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分课时教学设计
第二课时《 估算及用计算器求算术平方根 》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 通过用有理数估计的大小，得到的越来越精确的近似值，进而给出是无限不循环小数的结论，并用计算器求算术平方根．这个过程既体现了估算平方根大小的一般方法，又为后面学习无理数作铺垫．本节课对初步培养学生的估算意识，发展估算能力，起到重要的作用。
学习者分析 学生已理解了算术平方根的概念，并会用算术平方根的概念来求一个非负数的算术平方根，具备了利用夹值法来估算含算术平方根符号的无理数的大致范围的基础知识和操作计算器求一个非负数的算术平方根的能力。
教学目标 1.用有理数估计无理数的大致范围，并初步体验“无限不循环小数”的含义． 2.用计算器求一个非负数的算术平方根．
教学重点 能用有理数估计一个带算术平方根符号的无理数的大致范围．
教学难点 算术平方根的估算及大小比较
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境导入教师活动1： 问题1.什么是算术平方根？0的算术平方根是多少？负数有算术平方根吗？ 答案：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根 问题2.算术平方根有哪些性质？ 答案：双非负数，即： 且a≥0 被开数越大，对应的算术平方根也越大学生活动1： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习算术平方根的概念和性质，为估算和比较算术平方根的大小做好准备环节二：知识探究教师活动2： 探究：否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？ 操作指导：把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形． 想一想：拼成的这个大正方形的面积是2dm2，它的边长是多少呢？ 解:设大正方形的边长为xdm， 则x2＝2， 由算术平方根的定义可知， x=． ∴大正方形的边长为dm． 探究：有多大呢？ 预设：∵12＝1,22＝4 ∴1＜＜2 ∵1.42＝1.96,1.52＝2.25 ∴1.4＜＜1.5 ∵1.412＝1.999396,1.422＝2.002225 ∴1.41＜＜1.42 …… 如此进行下去，可以得到的更精确的近似值 指出：=1.414213562373……是无限不循环小数 讲解：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 如：许多正有理数的算术平方根（例如，，等）都是无限不循环小数． 问题1：用计算器求下列各式的值： (1)；(2)（精确到0.001）． 解：(1)依次按键、3136、=， 显示：56． ∴． (2)依次按键、2、=， 显示：1.414213562． ∴≈1.414． 指出：计算器上显示的1.414213562是的近似值 问题2：引言中，第一宇宙速度v1，第二宇宙速度v2的大小满足=gR，=2gR，其中g是物理中的一个常数（重力加速度），g≈9.8m/s2，R是地球半径，R≈6.4×106m．怎样求v1，v2. 解：由=gR,=2gR,得=,=,其中g≈9.8,R≈6.4×106． 用计算器求v1和v2（用科学记数法把结果写成a×10n的形式，其中a保留小数点后一位），得 v1≈≈7.9×103 v2≈≈1.1×104 因此，第一宇宙速度v1大约是7.9×103m/s，第二宇宙速度v2大约是1.1×104m/s． 探究：(1)利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？ ………0.250.7912.57.912579.1250…
归纳：被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，其算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位. 探究：(2)你能用计算器计算（精确到0.001）吗？并利用刚才的得到规律说出，，的近似值．你能根据的值说出是多少吗？ 解：由1.732，得 0.1732，7.32，173.2， 由的值不能求出值。学生活动2： 学生认真观察、思考、动手操作、计算，然后小组合作探究，班内汇报，然后听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过活动，掌握用夹值法估算含算术平方根符号的无理数的大致范围，理解无限不循环小数的含义，会用计算器求算术平方根环节三：例题讲解教师活动3： 例：小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 解:设长方形纸片的长为3xcm和宽为2xcm,根据边长和面积的关系得 3x 2x=300 6x2=300 x2=50 x=
因此，长方形纸片的长为3cm. ∵50＞49，∴＞7， 由上可知3＞21，即长方形纸片的长应该大于21cm． ∵=20，∴正方形纸片的边长只有20cm．这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长． 答：不能同意小明的说法．小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．学生活动3： 学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解活动意图说明： 让学生用所学知识解决算术平方根实际问题，并会比较算术平方根的大小，进一步提高学生的应用能力。
板书设计 课题：6.1.2 估算及用计算器求算术平方根一、用有理数估计无理数的大致范围 二、用计算器求一个非负数的算术平方根 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．的值介于整数3和4之间，则整数的值是 ． 答案：10或11或12或13或14或15 3．观察下列计算过程：因为，所以，因为，所以，因为，所以…，由此猜想（ ） A．111111111 B．11111111 C．1111111 D．111111 答案：A 选做题： 如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片.沿着大正方形纸片边的方向裁出一个长方形纸片，能否使裁得的长方形纸片长、宽之比为，且面积为？请说明理由. 解：不能.理由如下： 因为大正方形纸片的面积为， 所以大正方形的边长为6cm. 设截出的长方形的长为，宽为， 则.所以（取正值）. 因为，所以. 由上可知. 所以不能截得长、宽之比为，且面积为的长方形纸片. 【综合拓展类作业】 如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形． （1）阴影部分的面积是__________，边长是____________； （2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数； （3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值． 解：（1）阴影部分面积为：， ∵阴影部分是一个正方形， ∴边长为：， 故答案为：13，． （2）不大于的所有正整数为：1，2，3． （3）∵， ∴， ∵ ∴ ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（ ）． A．5与5.5之间 B．5.5与6之间 C．6与6.5之间 D．6.5与7之间 答案：B 2．已知，，那么下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．已知．若为整数且，则的值为（ ） A．43 B．44 C．45 D．46 答案：B 选做题： 一块正方形空地的面积是，在这块空地上沿着边的方向建造一间占地的房子，要求所建造的房子的地基是长方形，而且长是宽的两倍，能否做到 为什么 解：假设能做到，设所建造房子地基的宽为，则长为 由题意得， 即， （舍负值） 地基的长为 又正方形空地的边长为，， 不能做到． 【综合拓展类作业】 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片． (1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案； (2)若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由． 解：（1）设面积为的正方形纸片的边长为 ， ， 又， ， 又要裁出的长方形面积为， 若以原正方形纸片的边长为长方形的长， 则长方形的宽为：， 可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形； （2）长方形纸片的长宽之比为， 设长方形纸片的长为 ，则宽为 ， ， ， 又， ， 长方形纸片的长为， 又 ， 即：， 小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
教学反思 本课采用启发式教学法及情感教学，创设问题情境，引导学生主动思考，用实例和生活语言激发学生学习兴趣，调节学习情绪，让学生在观察、操作、计算、比较中主动发现问题；应用数学思想方法分析讨论，解决问题；在练习训练中提高解题能力，培养良好学习习惯。
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册 第六章
课标要求 内容要求： 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。 2.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。 3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。 4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 5.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。 学业要求： 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值。
内容分析 实数属于“数与代数”这个范畴的数的内容，本章的主要内容是平方根、算术平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，通过本章的学习，学生对数的认识将从有理数范围扩大到实数范围。虽然本章的内容不多，篇幅不大，但是本章的概念教学任务较重，数学知识的抽象性较强。本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备，因此本章知识在中学数学中占有重要的地位。
学情分析 学生在七年级上学期，已经系统学过有理数，对有理数的概念和运算有了较深刻的认识，特别是知道有理数能用数轴上的点来表示、绝对值、相反数以及乘方运算等知识，这些知识是学习实数的初步知识，为本章的学习奠定了良好的基础，使学生具备了继续学习本章知识的基本技能。同时，七年级学生思维正处于从以具体形象思维为主向以抽象逻辑思维成分为主的转折期，因此，教学中必需留意具体性，形象性，同时还要有适当的抽象概况要求，从而促进学生的思维向高一阶段发展。
单元目标 （一）教学目标 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. （二）教学重点、难点 重点： 算术平方根、平方根的概念和求法以及实数的概念。 难点： 平方根和实数的概念。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数6.1平方根36.2立方根16.3实数2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务6.1.1 算术平方根1.了解算术平方根的概念． 2.会求一些数的算术平方根，并用算术平方根符号表示．理解算术平方根的含义，并能求出一个非负数的算术平方根任务一：理解算术平方根 任务二：求一个非负数的算术平方根6.1.2 估算及用计算器求算术平方根1.用有理数估计无理数的大致范围，并初步体验“无限不循环小数”的含义． 2.用计算器求一个非负数的算术平方根．1.能估计出一个无理数的范围，并比较大小 2.能用计算器求一个非负数的算术平方根任务一：估算的大小 任务二：用计算器求算术平方根 任务三：算术平方根大小比较6.1.3 平方根1.了解平方根的概念；掌握平方根的性质． 2.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根．理解平方根的含义及特征，并能求出一个非负数的平方根 任务：探究平方根概念及性质 6.2 立方根1.了解立方根的概念． 2.会求一些数的立方根．会求一个数的立方根任务一：探究立方根的概念和性质 任务二：用计算器求立方根6.3.1 实数的概念及分类1.了解无理数和实数的概念． 2.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想.1.能判断一个数是否是无理数，能对实数分类有清晰的认识 2.能借助数轴上的点表示无理数任务一：探究无理数及实数的分类 任务二：探究实数与数轴上的点一一对应关系6.3.2 实数的运算1.会求实数的相反数与绝对值 2.会对实数进行简单的运算.1.能求出一个实数的相反和绝对值 2.能进行简单的实数混合运算任务一：探究实数的相反数和绝对值 任务二：实数的运算
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6.1.2 估算及用计算器求算术平方根
人教版 七年级下册
内容总览
学习目标
01
新知导入
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
通过用有理数估计的大小，得到的越来越精确的近似值，进而给出是无限不循环小数的结论，并用计算器求算术平方根．这个过程既体现了估算平方根大小的一般方法，又为后面学习无理数作铺垫．本节课对初步培养学生的估算意识，发展估算能力，起到重要的作用。
学习目标
1.用有理数估计无理数的大致范围，并初步体验“无限不循环小数”的含义．
2.用计算器求一个非负数的算术平方根．
新知导入
1.什么是算术平方根？0的算术平方根是多少？负数有算术平方根吗？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
0的算术平方根是0，负数没有算术平方根
2.算术平方根有哪些性质？
双非负数，即： 且a≥0
被开数越大，对应的算术平方根也越大
探究新知
任务一：估算一个带算术平方根符号的无理数的大小
探究：否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2 的大正方形．
探究新知
想一想：拼成的这个大正方形的面积是2dm2，它的边长是多少呢？
解: 设大正方形的边长为x dm，
则 x2＝2，
由算术平方根的定义可知，
x=．
∴大正方形的边长为dm．
任务一：估算一个带算术平方根符号的无理数的大小
探究新知
探究： 有多大呢？
∵12＝1, 22＝4
∴1＜ ＜2
∵1.42＝1.96, 1.52＝2.25
∴1.4＜ ＜1.5
∵1.412＝1.999 396, 1.422＝2.002 225
∴1.41＜ ＜1.42
……
如此进行下去，可以得到的更精确的近似值
“两边夹”法
任务一：估算一个带算术平方根符号的无理数的大小
探究新知
=1.414 213 562 373……
无限不循环小数
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.
许多正有理数的算术平方根 （例如， ， 等）都是无限不循环小数．
任务一：估算一个带算术平方根符号的无理数的大小
探究新知
任务二：用计算器求算术平方根
问题1：用计算器求下列各式的值：(1)；(2) （精确到0.001）．
解：(1) 依次按键 、3136、= ，
显示：56．
∴ ．
(2) 依次按键、2、= ，
显示：1.414213562．
∴ ≈1.414．
计算器上显示的1.414213562是的近似值
探究新知
任务二：用计算器求算术平方根
问题2：引言中，第一宇宙速度v1，第二宇宙速度v2的大小满足=gR， = 2gR ，其中g是物理中的一个常数（重力加速度），g≈9.8 m/s2，R是地球半径，R≈6.4×106m．怎样求v1，v2.
解：由=gR, = 2gR, 得=, =, 其中g≈9.8, R≈6.4×106．
用计算器求v1和v2 （用科学记数法把结果写成a×10n的形式，其中a保留小数点后一位），得
v1 ≈≈ 7.9×103
v2 ≈ ≈ 1.1×104
因此，第一宇宙速度v1大约是7.9×103 m/s ，第二宇宙速度v2大约是1.1×104 m/s ．
探究新知
任务二：用计算器求算术平方根
探究：(1)利用计算器计算，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
… …
… 0.25 0.791 2.5 7.91 25 79.1 250 …
被开方数的小数点向右（或向左）移动2位，其算术平方根的小数点向右（或向左）移动1位.
探究新知
探究：(2)你能用计算器计算（精确到0.001）吗？并利用刚才的得到规律说出，，的近似值．你能根据的值说出是多少吗？
解：由1.732，得
0.1732， 7.32， 173.2，
由的值不能求出值。
任务二：用计算器求算术平方根
典例分析
例：小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
？
一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．
典例分析
解:设长方形纸片的长为3x cm和宽为2x cm,根据边长和面积的关系得
3x 2x=300
6x2=300
x2=50
x=
因此，长方形纸片的长为3cm.
∵50＞49，∴＞7，
由上可知3 ＞21，即长方形纸片的长应该大于21cm．
∵=20，∴正方形纸片的边长只有20cm．这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长．
答：不能同意小明的说法．小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
1．若面积为5的正方形的边长为x，那么x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
A
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
2．的值介于整数3和4之间，则整数的值是 ．
10或11或12或13或14或15
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
3．观察下列计算过程：因为，所以，因为，所以，因为，所以…，由此猜想（ ）
A．111111111 B．11111111
C．1111111 D．111111
A
课堂练习
【知识技能类作业】
——选做题：
如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片.沿着大正方形纸片边的方向裁出一个长方形纸片，能否使裁得的长方形纸片长、宽之比为，且面积为？请说明理由.
课堂练习
【知识技能类作业】
——选做题：
解：不能.理由如下：
因为大正方形纸片的面积为，
所以大正方形的边长为6cm.
设截出的长方形的长为，宽为，
则.所以（取正值）.
因为，所以.
由上可知.
所以不能截得长、宽之比为，且面积为的长方形纸片.
课堂练习
【综合实践类作业】
如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
13
解：（2）不大于的所有正整数为：1，2，3．
（3）∵，∴，
∵ ∴
∴．
课堂总结
今天这节课，你都有哪些收获？
1.如何估算算术平方根的大小并比较大小？
2.如何利用计算器求算术平方根？
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
1．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（ ）．
A．5与5.5之间 B．5.5与6之间
C．6与6.5之间 D．6.5与7之间
B
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
2．已知，，那么下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
3．已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
B
作业布置
【知识技能类作业】
——选做题：
一块正方形空地的面积是，在这块空地上沿着边的方向建造一间占地的房子，要求所建造的房子的地基是长方形，而且长是宽的两倍，能否做到 为什么
解：假设能做到，设所建造房子地基的宽为，则长为
由题意得，
即，
（舍负值）
地基的长为
又正方形空地的边长为，，
不能做到．
作业布置
【综合实践类作业】
小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片．
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
解：（1）设面积为900 的正方形纸片的边长为a cm ，
∴a2=900，
又∵a>0，
∴a=30，
又∵要裁出的长方形面积为600 ，
∴若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为：600÷30=20(cm)，
∴可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为20cm 的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；
作业布置
【综合实践类作业】
小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片．
(2)若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由
（2）∵长方形纸片的长宽之比为4:3，∴设长方形纸片的长为4x cm ，则宽为3x cm ，∴12x2=600，∴x2=50，
又∵x>0，∴x= ，
∴长方形纸片的长为1cm ，
又∵ (1)2=450<302，
即： 1<30，
∴小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
板书设计
课题：6.1.2 估算及用计算器求算术平方根
一、用有理数估计无理数的大致范围
二、用计算器求一个非负数的算术平方根
教师板演区
学生展示区
