的作图痕迹如图所示，他的作法的依据是________．
7．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，以点 A为圆心，AB长为半径作弧，交 BC于点 D，交 AC于点 G；再分别以
点 B和点 D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点 E，作射线 AE交 BC于点 F．若以点 G为圆心，
GC长为半径画弧，这段弧恰好经过 C、D两点，则此时∠FAC的度数是________．
8．已知 A（0，2），B（3，0），C（4，4）．
（1）在坐标系中描出各点，画出三角形 ABC；
（2）求三角形 ABC的面积；
（3）设点 P在坐标轴上，且三角形 ABP与三角形 ABC的面积相等，请直接写出所有点 P的坐标．
