数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念及其通项公式 课件（共43张ppt）

(共43张PPT)
4.3.1 等比数列的概念
及其通项公式
第一课时
1.等差数列的定义是什么？
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示.
等差数列的通项公式
3.它的通项公式是什么？
2.递推公式是什么？
等差数列的符号语言：
(是常数, 且)
(是常数, )
[问题1]类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
古巴比伦人用60进制计
数，这里转化为十进制．
情境1：两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上
记录了下面的数列：
，， ①
，，， ②
，，，. ③
情境2：《庄子 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
情景
情境3：在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 就通过分裂繁殖一代，每一个细菌都分裂成两个，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是，， ⑤
情境4：某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是
复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.
. ⑥
情景
，， ①
，，， ②
，，，. ③
④
，， ⑤
. ⑥
[思考2]类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？
探究
通过除法运算探究以上数列的取值规律．
取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 9．
共同规律： 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.
思考2：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示 ．
(显然q≠0）
等比数列的项，公比q有无条件限制？
1.等比数列的定义
递推关系：
常被用来证明等比数列
1.等比数列的定义
追问1：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？
追问2：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？
追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
常数列一定是等差数列，公差为0；
非零常数列是等比数列，公比为1.
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
等差数列的项、公差均可以是0，但等比数列的项和公比均不可以是0
如：1,1,1,1,…是等差数列，也是等比数列；
0,0,0,0,…是等差数列，不是等比数列；
[练习1](P31)判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比.
(5) 0,1,2,4,8,…
(6) 2,0,2,0,2,…
(7) 1,a,a2,a4,a8,…
a≠0时，是等比数列，公比为a
a=0时，不是等比数列
所有的奇数项同号，所有的偶数项同号，但奇偶项异号
巩固：等比数列的定义
2.等比数列的通项公式
类比
不完全归纳法得
an=a1+(n-1)d
不完全归纳法得：
类比
累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2
[思考3]等比数列的通项公式an＝a1qn-1是由等比数列的前几项归纳得出的，公式只是一个猜想，不算是证明，那么，如何证明？
累乘法得：
证：根据等比数列的定义：
（当n=1时等式也成立）
（迭代法）
[思考3]等比数列的通项公式an＝a1qn-1是由等比数列的前几项归纳得出的，公式只是一个猜想，不算是证明，那么，如何证明？
3.等比数列的通项公式
3.等比数列的通项公式
等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示．
等比数列的通项公式与指数函数的关系
反之，任给函数(为常数，，，且)，则，，，，构成一个等比数列，其首项为，公比为.
[思考5]类比指数函数的性质，说说公比q>0的等比数列的单调性.
等比数列的通项公式与指数函数的关系
巩固：等比数列的通项公式
巩固：等比数列的通项公式
巩固：等比数列的通项公式
2.等比中项
等差中项
等比中项
如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项.
如果三个数a，G，b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项
定义
a，A，b成等差数列
a，G，b成等比数列
关系
[思考3]类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？
2.等比中项
[思考]这时a，b的符号有什么特点？你能用 a,b表示G 吗？
巩固：等比中项
因为是和的等比中项，所以
因此，的第5项是24或-24
==
所以
解：
应用：等比数列的通项公式
等差数列 等比数列
通项公式 推导方法 累加法 累乘法
不完全归纳法、累乘法(证明) 定义式
公差公比 公差d可正、可负、可为零 公比d可正、可负、不可为零
通项公式
等差/比中项
总结
4.特殊设项求解等比数列
【例3】(P37-4)已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64，求这个等比数列的首项和公比．
1.与等比数列有关的数的设元技巧：
方法总结
2.与等差数列有关的数的设元技巧：
[练习4](P30-例3)数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.
注意设法
4.特殊设项求解等比数列
总结
第二课时
学习目标
1.了解等比数列的通项公式与指数函数之间的关系；
2.掌握等比数列的通项公式及其变形；
3.掌握等比数列的3种判定方法；
4.了解分式递推的处理方法；
5.特殊设项求解等比数列.
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示 ．
递推关系：
通项公式：
5.等比数列的判定方法
用于证明
【例4】(P32)已知数列{an}的首项a1=3.
(1)若{an}为等差数列，公差d=2，证明数列{}为等比数列;
【例4】(P32)已知数列{an}的首项a1=3.
(2)若{an}为等比数列，公比q=，证明数列{log3an}为等差数列;
5.等比数列的判定方法
巩固：等比数列的判定方法
巩固：等比数列的判定方法
2.等比数列{an}的通项公式：
3.等比数列的判定方法
用于证明
总结
总结
未完待续……
课后练习
课后练习
[练习3]如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 (　　)
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解：因为b2＝(-1)×(-9)＝9，且b与首项-1同号，
所以b＝-3，且a,c必同号．
所以ac＝b2＝9.
B　
课后练习
课后练习
应用：等比数列的通项公式
①
②
②的两边分别除以①的两边，得
解得
当时，
则==384=24
当时,
此时==-384=-24
因此，的第5项是24或-24
分类讨论
方程思想
解法2：
因为是和的等比中项，所以
因此，的第5项是24或-24
==
所以
应用：等比数列的通项公式