中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第三课时《 平方根 》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课主要学习平方根的概念、平方根的求法及其性质．本课既是前面学习的算术平方根的延续，又是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的基础，同时本节课也为更好地理解立方根的概念和求法提供了思路和研究方法．
学习者分析 七年级的学生已经能从具体事例中归纳问题的本质，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律，同时学生在前面的学习中已经掌握了乘方和算术平方根的知识，具备了用所学知识来分析平方根性质的基础。
教学目标 1.了解平方根的概念；掌握平方根的性质． 2.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根．
教学重点 掌握平方根的概念及性质，了解开方和乘方互为逆运算，会用这个互逆关系求非负数的平方根，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系．
教学难点 平方根与算术平方根的区别和联系．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境导入教师活动1： 问题1.什么是算术平方根？0的算术平方根是多少？负数有算术平方根吗？ 答案：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根. 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根 问题2.想一想，求出下列各数的算术平方根. （1）9 （2）5 （3） (4)0 答案：3，，，0学生活动1： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过回顾算术平方根的相关知识，加深对算术平方根的理解，为类比得出平方根的概念做好铺垫。环节二：知识探究教师活动2： 思考1：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 预设：如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3 填表： x21163649x
答案： x21163649x±1±4±6±7±
归纳：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（也叫二次方根）. 即：x2＝a，那么x叫做a的平方根 例：3和-3是9的平方根，简记±3是9的平方根. 填图： 答案： 指出：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 追问：左右两图中的运算有什么关系？ 答案：互为逆运算 指出：根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根. 试一试：求下列各数的平方根：（1）100；（2）；（3）0.25 解:（1）∵(±10)2＝100，∴100的平方根是±10； （2）∵(±)2＝，∴的平方根是±； （3）∵(±0.5)2＝0.25，∴0.25的平方根是±0.5． 思考2：正数的平方根有什么特点？０的平方根是多少？负数有平方根吗？ 归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根． 讲解：正数a的算术平方根可以用表示； 正数a的负的平方根，可以用符号“-”表示， 故正数a的平方根可以用符号“±”表示， 读作“正、负根号a”． 例如，±＝±3，±＝±5 注意：为相反数 符号有当a≥0时，有意义，a<0时，无意义。学生活动2： 学生认真观察、思考、动手操作、计算，然后小组合作探究，班内汇报，然后听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过活动，理解平方根的概念，开平方运算，平方根的表示方法，并掌握用平方和开平方的互逆运算关系求一个非负数的平方根，体会平方根和算术平方根的联系和区别。环节三：例题讲解教师活动3： 例：求下列各式的值： 提问：请你先说一说上列各式的意义。 解：（1）∵62＝36，∴ = （2）∵0.92＝0.81，∴ = （3）∵()2＝，∴ = 追问：知道一个数的算术平方根，就可以立即写出它的负的平方根。为什么？学生活动3： 学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解活动意图说明： 让学生用所学知识解决实际问题，提高学生的运算和应用能力。
板书设计 课题：6.1.3 平方根一、平方根 二、开平方运算 三、平方根的性质 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．若，则下列说法正确的是（ ） A．a是x的平方根 B．x是a的平方根 C．x是a的算术平方根 D．a是x的算术平方根 答案：B 2．下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 3．求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)． 解：（1） 解得； （2） 解得； （3） 或 解得，． 选做题： 若一个正数的两个不同的平方根分别是和，求这个正数． 解：由题意得：， 解得，， ∴， ∴， ∴这个正数是25． 【综合拓展类作业】 已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 解：（1）∵的平方根是，的算术平方根是4． ∴，，解得a＝5，b＝4． （2）当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为， 即ab+5的平方根是．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．求的平方根，用式子来表示正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．下列说法中正确的个数是（ ） ①的平方根是；②没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④负数没有平方根；⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 3．解方程． (1)； (2)． 解：（1）， ， ， ∴，； （2）， ， ， ∴，． 选做题： 已知一个正数的两个平方根是和． (1)求代数式的值； (2)求的值． 解：（1）根据题意得： ， 解得：， ， 代数式的值为． （2）由（1）得： ， ， ． 【综合拓展类作业】 全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 解：（1）当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的．
教学反思 本课很多内容是上两课时相关内容的延续和推广，因此，本课时教学注意了平方根与算术平方根知识间区别和联系，充分利用了类比的方法，加强知识间的相互联系，通过类比算术平方根学习平方根，使学生的学习形成正迁移，根据本课时内容的特点，让学生通过类比计算、思考、讨论等探究活动，让学生对平方根的概念及表示方法、性质得以理解并巩固。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册 第六章
课标要求 内容要求： 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。 2.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。 3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。 4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 5.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。 学业要求： 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值。
内容分析 实数属于“数与代数”这个范畴的数的内容，本章的主要内容是平方根、算术平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，通过本章的学习，学生对数的认识将从有理数范围扩大到实数范围。虽然本章的内容不多，篇幅不大，但是本章的概念教学任务较重，数学知识的抽象性较强。本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备，因此本章知识在中学数学中占有重要的地位。
学情分析 学生在七年级上学期，已经系统学过有理数，对有理数的概念和运算有了较深刻的认识，特别是知道有理数能用数轴上的点来表示、绝对值、相反数以及乘方运算等知识，这些知识是学习实数的初步知识，为本章的学习奠定了良好的基础，使学生具备了继续学习本章知识的基本技能。同时，七年级学生思维正处于从以具体形象思维为主向以抽象逻辑思维成分为主的转折期，因此，教学中必需留意具体性，形象性，同时还要有适当的抽象概况要求，从而促进学生的思维向高一阶段发展。
单元目标 （一）教学目标 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. （二）教学重点、难点 重点： 算术平方根、平方根的概念和求法以及实数的概念。 难点： 平方根和实数的概念。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数6.1平方根36.2立方根16.3实数2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务6.1.1 算术平方根1.了解算术平方根的概念． 2.会求一些数的算术平方根，并用算术平方根符号表示．理解算术平方根的含义，并能求出一个非负数的算术平方根任务一：理解算术平方根 任务二：求一个非负数的算术平方根6.1.2 估算及用计算器求算术平方根1.用有理数估计无理数的大致范围，并初步体验“无限不循环小数”的含义． 2.用计算器求一个非负数的算术平方根．1.能估计出一个无理数的范围，并比较大小 2.能用计算器求一个非负数的算术平方根任务一：估算的大小 任务二：用计算器求算术平方根 任务三：算术平方根大小比较6.1.3 平方根1.了解平方根的概念；掌握平方根的性质． 2.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根．理解平方根的含义及特征，并能求出一个非负数的平方根 任务：探究平方根概念及性质 6.2 立方根1.了解立方根的概念． 2.会求一些数的立方根．会求一个数的立方根任务一：探究立方根的概念和性质 任务二：用计算器求立方根6.3.1 实数的概念及分类1.了解无理数和实数的概念． 2.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想.1.能判断一个数是否是无理数，能对实数分类有清晰的认识 2.能借助数轴上的点表示无理数任务一：探究无理数及实数的分类 任务二：探究实数与数轴上的点一一对应关系6.3.2 实数的运算1.会求实数的相反数与绝对值 2.会对实数进行简单的运算.1.能求出一个实数的相反和绝对值 2.能进行简单的实数混合运算任务一：探究实数的相反数和绝对值 任务二：实数的运算
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
6.1.3 平方根
人教版 七年级下册
内容总览
学习目标
01
新知导入
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
本课主要学习平方根的概念、平方根的求法及其性质．本课既是前面学习的算术平方根的延续，又是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的基础，同时本节课也为更好地理解立方根的概念和求法提供了思路和研究方法．
学习目标
1.了解平方根的概念；掌握平方根的性质．
2.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根．
新知导入
1.什么是算术平方根？0的算术平方根是多少？负数有算术平方根吗？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
0的算术平方根是0，负数没有算术平方根
2.想一想，求出下列各数的算术平方根.
（1）9 （2）5 （3） (4)0
3
0
探究新知
任务：探究平方根概念及性质
思考1：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
32=9
(-3)2=9
如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或-3
探究新知
任务：探究平方根概念及性质
填表：
x2 1 16 36 49
x ±1 ±4 ±6 ±7 ±
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（也叫二次方根）.
即：x2＝a，那么x叫做a的平方根
例：3和-3是 9的平方根，简记±3是9的平方根.
探究新知
任务：探究平方根概念及性质
求平方
求平方根
平方
开平方
互逆 运算
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根.
探究新知
任务：探究平方根概念及性质
试一试：求下列各数的平方根：（1）100；（2）；（3）0.25
解:（1）∵(±10)2＝100，∴100的平方根是±10 ；
（2）∵ (±)2＝ ，∴ 的平方根是±；
（3）∵(±0.5)2＝0.25，∴0.25的平方根是±0.5 ．
探究新知
任务：探究平方根概念及性质
思考2：正数的平方根有什么特点？０的平方根是多少？负数有平方根吗？
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根．
探究新知
任务：探究平方根概念及性质
正数a的算术平方根可以用表示；
正数a的负的平方根，可以用符号 “- ”表示，
故正数a的平方根可以用符号“± ”表示，
读作 “正、负根号a”．
例如，± ＝±3，± ＝±5
为相反数
注意：符号有当a ≥0时，有意义，a<0时，无意义。
典例分析
例：求下列各式的值：
解：（1）∵62＝36，∴ =
（2）∵0.92＝0.81，∴ =
（3）∵()2＝，∴ =
知道一个数的算术平方根，就可以立即写出它的负的平方根。为什么？
请你先说一说上列各式的意义。
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
1．若，则下列说法正确的是（ ）
A．a是x的平方根 B．x是a的平方根
C．x是a的算术平方根 D．a是x的算术平方根
B
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
2．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
3．求下列各式中x的值．
(1)；(2)；(3)．
解：（1）
解得；
（2）
解得；
（3）
或
解得，．
课堂练习
【知识技能类作业】
——选做题：
若一个正数的两个不同的平方根分别是和，求这个正数．
解：由题意得：，
解得，，
∴，
∴，
∴这个正数是25．
课堂练习
【综合实践类作业】
已知的平方根是，的算术平方根是4．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
解：（1）∵的平方根是，的算术平方根是4．
∴，，解得a＝5，b＝4．
（2）当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为，
即ab+5的平方根是．
课堂总结
今天这节课，你都有哪些收获？
1.你能总结一下平方根与算术平方根的概念的联系与区别吗？
2.平方根的性质是什么？
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
1．求的平方根，用式子来表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
C
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
2．下列说法中正确的个数是（ ）
①的平方根是；
②没有平方根；
③非负数a的平方根是非负数；
④负数没有平方根；
⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
3．解方程．
(1)；(2)．
解：（1），
，
，
∴，；
（2），
，
，
∴，．
作业布置
【知识技能类作业】
——选做题：
已知一个正数的两个平方根是和．
(1)求代数式的值；
(2)求的值．
解：（1）根据题意得：
，
解得：，
，
代数式的值为．
（2）由（1）得：
，
，
．
作业布置
【综合实践类作业】
全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年）
(1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
解：（1）当时，
（厘米），
答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米．
（2）当时，
即，
，
答：冰川约是在37年前消失的．
板书设计
课题：6.1.3 平方根
一、平方根
二、开平方运算
三、平方根的性质
教师板演区
学生展示区
