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人教版2023-2024学年九年级下学期开学摸底考试
数学试题
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B D B A A D B A B
填空题：本题共8小题，共32分。
11．1 12． 13．7 14．4 15．
16． 17．0 18．9，5438
三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：第19题8分，其余每题各10分。
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）；
（2）
．
20．【答案】（1）作图见解析；（2），同位角相等，两直线平行，．
【解析】（1）解：如图，为所作；
（2）证明：
∵是的垂直平分线，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴．
∴．
21．【答案】（1）补全统计图见解析，3.65，3.8；（2）见解析；（3）270人．
【解析】解：（1），补全统计图如下：
甲俱乐部抽取的成绩中B等级的第8名和第9名分别为：3.6和3.7，
∴甲俱乐部抽取的成绩的中位数，
乙俱乐部抽取的成绩中最多的是3.8，
∴乙俱乐部抽取的成绩的众数为；
故答案为：3.65，3.8；
（2）我认为甲俱乐部参赛者的比赛成绩更好；
因为甲俱乐部参赛者的比赛成绩的中位数3.65小时小于乙俱乐部参赛者的比赛成绩的中位数3.8小时；
（3）（人），
答：估计两个俱乐部比赛成绩“破4”的总人数有270人．
22．【答案】（1）甲施工队每天修建60米，乙施工队每天修建90米；（2）234万元．
【解析】解：（1）设甲施工队每天修建x米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
（米），
答：甲施工队每天修建60米，乙施工队每天修建90米；
（2）设先由甲施工队单独修建m天，
根据题意，得，
解得，
∴总费用为（万元），
答：共需修建费用234万元．
23．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或．
【解析】（1）当点P在上时，时，
∵四边形是正方形，O为对角线的中点，，
∴是等腰直角三角形，
∴点O到和到的距离都为2，
∴，
当点P在上时，时，
由题意得，，
∴，，
∴．
综上所述，y与x的函数关系式为；
（2）如图，
（3）由函数图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
（4）当点P在上时，
∵的面积为，
∴，
∴；
当点P在上时，
∵的面积为，
∴，
∴．
综上，或．
故答案为：或．
24． 【答案】（1）38.1cm；（2）能，理由见解析．
【解析】解：（1）过点C作，垂足为M，
设，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
经检验：是原方程的根，
∴，
∴点C到的距离为38.1cm；
（2）过点E作，垂足为N，
由题意得：
，
在中，，
∴，
∴坐垫E到地面的距离为：，
∵坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适，
∴大勇同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度．
25．【答案】（1）；（2）的最大值为，；（3）或．
【解析】解：（1）∵，则点，
将点C的坐标代入一次函数表达式得：，
则一次函数表达式为：，
则点，
则，解得：，
则抛物线的表达式为：①；
（2）由抛物线的表达式知，点，
设直线交y轴于点N，设点，
由点B、D的坐标得，直线的表达式为：，
则点，则，
过点D作轴交于点H，
则点，
则
，
∵，则有最大值，
当时，的最大值为，
此时点；
（3）存在，理由：
当点D在下方时，
由点A、C的坐标知，，
由知，
∴，即，
∴，
则直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：（舍去）或，
则点；
当点D在的上方时，
同理可得：直线的表达式为：③，
联立①③得：，
解得：，
即点；
综上，点D的坐标为：或．
26．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）．
【解析】（1）解：∵，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴；
（2），证明如下：
过点B作交的延长线于点M，则，
在和中，
，
∴，
∴，，
由旋转可知，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，设，取的中点为Q，连接、，过点B作交的延长线于点M，过点A作交于点N，则 ，
由（2）得，，
∴，
∴，
由翻折可知，，
∴点P在以为直径的圆上，，
∴当经过的中点O时，最大，此时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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人教版2023-2024学年九年级下学期开学摸底考试
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．测试范围：初中全部知识。
6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴为
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．0 B．3.14 C． D．
2．以下四家银行的标志图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
5．估算的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
6．如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一
边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为x m，则列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如所示图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第1个图形有6颗棋子，第2个图形一共有
10颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，第4个图形一共有24颗棋子，…，则第7个图形中棋子的颗数
为（ ）
A．41 B．45 C．50 D．60
8．如图，是的直径，点C、D是上的点，，连接，若，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在边长为的正方形中，点M为线段上一点，且，点P是对角线
上一动点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．10
10．已知，（n为正整数），下列说法：
①；
②；
③；
④若，则y的最小值为3．
其中正确选项的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
填空题：本题共8小题，共32分。
11．计算：＝ ．
12．质地均匀的骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．同时抛掷这样的两枚骰子，落地后朝上
的两个面上的数字之和为4的倍数的概率为 ．
13．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，则这个多边形的边数是 ．
14．如图，函数的图象经过矩形的边的中点E，交于点D，若四边形
的面积为6，则k的值为 ．
15．如图，在菱形中，，，以A为圆心，为半径画弧，交于点F，
过点F作交于点E，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，在正方形中，点M是上的一点．过点D作，交的延长线于点N．连
接，点E是的中点，连接．若，，则线段的长为 ．
17．若关于y的不等式组有且仅有三个非负整数解，且关于x的分式方程
有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为 ．
18．一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数m，那么我们
把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差．例如：将27
交换位置后为72，则2772是一个“顺利数”，且，若四位正整数n，n的千
位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a，b，c，d为整数，，且
，以n的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数”s，
若，则的值为 ；满足条件的所有数n的最大值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：第19题8分，其余每题各10分。
19．计算：
（1）； （2）．
20．如图，在钝角中，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，与边、分别交于点D、E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，过点B作交的延长线于点H，连接，求证．
请补完图形，并完成下列证明过程：
证明：
∵是的垂直平分线，
∴＝ ，，
在与中
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴（ ）（填写文字依据）
∴ ．
∴．
21．时隔三年，重庆马拉松正式回归．在3月19日，来自20个国家和地区347个城市的3万名参赛者汇
聚南滨路．马拉松全程42.195公里，为了解甲乙两个马拉松俱乐部参赛者比赛用时情况．现从甲、乙两个
俱乐部各随机抽取20名参赛者，记录比赛成绩（单位：小时），并进行整理、描述和分析（比赛成绩用t
表示，共分为四个等级：A．2＜t＜3，B．3≤t＜4，C．4≤t＜5，D．t≥5）
下面给出了部分信息：
甲俱乐部20名参赛者的比赛成绩中B等级包含的所有数据为：3.2，3.4，3.4，3.5，3.5，3.5，3.6，3.6，3.7，3.8，3.9，3.9．
乙俱乐部20名参赛者的比赛成绩：2.6，3.1，3.2，3.2，3.4，3.4，3.5，3.5，3.6，3.8，3.8，3.8，3.8，4.1，4.3，4.4，4.7，4.8，4.8，5.2．
甲、乙俱乐部抽取的全马参赛者比赛成绩统计表
俱乐部 平均数 中位数 众数 方差
甲 3.85 a 3.5 0.67
乙 3.85 3.8 b 0.45
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请将下图表示甲俱乐部比赛情况的条形统计图补充完整；并直接写出a＝ ，b＝ ．
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个俱乐部中哪个俱乐部参赛者比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在本次马拉松比赛中，甲、乙两个俱乐部各有200人参加全马比赛，请估计两个俱乐部比赛成绩“破4”（t＜4）的总人数．
22．为保障水果种植基地用水，简要修建灌溉水渠．计划修建灌溉水渠1650米，由甲、乙两个施工队合作
完成．乙施工队每天比甲施工队每天多修建30米，甲施工队单独完成修建任务所需天数是乙施工队单独完
成修建任务所需天数的．
（1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米；
（2）已知甲施工队每天的修建费用为9万元，乙施工队每天的修建费用为12万元，若先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好14天完成修建任务，求共需修建费用多少万元．
23．如图，在正方形中，，O为对角线的中点，点P在正方形的边上沿A→B→C的路
径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C点时停止．设运动的时间为x，的面积为y，在点P运
动的过程中，y随x的变化而变化．小林同学根据学习函数的经验对y与x的变化规律进行了探究，下面是
小林的探究过程，请你补充完整并利用所得结论解决问题．
（1）直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质；
（4）当x＝ s时，的面积为．
24．大勇同学把借来的一辆自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方A处与坐垫下方B处平行于地面水平线，测得，，与的夹角分别为与．
（1）求点C到的距离（结果保留一位小数）；
（2）若点C到地面的距离为30cm，坐垫中轴E与点B的距离为6cm．根据大勇同学身高比例，坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出大勇同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，）
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），
与y轴负半轴交于点C，且，直线经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接
，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点D在直线下方时，连接交于点E，求的最大值及此时点D的坐标；
（3）是否存在点D，使？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，在等腰直角中，，，D为边上一点，连接，
于E点．
（1）如图1，过B作交的延长线于点F．若，，求的长度；
（2）如图2，将绕A点逆时针旋转到，连接交于点H，猜想和之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，将沿着翻折得到，连接，当线段取得最大值，请直接写出的值．
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数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：初中全部知识。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
1．下列实数中，是无理数的是（ ）
A．0 B．3.14 C． D．
【答案】D
【解析】解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．3.14是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
2．以下四家银行的标志图中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：A．是轴对称图形，故错误；
B．不是轴对称图形，故正确；
C．是轴对称图形，故错误；
D．是轴对称图形，故错误．
故选：B．
3．下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：A．，原选项计算错误，不符合题意；
B．，原科学记数法表示错误，故此选项不符合题意；
C．，原选项计算错误，不符合题意；
D．，计算正确，符合题意，
故选：D．
4．如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵与位似，
∴，，
∵与的周长之比是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5．估算的值应在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【答案】A
【解析】解：，
∵，
∴，
∴，
∴估算的值应在2到3之间，
故选：A．
6．如图，有一面积为600m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长35m），另三边用竹篱笆围成，其中一
边开有1m的门，竹篱笆的总长为69m．设鸡场垂直于墙的一边为x m，则列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵竹篱笆的总长为69m，鸡场垂直于墙的一边为x m，
∴鸡场平行于墙的一边为m．
根据题意得：．
故选：A．
7．如所示图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第1个图形有6颗棋子，第2个图形一共有
10颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，第4个图形一共有24颗棋子，…，则第7个图形中棋子的颗数
为（ ）
A．41 B．45 C．50 D．60
【答案】D
【解析】解：设第n个图形中有颗棋子（n为正整数），
观察图形，可知：，，，.....，
∴（n为正整数），
∴．
故选：D．
8．如图，是的直径，点C、D是上的点，，连接，若，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，设与交于点E，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选：B．
9．如图，在边长为的正方形中，点M为线段上一点，且，点P是对角线
上一动点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】A
【解析】解：如图，连接、、，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
当B、P、M三点共线，即点P与重合时，为最小值，
在中，，
故选：A．
10．已知，（n为正整数），下列说法：
①；
②；
③；
④若，则y的最小值为3．
其中正确选项的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】解：①左边＝＝右边，
故①是正确的；
②∵，，
∴，
∴左边＝，
故②是错误的；
③∵，
∴，
故③错误；
④∵，
∴y有最大值为，没有最小值，
故④错误．
故选：B．
填空题：本题共8小题，共32分。
11．计算：＝ ．
【答案】1
【解析】解：．
故答案为：1．
12．质地均匀的骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．同时抛掷这样的两枚骰子，落地后朝上
的两个面上的数字之和为4的倍数的概率为 ．
【答案】
【解析】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有36种情况，其中两次数字之和为4的倍数的有9种，
∴，
故答案为：．
13．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，则这个多边形的边数是 ．
【答案】7
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得．
故答案为：7．
14．如图，函数的图象经过矩形的边的中点E，交于点D，若四边形
的面积为6，则k的值为 ．
【答案】4
【解析】解：∵函数的图象经过矩形的边的中点E，
∴点D是的中点，
∴，
∴或（舍去），
故答案为：4．
15．如图，在菱形中，，，以A为圆心，为半径画弧，交于点F，
过点F作交于点E，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】解：过E作于H，
(
H
)
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵以A为圆心，为半径画弧，交于点F，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
16．如图，在正方形中，点M是上的一点．过点D作，交的延长线于点N．连
接，点E是的中点，连接．若，，则线段的长为 ．
【答案】
【解析】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，点E是的中点，
∴，
故答案为：．
17．若关于y的不等式组有且仅有三个非负整数解，且关于x的分式方程
有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为 ．
【答案】0
【解析】解：关于x的不等式组的解集为：，
∵关于x的不等式组有且仅有三个非负整数解，
∴，
∴，
关于x的分式方程的解为：，
∵分式方程有可能产生增根1，
∴，
∴，
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴，且，
∴且，
∴，
∵为非负整数，
∴，
∴满足条件的所有整数a的和为0．
故答案为：0．
18．一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数m，那么我们
把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差．例如：将27
交换位置后为72，则2772是一个“顺利数”，且，若四位正整数n，n的千
位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a，b，c，d为整数，，且
，以n的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数”s，
若，则的值为 ；满足条件的所有数n的最大值为 ．
【答案】9，5438
【解析】解：由题意知，
，
整理得，，
即，
又，得，
得或，
当时，，此时，即，不符合题意，舍去；
∴，
由，得；
，且，得，
分类讨论：
根据a为千位数字，，可知b越小，a越大，n越大，
当时，不符合题意；当时，不符合题意；
当时，不能分成，不符合题意；
当时，，解得，不符合题意；
当时，，，解得，，符合题意；
则当n为5438时，是满足条件的最大值．
三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：第19题8分，其余每题各10分。
19．计算：
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）；
（2）
．
20．如图，在钝角中，．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，与边、分别交于点D、E（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，过点B作交的延长线于点H，连接，求证．
请补完图形，并完成下列证明过程：
证明：
∵是的垂直平分线，
∴＝ ，，
在与中
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴（ ）（填写文字依据）
∴ ．
∴．
【答案】（1）作图见解析；（2），同位角相等，两直线平行，．
【解析】（1）解：如图，为所作；
（2）证明：
∵是的垂直平分线，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴．
∴．
21．时隔三年，重庆马拉松正式回归．在3月19日，来自20个国家和地区347个城市的3万名参赛者汇
聚南滨路．马拉松全程42.195公里，为了解甲乙两个马拉松俱乐部参赛者比赛用时情况．现从甲、乙两个
俱乐部各随机抽取20名参赛者，记录比赛成绩（单位：小时），并进行整理、描述和分析（比赛成绩用t
表示，共分为四个等级：A．2＜t＜3，B．3≤t＜4，C．4≤t＜5，D．t≥5）
下面给出了部分信息：
甲俱乐部20名参赛者的比赛成绩中B等级包含的所有数据为：3.2，3.4，3.4，3.5，3.5，3.5，3.6，3.6，3.7，3.8，3.9，3.9．
乙俱乐部20名参赛者的比赛成绩：2.6，3.1，3.2，3.2，3.4，3.4，3.5，3.5，3.6，3.8，3.8，3.8，3.8，4.1，4.3，4.4，4.7，4.8，4.8，5.2．
甲、乙俱乐部抽取的全马参赛者比赛成绩统计表
俱乐部 平均数 中位数 众数 方差
甲 3.85 a 3.5 0.67
乙 3.85 3.8 b 0.45
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请将下图表示甲俱乐部比赛情况的条形统计图补充完整；并直接写出a＝ ，b＝ ．
（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个俱乐部中哪个俱乐部参赛者比赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在本次马拉松比赛中，甲、乙两个俱乐部各有200人参加全马比赛，请估计两个俱乐部比赛成绩“破4”（t＜4）的总人数．
【答案】（1）补全统计图见解析，3.65，3.8；（2）见解析；（3）270人．
【解析】解：（1），
补全统计图如下：
甲俱乐部抽取的成绩中B等级的第8名和第9名分别为：3.6和3.7，
∴甲俱乐部抽取的成绩的中位数，
乙俱乐部抽取的成绩中最多的是3.8，
∴乙俱乐部抽取的成绩的众数为；
故答案为：3.65，3.8；
（2）我认为甲俱乐部参赛者的比赛成绩更好；
因为甲俱乐部参赛者的比赛成绩的中位数3.65小时小于乙俱乐部参赛者的比赛成绩的中位数3.8小时；
（3）（人），
答：估计两个俱乐部比赛成绩“破4”的总人数有270人．
22．为保障水果种植基地用水，简要修建灌溉水渠．计划修建灌溉水渠1650米，由甲、乙两个施工队合作
完成．乙施工队每天比甲施工队每天多修建30米，甲施工队单独完成修建任务所需天数是乙施工队单独完
成修建任务所需天数的．
（1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米；
（2）已知甲施工队每天的修建费用为9万元，乙施工队每天的修建费用为12万元，若先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好14天完成修建任务，求共需修建费用多少万元．
【答案】（1）甲施工队每天修建60米，乙施工队每天修建90米；（2）234万元．
【解析】解：（1）设甲施工队每天修建x米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
（米），
答：甲施工队每天修建60米，乙施工队每天修建90米；
（2）设先由甲施工队单独修建m天，
根据题意，得，
解得，
∴总费用为（万元），
答：共需修建费用234万元．
23．如图，在正方形中，，O为对角线的中点，点P在正方形的边上沿A→B→C的路
径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C点时停止．设运动的时间为x，的面积为y，在点P运
动的过程中，y随x的变化而变化．小林同学根据学习函数的经验对y与x的变化规律进行了探究，下面是
小林的探究过程，请你补充完整并利用所得结论解决问题．
（1）直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质；
（4）当x＝ s时，的面积为．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或．
【解析】（1）解：（1）当点P在上时，时，
∵四边形是正方形，O为对角线的中点，，
∴是等腰直角三角形，
∴点O到和到的距离都为2，
∴，
当点P在上时，时，
由题意得，，
∴，，
∴．
综上所述，y与x的函数关系式为；
（2）如图，
（3）由函数图象可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
（4）当点P在上时，
∵的面积为，
∴，
∴；
当点P在上时，
∵的面积为，
∴，
∴．
综上，或．
故答案为：或．
24．大勇同学把借来的一辆自行车放在水平的地面上，如图，车把头下方A处与坐垫下方B处平行于地面水平线，测得，，与的夹角分别为与．
（1）求点C到的距离（结果保留一位小数）；
（2）若点C到地面的距离为30cm，坐垫中轴E与点B的距离为6cm．根据大勇同学身高比例，坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适．请你通过计算判断出大勇同学骑乘该自行车是否能达到最佳舒适度．（参考数据：，）
【答案】（1）38.1cm；（2）能，理由见解析．
【解析】解：（1）过点C作，垂足为M，
设，
在中，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
经检验：是原方程的根，
∴，
∴点C到的距离为38.1cm；
（2）过点E作，垂足为N，
由题意得：
，
在中，，
∴，
∴坐垫E到地面的距离为：，
∵坐垫E到地面的距离为73cm至74cm之间时，骑乘该自行车最舒适，
∴大勇同学骑乘该自行车能达到最佳舒适度．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），
与y轴负半轴交于点C，且，直线经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接
，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点D在直线下方时，连接交于点E，求的最大值及此时点D的坐标；
（3）是否存在点D，使？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的最大值为，；（3）或．
【解析】解：（1）∵，则点，
将点C的坐标代入一次函数表达式得：，
则一次函数表达式为：，
则点，
则，解得：，
则抛物线的表达式为：①；
（2）由抛物线的表达式知，点，
设直线交y轴于点N，设点，
由点B、D的坐标得，直线的表达式为：，
则点，则，
过点D作轴交于点H，
则点，
则
，
∵，则有最大值，
当时，的最大值为，
此时点；
（3）存在，理由：
当点D在下方时，
由点A、C的坐标知，，
由知，
∴，即，
∴，
则直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：（舍去）或，
则点；
当点D在的上方时，
同理可得：直线的表达式为：③，
联立①③得：，
解得：，
即点；
综上，点D的坐标为：或．
26．如图，在等腰直角中，，，D为边上一点，连接，
于E点．
（1）如图1，过B作交的延长线于点F．若，，求的长度；
（2）如图2，将绕A点逆时针旋转到，连接交于点H，猜想和之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在第（2）问的条件下，将沿着翻折得到，连接，当线段取得最大值，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）．
【解析】解：∵，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴；
（2），证明如下：
过点B作交的延长线于点M，则，
在和中，
，
∴，
∴，，
由旋转可知，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图3，设，取的中点为Q，连接、，过点B作交的延长线于点M，过点A作交于点N，则 ，
由（2）得，，
∴，
∴，
由翻折可知，，
∴点P在以为直径的圆上，，
∴当经过的中点O时，最大，此时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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