(共32张PPT)
6.2 立方根
人教版 七年级下册
内容总览
学习目标
01
新知导入
02
探究新知
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
本节课主要学习立方根的概念、性质和求法．通过本课的学习，学生对数的范围的认识就由有理数扩大到实数，而无理数的概念正是由数的平方根和立方根引入的。在此之前，学生已学习了数的平方根，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。通过本节课的学习，学生可以更深入的了解无理数，为后面学习奠定基础。
学习目标
1.了解立方根的概念和性质．
2.会求一些数的立方根．
新知导入
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
x3 -8 -1 0 1 8 27 64 125
1.什么是平方根？说一说平方根的性质
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（也叫二次方根）.
正数有两个平方根，它们互为相反数；０的平方根是０；负数没有平方根．
2.根据乘方意义填表：
探究新知
任务一：探究立方根的概念和性质
问题：要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多？
解：设这种包装箱的棱长为xｍ，则
x3＝27
∵ 33＝27
∴ x＝3
答：这种包装箱的棱长为3ｍ.
V＝a3
探究新知
任务一：探究立方根的概念和性质
如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（也叫三次方根）.
即：x3＝a，那么x叫做a的立方根
例：∵ 33＝27，3是27的立方根
探究新知
任务一：探究立方根的概念和性质
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
平方
开平方
互逆 运算
立方
开立方
互逆 运算
根据这种互逆关系，可以求一个数的立方根.
探究1：根据立方根的意义填空.。你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
∵ 23 ＝8，∴8的立方根是（ ）；
∵（ ）3 ＝0.064 , ∴ 0.064的立方根是（ ）；
∵（ ）3 ＝ 0， ∴ 0的立方根是（ ）；
∵（ ）3 ＝－8 ， ∴ －8的立方根是（ ）；
∵（ ）3 ＝ , ∴ 的立方根是（ ）．
探究新知
任务一：探究立方根的概念和性质
2
0.4
0.4
0
0
-2
-2
探究新知
任务一：探究立方根的概念和性质
立方根的性质
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0的立方根是0.
一个数a的立方根，记作：读作：“三次根号a”，其中，a是被开方数，3是根指数。
例：8的立方根，表示为：
表示-8的立方根
探究新知
任务一：探究立方根的概念和性质
被开方数
根指数
根指数3，不能省略！
根指数
？
2
根指数2，可以省略！
探究新知
任务一：探究立方根的概念和性质
被开方数 平方根 立方根
正数 有两个，互为相反数 有一个，是正数
负数 没有 有一个，是负数
0 0 0
思考：你能说一说平方根和立方根的异同点吗
探究新知
任务一：探究立方根的概念和性质
探究2：填空，你能发现其中的规律吗？
因为=_____， =_____，所以_____
因为=____， =____，所以____
-2
-2
=
-3
-3
=
=
探究新知
任务二：用计算器求立方根
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数．例如 等都是无限不循环小数．我们可以用有理数近似地表示它们。
一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根 （或其近似值）．
有些计算器需要用第二功能键（2nd F）求一个数的立方根
探究新知
任务二：用计算器求立方根
操作：用计算器求的值．
解：依次按键、1845、 = ，显示：12.264 940 81．
或
依次按键2nd F、、1845、 = ，显示：12.264 940 81．
探究新知
任务二：用计算器求立方根
探究3：用计算器计算…， ， ， ， ，…，你能发现什么规律？用计算器计算（精确到0.001），并利用你发现的规律求， ， 近似值。
解：=0.06
=0.6
=6
=60
被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位.
≈4.642
≈0.4642
≈0.04642
≈46.42
典例分析
例：求下列各式的值 ：
（1）；（2）；（3） .
解：（1）=4；
（2）=；
（3） = .
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
1．已知，，则的值为（ ）
A．0.528 B．0.0528 C．00528 D．0.000528
C
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
2．如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1、或0
D
课堂练习
【知识技能类作业】
——必做题：
3．求下列各式的值：
(1)；(2)；(3)．
解：(1)；
(2)；
(3)．
课堂练习
【知识技能类作业】
——选做题：
求下列各式中的的值：
(1)．(2)．
解：（1）∵
∴
∴
（2），
，
解得，．
课堂练习
【综合实践类作业】
请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
(1)求大正方体木块的棱长
(2)求截得的每个小正
方体木块的棱长．
解：（1） ，
大正方体木块的棱长
（2）截得的每个小正方体木块的棱长，根据题意得：
解得：，
截得的每个小正方体木块的棱长．
课堂总结
今天这节课，你都有哪些收获？
1.什么是立方根？如何求一个数的立方根？
2.立方根有什么性质？
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
1．对于说法错误的是（ ）
A．表示的立方根 B．结果等于
C．与的结果相等 D．没有意义
D
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
2．已知，则的平方根为（ ）
A． B． C． D．
C
作业布置
【知识技能类作业】
——必做题：
3．求下列各式中的x的值．
（1）；（2）．
解：（1），
，
；
（2），
，
，
．
作业布置
【知识技能类作业】
——选做题：
【发现】
①
②
③
④
……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
作业布置
（2）∵与的值互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，
代入中，
解得，，
∴．
【知识技能类作业】
——选做题：
作业布置
【综合实践类作业】
如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）
(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
20cm
解：（2）正方体的边长为：，
平面展开图如图所示（阴影部分为剪去的部分），
所用纸片面积为，
板书设计
课题：6.2 立方根
一、立方根
二、立方根的性质
三、用计算器求立方根
教师板演区
学生展示区中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册 第六章
课标要求 内容要求： 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。 2.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。 3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。 4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 5.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 7.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。 学业要求： 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值。
内容分析 实数属于“数与代数”这个范畴的数的内容，本章的主要内容是平方根、算术平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算，通过本章的学习，学生对数的认识将从有理数范围扩大到实数范围。虽然本章的内容不多，篇幅不大，但是本章的概念教学任务较重，数学知识的抽象性较强。本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备，因此本章知识在中学数学中占有重要的地位。
学情分析 学生在七年级上学期，已经系统学过有理数，对有理数的概念和运算有了较深刻的认识，特别是知道有理数能用数轴上的点来表示、绝对值、相反数以及乘方运算等知识，这些知识是学习实数的初步知识，为本章的学习奠定了良好的基础，使学生具备了继续学习本章知识的基本技能。同时，七年级学生思维正处于从以具体形象思维为主向以抽象逻辑思维成分为主的转折期，因此，教学中必需留意具体性，形象性，同时还要有适当的抽象概况要求，从而促进学生的思维向高一阶段发展。
单元目标 （一）教学目标 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. （二）教学重点、难点 重点： 算术平方根、平方根的概念和求法以及实数的概念。 难点： 平方根和实数的概念。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数6.1平方根36.2立方根16.3实数2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务6.1.1 算术平方根1.了解算术平方根的概念． 2.会求一些数的算术平方根，并用算术平方根符号表示．理解算术平方根的含义，并能求出一个非负数的算术平方根任务一：理解算术平方根 任务二：求一个非负数的算术平方根6.1.2 估算及用计算器求算术平方根1.用有理数估计无理数的大致范围，并初步体验“无限不循环小数”的含义． 2.用计算器求一个非负数的算术平方根．1.能估计出一个无理数的范围，并比较大小 2.能用计算器求一个非负数的算术平方根任务一：估算的大小 任务二：用计算器求算术平方根 任务三：算术平方根大小比较6.1.3 平方根1.了解平方根的概念；掌握平方根的性质． 2.能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根．理解平方根的含义及特征，并能求出一个非负数的平方根 任务：探究平方根概念及性质 6.2 立方根1.了解立方根的概念． 2.会求一些数的立方根．会求一个数的立方根任务一：探究立方根的概念和性质 任务二：用计算器求立方根6.3.1 实数的概念及分类1.了解无理数和实数的概念． 2.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想.1.能判断一个数是否是无理数，能对实数分类有清晰的认识 2.能借助数轴上的点表示无理数任务一：探究无理数及实数的分类 任务二：探究实数与数轴上的点一一对应关系6.3.2 实数的运算1.会求实数的相反数与绝对值 2.会对实数进行简单的运算.1.能求出一个实数的相反和绝对值 2.能进行简单的实数混合运算任务一：探究实数的相反数和绝对值 任务二：实数的运算
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分课时教学设计
第四课时《 立方根 》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要学习立方根的概念、性质和求法．通过本课的学习，学生对数的范围的认识就由有理数扩大到实数，而无理数的概念正是由数的平方根和立方根引入的。在此之前，学生已学习了数的平方根，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。通过本节课的学习，学生可以更深入的了解无理数，为后面学习奠定基础。
学习者分析 学生在学习本课之前，已经学方根的概念，对“开方”这种运算有了初步体验，知道平方运算和开方运算互为逆运算，平方根的特征并会求一个非负数的算术平方根。因此，学生可以类比进行本节课的学习，并且学生会求一个数的立方，这些都为本节课立方根的学习奠定良好的基础。
教学目标 1.了解立方根的概念和性质． 2.会求一些数的立方根．
教学重点 理解立方与开立方的关系及立方根的特征
教学难点 能利用立方和开立方互为逆运算的关系，求一个数的立方根
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境导入教师活动1： 问题1.什么是平方根？说一说平方根的性质 答案：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（也叫二次方根）. 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 问题2.根据乘方意义填表： x-2-1012345x3
答案： x-2-1012345x3-8-10182764125
学生活动1： 学生积极回答老师提出的问题活动意图说明： 通过复习平方根的概念和性质，并让学生熟练知道常用几个数的立方是多少，为本节学习立方根奠定基础，同时自然引入课题立方根。环节二：知识探究教师活动2： 问题：要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多？ 解：设这种包装箱的棱长为xｍ，则 x3＝27 ∵33＝27 ∴x＝3 答：这种包装箱的棱长为3ｍ. 归纳：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（也叫三次方根）. 即：x3＝a，那么x叫做a的立方根 例：∵33＝27，3是27的立方根 讲解：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 指出：立方和开立方是互逆运算 根据这种互逆关系，可以求一个数的立方根. 探究1：根据立方根的意义填空。你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？ ∵23＝8，∴8的立方根是（ ）； ∵（ ）3＝0.064,∴0.064的立方根是（ ）； ∵（ ）3＝0，∴0的立方根是（ ）； ∵（ ）3＝－8，∴－8的立方根是（ ）； ∵（ ）3＝,∴的立方根是（ ）． 答案：2，0.4，0.4，0，0，-2，-2，， 归纳：立方根的性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0. 指出：一个数a的立方根，记作：读作：“三次根号a”，其中，a是被开方数，3是根指数。根指数3，不能省略！ 例：8的立方根，表示为： 表示-8的立方根 强调：的根指数是2，根指数2，可以省略！ 思考：你能说一说平方根和立方根的异同点吗 被开方数平方根立方根正数有两个，互为相反数有一个，是正数负数没有有一个，是负数000
探究2：填空，你能发现其中的规律吗？ 因为=____，=____，所以____ 因为=___，=___，所以___ 答案：-2，-2，=；-3，-3= 归纳：= 指出：实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数．例如等都是无限不循环小数．我们可以用有理数近似地表示它们。 一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）． 有些计算器需要用第二功能键（2ndF）求一个数的立方根 操作：用计算器求的值． 解：依次按键、1845、=，显示：12.26494081． 或 依次按键2ndF、、1845、=，显示：12.26494081． 探究3：用计算器计算…，，，，，…，你能发现什么规律？用计算器计算（精确到0.001），并利用你发现的规律求，，近似值。 解：=0.06 =0.6 =6 =60 归纳：被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位. 解：≈4.642 ≈0.4642 ≈0.04642 ≈46.42学生活动2： 学生回答问题后听老师讲解立方根的概念和开立方运算，然后先独立思考，再小组合作完成探究，并班内交流，最后认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过具体实例，感受立方根，在此基础上引导学生得到立方根的概念，开立方运算，利用立方和开立方的互逆关系求立方根来进一步探究立方根的性质并与平方根做对比，提高学生对立方根与平方根的认识，并借助计算器探究被开方数的小数点与立方根的小数点之间的关系。环节三：例题讲解教师活动3： 例：求下列各式的值 ： （1）；（2）；（3） . 解：（1）=4； （2）=； （3） = .学生活动3： 学生在教师的引导下、小组合作探究中完成例题，并派代表行进行板演，讲解，然后认真听教师的点评和讲解活动意图说明： 让学生用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
板书设计 课题：6.2 立方根一、立方根 二、立方根的性质 三、用计算器求立方根 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知，，则的值为（ ） A．0.528 B．0.0528 C．00528 D．0.000528 答案：C 2．如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是（ ） A．1 B． C．1或 D．1、或0 答案：D 3．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 解：(1)； (2)； (3)． 选做题： 求下列各式中的的值： (1)． (2)． 解：（1）∵ ∴ ∴ （2）， ， 解得，． 【综合拓展类作业】 请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长 (2)求截得的每个小正方体木块的棱长． 解：（1） ， 大正方体木块的棱长 （2）截得的每个小正方体木块的棱长，根据题意得： 解得：， 截得的每个小正方体木块的棱长．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．对于说法错误的是（ ） A．表示的立方根 B．结果等于 C．与的结果相等 D．没有意义 答案：D 2．已知，则的平方根为（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．求下列各式中的x的值． （1）； （2）． 解：（1）， ， ； （2）， ， ， ． 选做题： 【发现】 ① ② ③ ④ ……； (1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题： 对于任意两个有理数a，b，若，则； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： (2)若与的值互为相反数，且，求a的值． 解：（1），符合上述规律， 故答案为：； （2）∵与的值互为相反数， ∴+=0， ∴， 解得， 代入中， 解得，， ∴． 【综合拓展类作业】 如图是一张面积为的正方形纸片． (1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案） (2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积． 解：（1）正方形纸片的边长为：， 故答案为：； （2）正方体的边长为：， 平面展开图如图所示（阴影部分为剪去的部分）， 所用纸片面积为，
教学反思 在教学中，部分学生在求一个数的立方根时，时常在结果上加上正负号；负数也有立方根这条性质总忘记，在做平方根和立方根混合题时，容易出错。说明学生对于立方根和平方根的区别和联系还没有深刻的认识，在做题过程中对开立方的关键点没有养成习惯，因此，要加强平方根与立方根的对比，进一步提高学生对立方根的概念、性质的理解，提高开立方运算的能力。
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