平果市2023-2024学年高二下学期开学考试预测数学试题
考试范围：选择性必修一和选择性必修二第四章
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在数列中，已知，且，则等于（ ）
A．2 B． C． D．29
2．已知两个向量，若，则m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．若方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知等比数列的前项和为，且满足，则公比=（ ）
A． B． C．2 D．
5．下列关于双曲线：的判断，正确的是
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．实轴长为12 D．顶点坐标为
6．已知 ，直线 ，若l与⊙O相离，则（ ）
A．点 在l上 B．点在上
C．点在 内 D．点在外
7．已知直线与垂直，则的值是
A．或 B． C． D．或
8．已知F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为，则周长的最小值是（ ）
A． B． C．9 D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设为数列的前项和，且，若数列满足：，且，则以下说法正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是递增数列
C． D．
10．已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则P，A，B，C四点共面
11．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成的角可能是 B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得的截面可能是等腰梯形
12．伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为，离心率为，是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，则下列选项正确的有（ ）
A．椭圆C的标准方程可以为 B．的周长为10
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知数列是等比数列，且，，则 ．
14．已知直线与直线，则与之间的距离为 .
15．已知双曲线的左 右焦点分别为，，点A在双曲线C上，，直线与双曲线C交于另一点B，，则双曲线C的离心率为 .
16．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）． 已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线的焦点到顶点的距离为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知圆．
(1)求直线被圆截得弦长；
(2)已知为圆C上一点，求与圆C外切于点A，且半径为6的圆的方程．
18．（12分）已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；(2)若______，求数列的前n项和.
在①，②，③
这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（12分）已知曲线C是到两个定点，的距离之比等于常数的点组成的集合．
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
20．（12分）四棱锥底面为平行四边形，且，，，平面，．
(1)点在棱上，且，求证：平面；
(2)若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
21．（12分）已知数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
22．（12分）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
(1)求的方程；
(2)过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程.参考答案及评分细则
1．C
【详解】，
∴，，.故选：C．
2．B
【详解】因为， ，
所以，即，解得：.故选：B.
3．A
【详解】由题意，解得，故选：A.
4．D
【详解】依题意，等比数列的公比，否则，与矛盾，
于是得：，即，解得，所以.
故选：D
5．B
【详解】关于双曲线：，，，，
则渐近线方程为；焦点为；实轴，顶点坐标为．
故选B．
6．C
【详解】由已知l与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，
不妨设为的半径，即有，故，由于，则，所以,则点在内，故选：C．
7．C
【详解】由题意得 ，选C.
8．B
【详解】
如图：由已知，准线方程，在抛物线内部，
作准线于， 准线于，
所以，由抛物线定义知，当且仅当三点共线时取最小值，故周长的最小值是.故选：B
9．ACD
【详解】，则当时，，
两式相减得，当时，也适合，故，
则，则，所以数列是等比数列，故A正确；
，，
当时，，即，则数列不是递增数列，故B错误；
，
，
两式相减可得，
所以，故C正确；
，
当时，，则,
当时，，则，
当时，，则，综上可得，故D正确.
故选：ACD.
10．BD
【详解】因为，
所以，
所以，A错误；
，B正确；
，所以不垂直，C错误；
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以共面，所以P，A，B，C四点共面，D正确；故选：BD.
11．BCD
【详解】对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
，设
当时，；
当时，，
,∴,
,
∴直线D1P与AC所成的角为，
故A错误；
对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，
∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP，
∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正确；
对于C，，P到平面CDD1的距离BC＝1，
∴三棱锥D1﹣CDP的体积：
为定值，故C正确；
对于D，当AP延长线交BB1的中点E时，设平面与直线B1C1交于点F,
因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1, 平面∩平面ADD1A1=AD1, 平面∩平面BCC1B1=EF,所以EF∥AD1,∴F为B1C1的中点，∴截面AD1FE为等腰梯形的截面，故D正确；
故选：BCD．
12．ACD
【详解】A：由题意得，，则，
又，所以.
当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为，故A正确；
B：由椭圆的定义知，的周长为，故B错误；
C：由椭圆的定义知，，
所以，当且仅当时等号成立，故C正确；
D：在中，由余弦定理，
得，
当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ACD.
13．
【详解】根据等比数列的性质若，则，有，，
所以化为，即，
又因为，所以.故答案为：
14．/
【详解】因为可化为，
又，显然，所以与之间的距离为.故答案为：.
15．
【详解】由于 ，不妨设点A的坐标为，
点B的坐标为，有，解得，
又由，，有，
解得，，
将点B的坐标代入双曲线方程，有，
， 解得，双曲线C的离心率为 =；故答案为： .
16．/0.9
【详解】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上，
设抛物线方程为，代入，
所以，解得，所以抛物线方程为，
则该抛物线的焦点到顶点的距离为．故答案为 ：0.9
17．
【详解】（1）的圆心为，半径， 2分
圆心到直线的距离为， 3分
故弦长为， 5分
（2）由题意可知在直线上，由于，,
所以直线方程为， 6分
设，则， 7分
化简可得，解得或， 8分
由于两圆外切，且点为切点，所以不符合，舍去， 9分
故，圆心为则圆的方程为 10分
18．
【详解】（1）设等比数列的公比为，因为，所以， 1分
则， 2分 解得， 3分
所以数列的通项公式. 5分
（2）若选①，
则， 7分
所以. 12分
若选②，
则，7分
所以. 12分
若选③，
则 6分
所以， 7分
则， 8分
两式相减，得 11分
则. 12分
19．
【详解】（1）设点，由题意可知， 1分
则有， 2分 整理得， 3分
故曲线C的方程为. 4分
（2）
设直线l方程为，点，， 5分
联立，得， 6分
所以， 7分
因此 9分
若，即时，，所以定值为， 10分
当斜率不存在时，直线l为，
联立可求得，，
所以，符合题意. 11分
故存在定点，使得为定值. 12分
20．
【详解】（1）作出点，并连接，，，，且交于点，连接，
在平行四边形中，，则， 1分
又因为，所以，则有， 3分
平面，平面， 4分
所以平面． 5分
（2）在中，，，，
则， 6分
有，于是得， 7分
即，，
又平面， 8分
则以点为原点，直线，，分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
则，，，设，，
有，， 9分
因异面直线与所成角的余弦值为，则
，解得， 10分
，，
设平面的法向量，则，
令，得，取平面的法向量， 11分
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 12分
21．
【详解】（1）时，，， 1分
中，时，， 2分
两式相减得：，， 3分
又，所以是等比数列，公比为2， 4分
所以，即． 5分
（2）由（1）得， 6分
，①， 7分
所以，②， 8分
①－②得， 11分
化简得． 12分
22．
【详解】（1）由已知得，离心率， 2分
得， 3分
则的方程为. 4分
（2）由题可知，若面积存在，则斜率不为0， 5分
所以设直线的方程为显然存在， 6分
，
联立消去得， 7分
因为直线过点，所以显然成立，
且， 8分
因为. 9分
， 10分
化简得， 11分
解得或（舍），
所以直线的方程为或. 12分
