(共23张PPT)
27.1 圆的认识
27.1.3 圆周角
B
∠ADB，∠ACB
8
知识点2：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°(直角)
3．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，若∠ACB＝32°，则∠B的度数是 ( )
A．58° B．60° C．64° D．68°
A
4．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，点D是弧BC的中点，若∠ABC＝50°，则∠BAD的度数为 ( )
A．50° B．25° C．20° D．40°
C
知识点3：圆周角定理
5．(2023·广西)如图，点A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°.则∠AOB的度数是( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
D
6．(长春中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为 ( )
A．40° B．140°
C．160° D．170°
B
7．(菏泽中考)如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是 ( )
A．64° B．58°
C．32° D．26°
D
8
知识点4：圆周角定理的推论
9．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是 ( )
C
10．(2023·泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是 ( )
A．25° B．30°
C．35° D．40°
A
11．如图，已知四边形ABCD内接于半径为4的⊙O中，且∠C＝2∠A，则BD＝ ______．
A
13．如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B
25°
15．【分类讨论思想】如图，正方形ABCD的四个顶点均在⊙O上，P是⊙O上不与A，B两点重合的任意一点， 则∠APB＝_________________．
45°或135°
16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且D为边BC的中点．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求DE的长．
17．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC＝BD，且AC⊥BD.
(1)求证：AB＝CD；
(2)若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；
(3)作OM⊥BC于点M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．(共19张PPT)
27．2 与圆有关的位置关系
27．2.1 点与圆的位置关系
知识点1：点与圆的位置关系
1．如图，⊙O的半径为r.
(1)点A在⊙O外 OA ____ r；
(2)点B在⊙O上 OB ____ r；
(3)点C在⊙O内 OC ____ r.
＞
＝
＜
2．如果⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，那么点A与⊙O的位置关系是 ( )
A．点A在圆内 B．点A在圆上
C．点A在圆外 D．不能确定
3．若以原点O为圆心的⊙O，半径为5，点P的坐标是(4，3)，则点P与⊙O的位置关系是 ( )
A.点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．不能确定
A
B
4．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？
(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
解：(1)0＜r＜3 (2)3＜r＜4
知识点2：确定圆的条件
5．下列条件，可以画出圆的是 ( )
A．已知圆心
B．已知半径长度
C．已知不在同一直线上的三点
D．已知直径长度
C
6．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 ( )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
B
7．(易错题)如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个点能画的圆有 ____ 个．
3
知识点3：三角形的外接圆
8．三角形的外心就是三角形三条边的 ____________ 的交点，其中锐角三角形的外心在它的 ______ ； 钝角三角形的外心在它的 ______ ；直角三角形的外心是 ______ 的中点．
9．(泰安中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，则⊙O的直径为 _______．
垂直平分线
内部
外部
斜边
10．如图，在△ABC中，AB＝AC.
(1)求作：△ABC的外接圆；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC＝6，则S⊙O＝_____ π．
解：(1)如图，⊙O为所作
25
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(0，3)，B(2，1)，C(2，－3).则△ABC的外心坐标应是 ( )
A．(0，0)
B．(1，0)
C．(2，－1)
D．(－2，－1)
D
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 __________ ．
3＜r＜5
13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 ________ cm.
解：(1)如图所示的点O即为所作(共19张PPT)
27.2 与圆有关的位置关系
27.2.2 直线与圆的位置关系
知识点1：直线与圆的位置关系的判定
1．已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是 ( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
2．已知一条直线与圆有公共点，则这条直线与圆的位置关系是 ( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．相切或相交
A
D
3．如图，已知∠BOA＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心，2 cm为半径作⊙M.点M在射线OB上运动，当OM＝5 cm时，⊙M与直线OA的位置关系是 _______ ．
相离
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是 ______ ．
相切
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．
知识点2：直线与圆的位置关系的应用
6．已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是 ( )
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
7．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是 ( )
A．r＞5 B．r＝5
C．0＜r＜5 D．0＜r≤5
C
A
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 ( )
A．1
B．1或5
C．3
D．5
B
9．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R和d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为 ____ ．
4
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，若以C为圆心，R为半径作的圆与斜边AB没有公共点，求R的取值范围．
D
D
14．如图，正方形的边长为4 cm，⊙O的半径为1 cm，正方形的中心O1与圆心O在直线l上，⊙O与直线CD相切，⊙O以1 cm/s的速度向左边运动，设运动时间为t s.
(1)当t取何值时⊙O与直线CD相交？
(2)当t取何值时⊙O与直线AB相切？
解：(1)根据题意可得当t＝0或t＝2 时⊙O与CD边相切，
∴当0＜t＜2时，⊙O与直线CD相交
(2)根据题意可得：当t＝4时，点O到直线AB的距离为1 cm，⊙O与直线AB相切；当t＝6时，点O到直线AB的距离为1 cm，⊙O与直线AB相切．
综上所述，当t＝4或6时，⊙O与直线AB相切(共23张PPT)
27.2.3 切线
第1课时 切线的判定与性质
知识点1：切线的判定
1．下列直线中，一定是圆的切线的是 ( )
A．与圆仅有一个公共点的直线
B．垂直于圆的半径的直线
C．与圆心的距离等于直径的直线
D．过圆的半径外端的直线
A
2．如图，AB是⊙O的直径，根据下列条件，不能判定直线AT是⊙O的切线的是 ( )
A.AB＝3，AT＝4，BT＝5
B．∠B＝45°，AB＝AT
C．∠B＝36°，∠TAC＝36°
D．∠ATC＝∠B
D
3．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ____________________________．
∠ABC＝90°(答案不唯一)
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作⊙A，当AB＝ ____ cm时，BC与⊙A相切．
6
5．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连结BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．
证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC.
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD.∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线
A
7．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P＝36°，则∠B等于 ( )
A．27° B．32° C．36° D．54°
A
8．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝110°，则∠ACB的度数为 ______ .
70°
9．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是 _____ ．
10．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，若大、小圆的半径长分别为10 cm，6 cm，求AB的长．
11．如图，AB是 ⊙O的直径，CD是 ⊙O的切线，切点为 D，CD与 AB的延长线交于点 C，∠A＝30°，给出下面三个结论：①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC.其中正确结论的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
A
B
3
图① 图②(共23张PPT)
27.2.3 切线
第2课时 切线长定理与三角形的内切圆
知识点1：切线长定理
1．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，若∠APB＝40°，则下列说法不正确的是 ( )
A.PA＝PB B．∠APO＝20°
C．∠OBP＝70° D．∠AOP＝70°
C
B
3．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠P＝76°，则∠OAB＝______．
38°
4．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D.若AB＝10，AC＝6，则BD的长是 _____．
4
5．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P＝60°，PB＝2 cm，求AC的长．
知识点2：三角形的内切圆
6．如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的 ( )
A.三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
B
7．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD，若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是 _______．
70°
9．若等腰△ABC的三边长分别为10，10，12，则△ABC的内切圆的半径为 ____.
3
10．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝18 cm，BC＝28 cm，CA＝26 cm，求AF，BD，CE的长．
解：根据切线长定理，得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD.设AE＝AF＝ x cm，则CE＝CD＝(26－x) cm，BF＝BD＝(18－x) cm.∵BC＝28 cm，BC＝BD＋CD，∴(18－x)＋(26－x)＝28，解得x＝8，∴AF＝8 cm，BD＝10 cm，CE＝18 cm
B
12．如图，P为⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD，已知PC＝PD＝BC.下列结论：①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中正确的个数为 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
A
13．如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数是 ________ ．
125°
14．如图，正方形ABCD的边长AB＝8，半径为3的⊙O与边AB，AD相切，与对角线BD相交于点E，F，则EF的长为 ______．
15．如图，AB，BC，CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD.连结OB，OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N.
(1)求证：MN是⊙O的切线；
(2)当OB＝6 cm，OC＝8 cm时，求⊙O的半径及MN的长．
【方法指导】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，△ABC的内切圆⊙O的半径为r.
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝ ____．
1
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC，BC，AB相切于点D，E，F，则OA＝ ______ .(共22张PPT)
27.3 圆中的计算问题
第1课时 弧长与扇形的面积
C
B
C
D
3．如图，点A，B，C，D在半径为5的⊙O上，连结AB，BC，CD，AD.若∠ABC＝108°，则劣弧AC的长为 ______．
4π
4．如图，传送带的一个转动轮的半径为18 cm，如果转动轮绕着它的轴心转n°时，传送带上的物品A被传送15π cm(在传送过程中物品A无滑动)，则n＝______ ．
150
C
D
A
A
8．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是 ________ ．(结果保留π)
8－2π
B
C
13．如图，以O为圆心，AB为直径的半圆O内有一直角三角形OBC，∠OBC＝30°，将直角三角形BOC绕点O旋转至△B′OC′，点C在OA上，AB＝4 cm，则边BC扫过阴影部分面积为 _____ cm2.
π
C
A
B
O
B
C
O
D
A
C
A
O
B
E
B
C
O
D
E
C
B
B
A
C
C
O
B
A
B
E
D
O
B
C
C
O
B
C
E
A
B
E
P
M
F
B
D
N(共20张PPT)
27.3 圆中的计算问题
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
知识点1：圆锥的侧面展开图
1．下列图形中，是圆锥侧面展开图的是 ( )
B
B
B
240°
5．小刘同学在准备元旦晚会表演节目需要的道具时，用一张圆心角为150°，半径为24 cm的扇形纸片做了一个如图所示的圆锥形小丑帽子的侧面(接缝忽略不计)，则他做成的圆锥形小丑帽子的底面圆的半径为 _________．
10 cm
知识点2：圆锥的侧面积和全面积
6．如图，一个圆锥的底面半径为4，母线长为6 ，则这个圆锥的侧面积是 ( )
A．24 B．24π C．12 D．12π
B
C
C
9．一个圆锥的轴截面(即沿圆锥的顶点和底面的一条直径把圆锥剖开得到的平面)为边长为10的等边三角形，则这个圆锥的表面积为 _____ ．(结果保留π)
10．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 ______ ．(结果保留π)
75π
24π
A
A
A
14．如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r的圆形和一个半径为R的扇形，使之恰好围成图中所示的圆锥，则R与r之间的关系是 _______ .
R＝4r
15．如图，圆锥的底面半径r＝10 cm，母线长为40 cm.
(1)求它的侧面展开图的圆心角和表面积；
(2)若一只甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点C，那么它所走的最短路程是多少？(共18张PPT)
专题(八) 常用的圆的切线证明方法
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：PA是⊙O的切线．
类型二 无交点，作垂直，证半径
5．如图，同心圆O，大圆的弦AB＝CD，且AB是小圆的切线，切点为E.求证：CD是小圆的切线．
证明：连结OE，过O作OF⊥CD于点F，∵AB与小⊙O切于点E，∴OE⊥AB. ∵AB＝CD，∴易得OE＝OF，∴CD与小圆相切
7．如图，已知点O为正方形ABCD对角线AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F，求证：CD与⊙O相切．
证明：连结OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD.∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.∵ON⊥CD，∴OM＝ON，∴CD与⊙O的相切．
c
A
D
O
B
A
P
D
0
C
B
C
D
B
D
C
E
A
B
0
C
F
D
中
A
E
B
A
I
D
O
B
C
A
F
D
O
E
B
M
C
G
H
B
