高中物理 教科版必修1 第二章第6节《力的分解》教学案

2.6　力的分解
[目标定位]　1.理解力的分解.2.知道 ( http: / / www.21cnjy.com )力的分解是力的合成的逆运算.3.会用作图法求分力，会用直角三角形的知识计算分力.4.知道力的正交分解法，会用正交分解法求合力．
一、力的分解
1．力的分解：求一个已知力的分力叫做力的分解．
2．力的分解原则：力的分解是力的合成的逆运 ( http: / / www.21cnjy.com )算，同样遵守平行四边形定则，把一个已知力F作为平行四边形的对角线，那么，与力F共点的平行四边形的两个邻边，就表示力F的两个分力．
3．力的分解方法
(1)一个力可以分解为两个力，如果没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力．
(2)力的效果分解
在实际的问题中，要依据力的实际作用效果分解．
例如，如图261所示，质量为m的物体静止在 ( http: / / www.21cnjy.com )斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体沿斜面下滑，相当于分力F1的作用；二是使物体垂直压紧斜面，相当于分力F2的作用，则F1＝mgsin α，F2＝mgcos_α.
图261
想一想：
将一个已知力进行分解，得到的两个分力一定比该已知力小吗？
答案　不一定　合力与分力的关系是：合力可能大于分力，也可能小于分力，还有可能等于分力．
二、力的正交分解
1．定义：把力在两个互相垂直的方向上分解叫做正交分解．
2．通常在这两个互相垂直的 ( http: / / www.21cnjy.com )方向设立平面直角坐标系，把力F沿x轴和y轴这两个互相垂直的方向分解．如图262所示，Fx＝Fcos_θ，Fy＝Fsin_θ.
图262
一、力的分解
1．力的分解的运算法则：平行四边形定则．
2．如果没有限制，一个力可分解为无数对大小、方向不同的分力．
3．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
(2)根据两个分力的方向作出力的平行四边形或三角形．
(3)利用数学知识解三角形，分析、计算分力的大小．
4．两种典型情况的力的分解
(1)拉力F可分解为：水平向前的力F1和竖直向上的力F2，如图263所示．
(2)重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2.(如图264所示)
F1＝Fcosα，F2＝Fsinα　　　F1＝mgsinα，F2＝mgcosα
图263　　　　　　　　　　　图264
例1　如图265所示，轻杆与柱子之间用铰链连接，杆的末端吊着一个重为30 N的物体，轻绳与水平轻杆之间的夹角为θ＝30°，求轻绳和杆各受多大的力？
图265
解析　悬挂重物的绳子对O点的拉力F＝ ( http: / / www.21cnjy.com )G，产生两个作用效果：一个是沿绳方向拉轻绳，一个是沿杆方向压杆(因轻杆处于静止时杆所受的弹力一定沿着杆，否则会引起杆的转动)作平行四边形如图所示，由几何关系解得
F1＝＝60 N
F2＝≈52 N
答案　60 N　52 N
二、有限制条件的力的分解
力分解时有解或无解，关键看代表合力 ( http: / / www.21cnjy.com )的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)，若能，即有解；若不能则无解．具体情况有以下几种：
1．已知合力和两个分力的方向时(如图266甲)，两分力有唯一解(如图乙所示)．
图266
2．已知合力和一个分力的大小和方向时(如图丙所示，若已知F和F1)，另一分力有唯一解(如图丁所示)．
3．已知合力以及一个分力的大小和另一个分力的方向时，有下面几种可能：
图267
(1)当Fsinθ＜F2＜F时，有两解(如图267甲)．
(2)当F2＝Fsinθ时，有唯一解(如图267乙)．
(3)当F2＜Fsinθ时，无解(如图267丙)．
(4)当F2＞F时，有唯一解(如图267丁)．
例2　按下列两种情况把一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力．
图268
(1)一个分力在水平方向上，并等于240 N，求另一个分力的大小和方向；
(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如图268所示)，求两个分力的大小．
甲
解析　(1)力的分解如图甲所示．F2＝＝300 N
设F2与F的夹角为θ，则
tan θ＝＝，解得θ＝53°
(2)力的分解如图乙所示．
乙
F1＝Ftan 30°＝180×N＝60 N
F2＝＝N＝120N
答案　(1)300 N　与竖直方向夹角为53°
(2)水平方向分力的大小为60 N，斜向下的分力大小为120 N
例3　如图269所示，一个大人与一个小孩在河的两岸，沿河岸拉一条船前进，大人的拉力为F1＝400 N，方向与河中心线的夹角为30°，要使船向正东方向行驶，求小孩对船施加的最小力的大小和方向．
图269
解析　如图所示，使合力F沿正东方向，
则小孩施加的最小拉力方向为垂直于河岸与向北拉船，力的最小值为F2＝F1sin 30°＝100×N＝50 N.
答案　50 N
三、力的正交分解
1．建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
2．正交分解各力，即将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图2610所示．
图2610
3．分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…
4．求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝.
例4　在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图2611所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
图2611
解析　本题若直接运用平行四边形定则 ( http: / / www.21cnjy.com )求解，需解多个斜三角形，需多次确定各个力的合力的大小和方向，计算过程十分复杂．为此，可采用力的正交分解法求解此题．
如图甲，建立直角坐标系，把各个力分解到这两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
因此，如图乙所示，合力：F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1.即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上．
答案　38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向右上
按力的效果分解
1．在图2612中，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°.如把球O的重力按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为(　　)
图2612
A.G，G B.G，G
C.G，G D.G，G
解析　对球所受重力进行分解如图所示，由几何关系得F1＝Gsin 60°＝G，F2＝Gsin 30°＝G，A正确．
答案　A
2．如图2613所示，已知电灯的重力G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角θ＝45°，BO绳水平．
图2613
(1)请按力的实际作用效果将OC绳对O点的拉力加以分解，并作出图示．
(2)AO绳所受的拉力F1和BO绳所受的拉力F2分别为多少？
解析　OC绳的拉力产生了两个效果，一是沿着A ( http: / / www.21cnjy.com )O的方向向下拉紧AO的分力F1，另一个是沿着BO绳的方向向左拉紧BO绳的分力F2.画出平行四边形，如图所示．
因为电灯处于静止状态，根据 ( http: / / www.21cnjy.com )二力平衡的条件，可判断OC绳的拉力大小等于电灯的重力，因此由几何关系得F1＝＝10 N，F2＝Gtanθ＝10 N；其方向分别为沿AO方向和沿BO方向(如上图所示)．
答案　(1)见解析图　(2)F1＝10 N，F2＝10 N
有限制条件的力的分解
3．将一个有确定方向的力 ( http: / / www.21cnjy.com )F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时(　　)
A．有无数组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
解析　设方向已知的分力为F1，如图所示，
则F2的最小值F2小＝Fsin 30° ( http: / / www.21cnjy.com )＝5 N．而5 N答案　B
4．(2013成都外国语学校期中)某物体受到一个力大小为10 N，把这个力分解为两个力F1、F2，下面说法中正确的是(　　)
A．F1、F2可能都小于5 N
B．F1、F2可能都小于10 N
C．F1、F2可能一个大于10 N，另一个小于10 N
D．F1＝10 N、F2＝10 N是不可能的
答案　BC
力的正交分解
5．如图2614所示，水平地面上有一重 ( http: / / www.21cnjy.com )60 N的物体，在与水平方向成30°角斜向上、大小为20 N的拉力F作用下匀速运动，求地面对物体的支持力和摩擦力大小．
图2614
解析　对物体进行受力分析，如图所示，物体受重力G、支持力FN、拉力F、摩擦力F′.建立直角坐标系，对力进行正交分解得：
y方向：支持力FN＝G－Fy＝G－Fsin 30°＝60 N－20×N＝50 N；
x方向：摩擦力F′＝Fx＝Fcos 30°＝20×N＝10 N.
答案　50 N　10 N