安徽省合肥市包河区智育联盟2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

九年级数学核心素养评价
满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，中，点分别在上，．若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，点是圆上两点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
6．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放人工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ）
A． B． C． D．
7．定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．下表记录了该同学将篮球投出后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ）
（单位：） 0 2 4
（单位：） 2．25 3．45 3.05
A． B． C． D．
8．若实数满足，且，则与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
9．为的直径的延长线上一点，为上一点，分别连接平分，交于，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若切于点，则
10．当时，函数的值记为，已知函数，若，且，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．汽车在坡度的斜坡上沿坡面爬行了米，则汽车上升了______米．
12．如果，那么______．
13．如图，平面直角坐标系中，的边在轴的正半轴，在第一象限内，反比例函数的图象经过点和边的中点，点到轴的距离为2，则平行四边形的面积为______．
14．在中，是边上一点，与交于点．
（1）如图1，若于，则的值为______．
（2）如图2，若，已知．则的长为______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．已知二次函数．
（1）将二次函数化成的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出的大致图象，并根据图象直接写出时，的取值范围．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
（1）以为旋转中心，将顺时针旋转得到，并写出点的坐标
（2）以为位似中心，在第一象限内作出的位似，且与的位似比为．
18．周末，数学探究小组利用无人机在合肥园博园开展测量信标塔高度的活动，此时无人机在高出地面80米的点处，操控者站在点处，无人机测得点的俯角为．测得信标塔顶点处的俯角为，操控者和信标塔的距离为102米，求信标塔的高度（结果保留整数，参考数据：）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知：菱形中，为中点，交于，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20．悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式；
（2）距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米
六、（本题满分12分）
21．如图，是的直径，点是圆上一点，点是半圆的中点，连接交于点，过点作的切线交延长线于．
（1）求证：；
（2）若，求半径的长．
七、（本题满分12分）
22．已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点．
（1）求该函数的解析式．
（2）平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和函数图象交于点和点，求线段长的最大值．
八、（本题满分14分）
23．如图1，中，于点在边上，交于，过点作于点．
（1）求证：；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）连接，若，求的值．
智育联盟2023—2024年度第一学期期末
九年级数学 参考答案和评分标准
1----5: BADAD 6----10:BCDCB
8.提示：a、c异号，当时，∴，故C错误；当时，，故选D.
10.解析：由抛物线对称轴可知 ∴
11. 20 12. 13. 36 14.（1） （2）
13.【解析】∵点D的纵坐标为2，故 ∴点D的坐标为（12,2）
∵点D为AB中点，∴点C的纵坐标为4，∴ ∴C（6,4）
∴ ∴
14.（1）解：作EI⊥CD于I，∵AB=AC ∴∠B=∠C
∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B，
∵∠ADE=∠B，∴∠ADE=∠EDC=∠C，
∴ED=EC，
∵DE平分∠ADC，∴DF=DI，
∵CD=2DI，∴；
（2）作AM⊥BC于M，GH⊥CD于H，AN⊥GH，交HG的延长线于N，
易得四边形AMHN是矩形，△AGN∽△ADM，
△ADG∽△MBA，∴，
∴，
∴，
∴CD=7，BD=16-7=9.
15.原式 ＝ ……………………6分
＝ ……………………8分
16.(1) ……………………3分
（2）图象略 ……………………6分
……………………8分
17.（1）如图；（-1，3） ……………………4分
（2）如图. ……………………8分
18.解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得AB＝102，DE＝80，∠DAB＝53°，∠DCF＝25°，
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝tan53°＝，∴（米）
∴（米） ……………………4分
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，∴四边形BCFE为矩形，
∴（米）
在Rt△DFC中，∠DCF＝25°，
∴（米）
∴BC=DE-DF=80-19.7=60.3≈60（米）
∴信标塔BC的高度为约为60米. ……………………8分
19.证明：（1）∵菱形ABCD ∴AB∥CD AD∥BC
∵∠ADB=∠BCE ∴∠FBC=∠FCB ∴FB=FC ∵AB∥CD ∴△BEF∽△DCF
∴ ∴E为AB中点 ∴ ∴FC=2EF ∴FB=2EF ………………4分
（2）设BE=1，EF=x，则BF=FC=2x,EC=3x
∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠BCE ∵∠BEF=∠BEF ∴△BEF∽△CEB
∴ ∴ ∴ ∴ . ……………………10分
20.解：设抛物线的表达式为
由题意可知，C点坐标为（16，0），P点坐标为（0，-8）
将C（16，0），P（0，-8）代入，得
解得.
∴主索抛物线的表达式为 ……………………4分
（2）x=4时，，此时吊索的长度为m
由抛物线的对称性可得，x=-4时，此时吊索的长度也为m.
同理，x=8时，，此时吊索的长度为m
x=-8时，此时吊索的长度也为4m.
∴四根吊索的总长度为13m. ……………………10分
21.（1）证明：连接OC、OD.
∵点D是半圆的中点，∴∠AOD=∠BOD=90° ∴∠D+∠OED=90°.
∵OD=OC，∴∠D=∠OCD.
又∵FC是⊙O的切线 ∴∠OCF=90° 即∠OCD+∠FCE=90°
∴∠FCE=∠OED.
∵∠FEC=∠OED，∴∠FCE=∠FEC. ∴CF=EF. ……………………6分
（2）∵tanA＝，∴在Rt△ABC中，＝.
∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A.
∵△ACF∽△CBF，∴.
∴AF＝10. ∴CF2＝BF·AF.
∴BF＝. ∴AO＝＝. ……………………12分
22.解：（1）∵二次函数的图象经过点（，0）和点（，），
∴，解得，
∴该函数的解析式为； ……………………4分
（2）平移抛物线，其顶点始终在二次函数上，
∴设顶点坐标为（h，），故平移后的解析式为，
∴，
∵直线分别与抛物线和函数图象G交于点P和点Q，
∴（），
∵， ∴当时，PQ长的最大值为． ……………………12分
23.解：（1）∵CE=CB ∴∠CEB=∠CBE
∵∠ADB=90°，AD=BD ∴∠A=∠ABD=45°
又∴∠ACE=∠CEB-∠A ∠DBC=∠CBE-∠ABD
∴ ∠ACE=∠DBC ∴△CGE≌△BDC
∴GE=DC. ……………………4分
（2）由（1）知△CGE≌△BDC
∴GC=BD=2DF=4
设CD=GE=x ∵GE//BD
∵ ∴ 解得
在Rt△DCB中，， BD=AD=4，∴. ……………………8分
（3）∵DE//BC ∴∠DEA=∠CBA=∠CEB
∴△DAE∽△FBE ∴ ∴BF=CD
∵∠ACE=∠DBC ∴△DCF∽△DBC
∴
设DB=DA=1， BF=CD=x
∴ 解得
∴. ……………………14分