高中物理 教科版必修1 第四章第2节《共点力平衡条件的应用》教案

习题课：共点力平衡条件的应用
[目标定位]　
1.进一步理解共点力作用下物体的平衡条件.
2.掌握矢量三角形法解共点力作用下的平衡问题.3.掌握动态平衡问题的分析方法.4.掌握整体法和隔离法分析连接体平衡问题．
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一、矢量三角形法(合成法)求解共点力平衡问题
物体受多力作用处于平衡状态时，可用正交分 ( http: / / www.21cnjy.com )解法求解，但当物体受三个力作用而平衡时，可用矢量三角形法，即其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，且这三个力首尾相接构成封闭三角形，通过解三角形求解相应力的大小和方向，当这三个力组成含有特殊角(60°、53°、45°)的直角三角形时尤为简单．
例1　在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图1所示．仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大，通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力的大小，那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(试用矢量三角形法和正交分解法两种方法求解)
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图1
解析　取金属球为研究对象，有风时，它受到三 ( http: / / www.21cnjy.com )个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力T，如图甲所示．这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零，可以根据任意两力的合力与第三个力等大、反向求解，也可以用正交分解法求解．
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甲
解法一　矢量三角形法
如图乙所示，风力F和拉力T的合力与重力等大反向，由矢量三角形可得：F＝mgtan θ.
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解法二　正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直 ( http: / / www.21cnjy.com )方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示．有水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即
Fx合＝Tsin θ－F＝0，Fy合＝Tcos θ－mg＝0，
解得F＝mgtan θ.由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关．因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小．
答案　F＝mgtan θ
针对训练　如图2所示，光滑 ( http: / / www.21cnjy.com )半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ，下列关系正确的是(　　)
图2
A．F＝ B．F＝mgtan θ
C．N＝ D．N＝mgtan θ
答案　A
解析　对滑块进行受力分析如图，滑块受到 ( http: / / www.21cnjy.com )重力mg、支持力N、水平推力F三个力作用．由共点力的平衡条件知，F与mg的合力F′与N等大、反向．根据平行四边形定则可知N、mg和合力F′构成直角三角形，解直角三角形可求得：F＝，N＝.所以正确选项为A.
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二、动态平衡问题
所谓动态平衡问题是指通过控制某些物 ( http: / / www.21cnjy.com )理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，这类问题的解决方法一般用图解法和相似三角形法．
1．图解法
(1)特征：物体受三个力作用，这三 ( http: / / www.21cnjy.com )个力中，一个是恒力，大小、方向均不变化，另两个是变力，其中一个是方向不变的力，另一个是大小、方向均变化的力．
(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角形中，利用图解法判断两个变力大小、方向的变化．
2．相似三角形法
(1)特征：物体一般也受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，另两个是大小、方向都变化的力．
(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形中，找到题目情景中的结构三角形，这时往往三个力组成的力三角形与此结构三角形相似．利用三角形的相似比判断出这两个变力大小的变化情况．
例2　如图3所示，一个光滑的小球，放置在墙壁和斜木板之间，当斜木板和竖直墙壁的夹角θ角缓慢增大时(θ＜90°)，则(　　)
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图3
A．墙壁受到的压力减小，木板受到的压力减小
B．墙壁受到的压力增大，木板受到的压力减小
C．墙壁受到的压力增大，木板受到的压力增大
D．墙壁受到的压力减小，木板受到的压力增大
解析　以小球为研究对象，处 ( http: / / www.21cnjy.com )于平衡状态，根据受力平衡，有：由图可知，墙壁给球的压力F2逐渐减小，斜木板给球的支持力F1逐渐减小，根据牛顿第三定律可知墙壁受到的压力减小，木板受到的压力减小，故B、C错误，A正确．
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答案　A
例3　如图4所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个光滑小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮．今缓慢拉绳使小球从A点沿半球面滑到半球顶点，则此过程中，半球对小球的支持力大小N及细绳的拉力F大小的变化情况是(　　)
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图4
A．N变大，F变大 B．N变小，F变大
C．N不变，F变小 D．N变大，F变小
解析　小球受力如图甲所示，F、N、G构成一封闭三角形．
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由图乙可知＝＝
F＝G·　N＝G·
AB变短，OB不变，OA不变，
故F变小，N不变．
答案　C
三、整体法与隔离法分析连接体平衡问题
1．隔离法：为了弄清系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况．一般要把这个物体隔离出来进行受力分析，然后利用平衡条件求解．
2．整体法：当只涉及系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可把整个系统看成一个物体，画出系统整体的受力图，然后利用平衡条件求解．
注意　隔离法和整体法常常需要交叉运用，从而优化解题思路和方法，使解题简捷明快．
例4　如图5所示，倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上．下列结论正确的是(　　)
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图5
A．木块受到的摩擦力大小是mgcos α
B．木块对斜面体的压力大小是mgsin α
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsin αcos α
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
解析　先选木块和斜面整体 ( http: / / www.21cnjy.com )为研究对象，由于两者都处于平衡状态，故斜面不受到地面的摩擦力，且地面对斜面体的支持力等于总重力，C项错误，D项正确；再选木块为研究对象，木块受到重力、支持力和斜面对它的滑动摩擦力，木块的重力平行于斜面方向的分力为mgsin α，垂直于斜面方向的分力为mgcos α.由平衡条件可得木块受到的摩擦力大小是f＝ mgsin α，支持力N＝mgcos α，由牛顿第三定律，木块对斜面体的压力大小是mgcos α，选项A、B错误．
答案　D
1.矢量三角形法 合成法 .
2.动态平衡问题： 1 图解法； 2 相似三角形法.
3.整体法与隔离法分析连接体平衡问题.
( http: / / www.21cnjy.com )1．(矢量三角形法)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图6所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为(　　)
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图6
A.mg，mg
B.mg，mg
C.mg，mg
D.mg，mg
答案　A
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解析　分析结点c的受力情况如图，设ac ( http: / / www.21cnjy.com )绳受到的拉力为F1、bc绳受到的拉力为F2，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得
F1＝Fcos 30°＝mg
F2＝Fsin 30°＝mg
选项A正确．
2．(动态平衡问题)用细绳OA、OB悬 ( http: / / www.21cnjy.com )挂一重物，OB水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图7所示位置逐渐移到C点的过程中，试分析OA绳和OB绳中的拉力变化情况为(　　)
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图7
A．OA绳中的拉力逐渐减小
B．OA绳中的拉力逐渐增大
C．OB绳中的拉力逐渐减小
D．OB绳中的拉力先减小后增大
答案　AD
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解析　如图所示，在支架上选取三个点 ( http: / / www.21cnjy.com )B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，OA、OB中的拉力分别为TA1、TA2、TA3和TB1、TB2、TB3，从图中可以直观地看出，TA逐渐变小，且方向不变；而TB先变小后变大，且方向不断改变；当TB与TA垂直时，TB最小，然后TB又逐渐增大．故A、D正确．
3．(整体法与隔离法)如图8所示，质量分 ( http: / / www.21cnjy.com )别为m1、m2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面上，m2在空中)，力F与水平方向成θ角．则m1所受支持力N和摩擦力f正确的是(　　)
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图8
A．N＝m1g＋m2g－Fsin θ
B．N＝m1g＋m2g－Fcos θ
C．f＝Fcos θ
D．f＝Fsin θ
答案　AC
解析　将m1、m2和弹簧看做一个整体，受力分析如图所示．
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根据平衡条件得f＝Fcos θ
N＋Fsin θ＝(m1＋m2)g
则N＝(m1＋m2)g－Fsin θ
故选项A、C正确．
4．(矢量三角形法)如图9所示，电灯 ( http: / / www.21cnjy.com )的重力为20 N，绳AO与天花板间的夹角为45°，绳BO水平，求绳AO、BO上的拉力的大小．(请分别用两种方法求解)
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图9
答案　20 N　20 N
解析　解法一　矢量三角形法(力的合成法)
O点受三个力作用处于平衡状态，如图所示，
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可得出FA与FB的合力F合方向竖直向上，大小等于FC.
由三角函数关系可得
F合＝FAsin 45°＝FC＝G灯
FB＝FAcos 45°
解得FA＝20 N，FB＝20 N
故绳AO、BO上的拉力分别为20 N、20 N.
解法二　正交分解法
如图所示，将FA进行正交分解，根据物体的平衡条件知
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FAsin 45°＝FC
FAcos 45°＝FB
FC＝G灯
代入数据解得：FA＝20 N，FB＝20 N.
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题组一　动态平衡问题
1．如图1，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳OA使连结点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时(　　)
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图1
A．绳OA的拉力逐渐增大
B．绳OA的拉力逐渐减小
C．绳OA的拉力先增大后减小
D．绳OA的拉力先减小后增大
答案　D
解析　对点O受力分析，如图所示，通过作图，可以看出绳OA的张力先变小后变大，故A、B、C错误，D正确．
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2．用细绳将重球悬挂在竖直光滑墙上如图2所示，当悬挂绳变长时(　　)
图2
A．绳子拉力变小，墙对球的弹力变大
B．绳子拉力变小，墙对球的弹力变小
C．绳子拉力变大，墙对球的弹力变大
D．绳子拉力变大，墙对球的弹力变小
答案　B
解析　对小球进行受力分析：把绳子的拉力T和墙对球的弹力N合成F，由于物体是静止的，所以物体受力平衡，所以物体的重力等于合力F，即F＝G，
设细线与墙壁的夹角为θ，根据几何关系得 ( http: / / www.21cnjy.com )出：T＝，N＝mgtan θ，先找到其中的定值，就是小球的重力mg，mg是不变的，随着绳子加长，细线与墙壁的夹角θ减小，则cos θ增大，减小，tan θ减小，mgtan θ减小，所以，T减小，N减小．故选B.
3.一轻杆BO，其O端用光滑铰 ( http: / / www.21cnjy.com )链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图3所示．现将细绳缓慢往左拉，使轻杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及轻杆BO对绳的支持力N的大小变化情况是(　　)
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图3
A．N先减小，后增大
B．N始终不变
C．F先减小，后增大
D．F始终不变
答案　B
解析　取BO杆的B端为研究对象，受到绳 ( http: / / www.21cnjy.com )子拉力(大小为F)、BO杆的支持力N和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)，如图所示，得到一个力三角形(如图中画斜线部分)，此力三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．
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如图所示，力三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得：
＝＝
式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知N不变，F逐渐变小．故选B.
4.如图4所示，用细绳悬挂一个小球，小球在 ( http: / / www.21cnjy.com )水平拉力F的作用下从平衡位置P点缓慢地沿圆弧移动到Q点，在这个过程中，绳的拉力F′和水平拉力F的大小变化情况是(　　)
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图4
A．F′不断增大
B．F′不断减小
C．F不断减小
D．F不断增大
答案　AD
解析　如图所示，利用图解法可知F′不断增大，F不断增大．
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5.置于水平地面上的物体受到 ( http: / / www.21cnjy.com )水平作用力F处于静止状态，如图5所示，保持作用力F大小不变，将其沿逆时针方向缓缓转过180°，物体始终保持静止，则在此过程中地面对物体的支持力N和地面给物体的摩擦力f的变化情况是(　　)
图5
A．N先变小后变大，f不变
B．N不变，f先变小后变大
C．N、f都是先变大后变小
D．N、f都是先变小后变大
答案　D
解析　力F与水平方向的夹角θ先增大后减 ( http: / / www.21cnjy.com )小，水平方向上，Fcos θ－f＝0，f＝Fcos θ；竖直方向上，N＋Fsin θ－mg＝0，N＝mg－Fsin θ，故随θ变化，f、N都是先减小后增大．
题组二　整体法与隔离法
6.两刚性球a和b的质量分别为ma和m ( http: / / www.21cnjy.com )b、直径分别为da和db(da＞db)将a、b球依次放入一竖直放置、平底的圆筒内，如图6所示．设a、b两球静止时圆筒侧面对两球的弹力大小分别为F1和F2，筒底对球a的支持力大小为F.已知重力加速度大小为g.若所有接触都是光滑的，则(　　)
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图6
A．F＝(ma＋mb)g　F1＝F2
B．F＝(ma＋mb)g　F1≠F2
C．mag＜F＜(ma＋mb)g
D．mag＜F＜(ma＋mb)g，F1≠F2
答案　A
解析　对两刚性球a和b整体受力分析，由竖直方向受力平衡可知F＝(ma＋mb)g、水平方向受力平衡有F1＝F2.
7.如图7所示，测力计、绳子和滑轮的质量都不计，摩擦力不计．物体A重40 N，物体B重10 N，以下说法正确的是(　　)
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图7
A．地面对A的支持力是30 N
B．物体A受到的合力是30 N
C．测力计示数20 N
D．测力计示数30 N
答案　AC
8.在粗糙水平面上放着一个质量为M的三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个物体，m1>m2，如图8所示，若三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块(　　)
图8
A．无摩擦力的作用
B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左
C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m1、m2、θ1、θ2的数值均未给出
D．地面对三角形木块的支持力大小为(m1＋m2＋M)g
答案　AD
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解析　由于三角形木块和斜面上的两物体都静止， ( http: / / www.21cnjy.com )可以把它们看成一个整体，如图所示，整体竖直方向受到重力(m1＋m2＋M)g和支持力N作用处于平衡状态，故地面对整体的支持力大小为(m1＋m2＋M)g，故D选项正确．水平方向无任何滑动趋势，因此不受地面的摩擦力作用．故A选项正确．
9．如图9所示，在粗糙水平地面上放着 ( http: / / www.21cnjy.com )一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙壁之间放一光滑球B，整个装置处于静止状态．若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则(　　)
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图9
A．B对墙的压力减小
B．A与B之间的作用力增大
C．地面对A的摩擦力减小
D．A对地面的压力不变
答案　ACD
解析　设物体A对球B的支持力为F1，竖 ( http: / / www.21cnjy.com )直墙对球B的弹力为F2，F1与竖直方向的夹角θ因物体A右移而减小．对球B受力分析如图所示，由平衡条件得：F1cos θ＝mBg，F1sin θ＝F2，解得F1＝，F2＝mBgtan θ， θ减小，F1减小，F2减小，选项A对，B错；对A、B整体受力分析可知，竖直方向，地面对整体的支持力N＝(mA＋mB)g，与θ无关，即A对地面的压力不变，选项D对；水平方向，地面对A的摩擦力f＝F2，因F2减小，故f减小，选项C对．
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题组三　矢量三角形法求解共点力的平衡问题
10．一个物体受到三个力的作用，三力构成的矢量图如图所示，则能够使物体处于平衡状态的是(　　)
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答案　A
11．如图10所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G.则(　　)
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图10
A．两绳对日光灯拉力的合力大小为G
B．两绳的拉力和重力不是共点力
C．两绳的拉力大小分别为G和G
D．两绳的拉力大小分别为和
答案　AC
解析　如图，
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两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于 ( http: / / www.21cnjy.com )一点，这三个力为共点力，B选项错误；由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两绳的拉力的合力与重力G等大反向，A选项正确；由于两个拉力的夹角成直角，且都与竖直方向成45°角，则由力的平行四边形定则可知G＝，F1＝F2，故F1＝F2＝G，C选项正确，D选项错误．
12.如图11所示，一个重为100 ( http: / / www.21cnjy.com ) N、质量分布均匀的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求墙面对小球的支持力F1和A点对小球的压力F2.
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图11
答案　100 N，方向垂直墙壁向左　200 N，方向由A指向O
解析　如图，
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小球受重力mg、竖直墙面对球的弹力F1和A点对球的弹力F2作用．由三力平衡条件知F1与F2的合力与mg等大反向，解直角三角形得
F1＝mgtan θ＝100 N，方向垂直墙壁向左
F2＝＝200 N，方向由A指向O
13.滑板运动是一项非常刺激的水上运 ( http: / / www.21cnjy.com )动．研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力N垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率(水可视为静止)．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时(如图12)，滑板做匀速直线运动，相应的k＝54 kg/m，人和滑板的总质量为108 kg，试求：(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°取，忽略空气阻力)
图12
(1)水平牵引力的大小；
(2)滑板的速率．
答案　(1)810 N　(2)5 m/s
解析　(1)以滑板和运动员整体为研究对象，其受力如图所示(三力组成矢量三角形)
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由共点力平衡条件可得
Ncos θ＝mg①
Nsin θ＝F②
联立①②得
F＝810 N
(2)N＝
N＝kv2
解得v＝ ＝5 m/s