8.6.2 直线与平面垂直 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
8.6.2 直线与平面垂直（1）
第八章 立体几何初步
引 入
线 面
位置关系
问题1 空间中直线与平面有几种位置关系？
垂直
斜交
a
b
直线在平面内
直线与平面平行
直线在平面外
a∥α
直线与平面相交
a α
a∩α=A
a
a
α
α
α
观察1
观察2 如图示，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化。
探究新知
1. 直线与平面垂直的定义
记作l⊥α.
如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α互相垂直.
平面α的垂线
直线l的垂面
α
P
l
垂足
它们唯一的公共点P叫做垂足.
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.
直线与平面垂直时，
判断正误：
1.若直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直，则l⊥α.
3.若 l⊥α，则直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直.
2.若直线 l 与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.
结论：若 l⊥α，则直线 l 与平面α内任意一条直线都垂直.
线面垂直
线线垂直
定义
证明线线垂直的方法：
① 线线垂直的定义：所成的角是直角．
② 如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条，那么这条直线也垂直于另一条直线.
③直线与平面垂直的定义：只要证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．
问题3 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
一条
P
l
α
O
证明：
P
这与同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾
所以空间过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,
垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
2. 点到平面的距离
P
l
α
O
在锥体的体积公式中，锥体的高度就是锥体的顶点到底面的距离.
l
能否利用在平面内找有限条直线与已知直线垂直，从而判定直线与平面垂直？
一条？
由定义判定直线与平面垂直，简便吗？
问题5 怎么来判定直线与平面垂直？
l
l
两条？
下面我们研究直线与平面垂直的判定，就是直线与平面垂直的充分条件.
探究：准备一块三角形纸片，设纸片的三个顶角分别为A,B,C，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上( 使BD、DC与桌面都接触）.
问题6 （1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直
3. 直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
线线垂直 　　 　 线面垂直
判定定理
定义
垂直
内
相交
符号语言：
图形语言：
线线垂直 线面垂直
【练习】
例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α.
证明：
如图，在平面α内取两条相交直线m，n.
∵a⊥α，
∴a⊥m， a⊥n.
又∵a//b，
∴b⊥m， b⊥n.
又m α，n α，且m,n是两条相交直线.
∴b⊥α.
结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. (证明线面垂直的另一方法)
证明1：
B
D
C
S
A
证明2：
证明线面垂直的方法总结：
① 线面垂直的定义．
② 线面垂直的判定定理．
③ 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
④ 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个平面．(后面学习)　
【特别提醒】要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．
课堂小结
1. 直线与平面垂直的定义：“任意”
2. 直线和平面垂直的判定定理
定义的运用：线面垂直
线线垂直
关键：在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直
线线垂直
线面垂直
3.
布置作业
必做作业（1）教 材
（3）求证：PBANQ
选做作业（探究）
THANKS