2024年重庆市渝中区重点学校保送生数学试卷(含解析)

2024年重庆市渝中区重点中学保送生数学试卷
一、填空题（每题7分，共70分）
1．（7分）有1、2、﹣2三个数，小明分别对这三个数求了绝对值；小亮分别对这三个数求了倒数；小颖分别对这三个数求了﹣2次幂．将小明、小亮、小颖三人求得的数各任意选一个相乘，则乘积恰好为整数的概率为 　 　．
2．（7分）已知，则的值为 　 　．
3．（7分）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．且∠ADE＝30°，AD＝6，则阴影部分的面积为 　 　．
4．（7分）将图1所示的菱形沿两条对角线剪开后重新拼成图2、图3两种图案，其中图2得到的大正方形的面积为5，图3得到的图形的外轮廓的周长为，则图1中sin∠CEB＝　 　．
5．（7分）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有6个整数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 　 　．
6．（7分）若实数p、q，满足，且q＞0，则的值为 　 　．
7．（7分）如图所示，已知锐角△ABC中，，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE位置，恰好使得CE⊥BC于C，且CE＝BC，连接BD，则BD的长为 　 　．
8．（7分）我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[2.4]＝2，{2.4}＝0.4，2.4＝[2.4]+{2.4}；[﹣2.4]＝﹣3，{﹣2.4}＝0.6，﹣2.4＝[﹣2.4]+{﹣2.4}，则下列说法正确的是 　 　（填序号）．
①；
②如，则实数m的取值范围是﹣6≤m＜4；
③若1＜|x|＜2且，则；
④方程5[x]+2＝{x}+4x的实数解有4个．
9．（7分）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“神奇数”，例如：四位数1428，∵14+28＝42，∴1428是“神奇数”；又如四位数3526，因为35+26≠52，∴3526不是“神奇数”．若一个“神奇数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的所有“神奇数”的平均数是 　 　．
10．（7分）如图所示，平面直角坐标中，四边形OABC是矩形，点A在第一象限，点B、C在第二象限，S△OAB＝，将△OAB沿OB翻折至△OA′B，反比例函数恰好经过点B和点A′，连接A′C交x轴于点M，则点M的坐标为 　 　．
二、解答题（11题10分，12、13题每题15分，14、15题每题20分）
11．（10分）近年来，抽盲盒成为当下青少年喜欢的消费方式，小王同学就乐于收集某商家出品的星球大战系列盲盒和精灵天团系列盲盒，十月份他在线下实体店购买了若干盒星球大战盲盒和精灵天团盲盒，分别花费260元和375元，若星球大战的单价比精灵天团的单价少10元，精灵天团的数量比星球大战的数量多1个．
（1）十月份，小王购买的星球大战和精灵天团的盲盒单价分别为多少元？
（2）十一月份，商家在“双十一”开启了打折促销活动．其中星球大战的单价下降了5元，精灵天团的单价下降了m%．小王为了抽取隐藏款，果断增加了购买量，星球大战购买数量在十月份基础上增加了5m%，精灵天团购买数量在十月份的基础上增加了4m%，结果这次购物的金额比十月份增加了208元，求m的值．
12．（15分）如图1，四边形ABCD是边长为4的正方形，两对角线交点为O，有两个动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿AB边从A向点B运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线A→D→C方向运动，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，△DOF的面积为y1，△BEF的面积为y2（y1≠0，y2≠0）．
（1）请直接写出y1、y2关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围．
（2）在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数y1的一条性质．
（3）结合函数图象，求出△DOF和△BEF面积相等时的t的值．
13．（15分）如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为2.4m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（1）浮出水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？
（2）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M，已知MO＝8m，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽MN中（即点P恰好在直线MN上）？
（参考数据sin37.5°≈0.6，cos37.5°≈0.8，sin17°＝cos73°≈0.3）
14．（20分）平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣均为常数）与y轴相交于点A，与x轴相交于B（﹣3、两点，连接AB，过点C作CD∥AB交抛物线于点D．
（1）求出该抛物线的函数表达式及点D的坐标；
（2）如图1，已知点G是线段AB上方抛物线上一点，过点G作GP∥y轴交CD于P，在线段AC和线段CD上分别有两个动点K、L，且满足KL＝2，M是KL的中点，当GP+DP取得最大值时，在线段AB上是否存在一点R，使得RP+RM的值最小？若存在，请求出P点的坐标以及RP+RM的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，E是线段BO上一定点，且满足OE：OB＝4：9，连接AE，将线段AE沿y轴向下平移6个单位至HF，连接EF，T是线段EF上一动点，点A、H同时绕点T逆时针旋转90°，应对点分别是A′、H′．在旋转过程中，当△EA′H′是直角三角形时，请直接写出此时A′的坐标．
2024年重庆市渝中区重点中学保送生数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每题7分，共70分）
1．【分析】先根据绝对值的意义、倒数的定义和负整数指数幂的意义计算出小明、小亮、小颖所得到的数，再画树状图展示所有27种等可能的结果，接着找出乘积恰好为整数的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：|1|＝1，|2|＝2，|﹣2|＝2，
1、2、﹣2的倒数分别为1、、﹣，
1﹣2＝1，2﹣2＝，（﹣2）﹣2＝，
画树状图为：
共有27种等可能的结果，其中乘积恰好为整数的结果数为7，
所以乘积恰好为整数的概率＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
2．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a2﹣1＝a代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝[﹣（a+2）] ﹣
＝ ﹣
＝ ﹣
＝ ﹣
＝﹣
＝
＝，
∵a﹣＝1，
∴a2﹣1＝a，
当a2﹣1＝a时，原式＝＝＝＝＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．【分析】连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）解：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（SAS），
∴∠ACB＝∠ADE＝30°，BC＝AD＝6
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝3，
∵AB＝AE＝3，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝CE，
∴CE＝BE，
∴S△ABC＝AB AC＝＝，
∴S△ACE＝S△ABC＝，
∵∠CAE＝30°，AE＝3，
∴S扇形AEF＝＝π，
∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝﹣π．
故答案为：﹣π．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
4．【分析】根据菱形的性质，勾股定理，结合勾股定理去解直角三角形即可．
【解答】解：
由题意可知：图2得到的大正方形的面积为5，
所以每一个直角三角形的斜边长为，
在图3中，图形的外轮廓的周长为，
∴BE＝AH＝CF＝DG＝1，
设OH＝x，则OD＝OA＝x+1，
在Rt△DOH中，由勾股定理可得：
，
解得：x1＝1，x2＝﹣2（舍去），
∴在图一中，过点C作CH⊥BE，
CD＝1，ED＝2，
∵四边形ABEC是菱形，
∴菱形的面积＝CB×EA＝BE×CH＝4，
即：×2×4＝×CH，
解得：CH＝，
在Rt△CEH中，sin∠CEH＝＝，
故答案为：，
【点评】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，熟练掌握相关的性质是解答本题的关键．
5．【分析】根据关于x的一元一次不等式组的解的情况求出m的取值范围，根据关于y的方程的解的情况求出m的取值范围，然后求出满足条件的m的值，即可得出答案．
【解答】解：解关于x的一元一次不等式组，得，
根据题意得，﹣6＜m﹣1＜1，
∴﹣5＜m＜2，
解关于y的分式方程，得y＝，
∵分式方程的解为整数，﹣5＜m＜2且≠1，
∴满足条件的整数m的值为﹣4，﹣2，
∴所有满足条件的整数m的值之和是﹣4﹣2＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查一元一次不等式组和分式方程，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问题的前提．
6．【分析】由已知和﹣q是一元二次方程x2+x＝8的两根，再根据一元二次方程根与系数的关系求出和的值，再利用完全平方公式的变式即可解决问题．
【解答】解：∵若实数p、q，满足，
∴和﹣q是一元二次方程x2+x＝8，即x2+x﹣8＝0，的两根，
∴＝﹣1，＝﹣8即，
∴＝1+32＝33，
∵q＞0，
∴＞0，
∴＝，
【点评】本题考查一元二次方程根的定义，根与系数的关系，完全平方公式及其变式，灵活运用一元二次方程根的定义和根的判别式是解题的关键．
7．【分析】过点A作AG⊥BC，AF⊥CE，根据旋转的性质得出AE＝AC，再根据等腰三角形的性质和矩形的性质求出BG，AF，再证明△ABD∽△ACE，利用相似比即可解答．
【解答】解：过点A作AG⊥BC，AF⊥CE，如图：
∵根据旋转的性质可得AE＝AC，
∴CF＝EF＝3，
∵CE⊥BC，
∴四边形AFCG是矩形，
∴AG＝3，
根据勾股定理BG＝＝1，
∴AF＝CG＝5，
在Rt△ACG中，AC＝＝，
∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，
∴，
∴△ABD∽△ACE，
∴，即，
∴BD＝．
【点评】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
8．【分析】由2＜＜3，推出1﹣的范围，可判断①；由[m+1]＝﹣2知﹣2≤m+1＜﹣1，解这个不等式组，可判断②；分两种情况：当x＜0时，﹣2＜x＜﹣1，当x＞0时，1＜x＜2，分别求出x的值，可判断③；由题意推出5{x}＝[x]+2，再由不等式的性质推出﹣2≤[x]＜3，则[x]的值为﹣2或﹣1或0或1或2，进一步求出x的值，可判断④．
【解答】解：①∵2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∴﹣2＜1﹣＜﹣1，
∴[1﹣]＝﹣2，
因此①是正确的；
②∵，
∴﹣2≤m+1＜﹣1，
解得﹣6≤m＜﹣4，
因此②是错误的；
③∵1＜|x|＜2，
∴当x＜0时，﹣2＜x＜﹣1，
∴[x]＝﹣2，
∵{x}＝，
∴x＝[x]+{x}＝﹣2+﹣1＝﹣3+，
∴当x＞0时，1＜x＜2，
∴[x]＝1，
∵{x}＝，
∴x＝[x]+{x}＝1+﹣1＝，
综上，x的值为﹣3+或，
因此③是错误的；
④∵x＝[x]+{x}，5[x]+2＝{x}+4x，
∴5[x]+2＝{x}+4[x]+4{x}，
∴5{x}＝[x]+2，
∵0≤{x}＜1，
∴0≤5{x}＜5，
∴0≤[x]+2＜5，
∴﹣2≤[x]＜3，则[x]的值为﹣2或﹣1或0或1或2，
当[x]＝﹣2时，5{x}＝﹣2+2＝0，
∴{x}＝0，
∴x＝[x]+{x}＝﹣2+0＝﹣2；
当[x]＝﹣1时，5{x}＝﹣1+2＝1，
∴{x}＝0.2，
∴x＝[x]+{x}＝﹣1+0.2＝﹣0.8；
当[x]＝0时，5{x}＝0+2＝2，
∴{x}＝0.4，
∴x＝[x]+{x}＝0+0.4＝0.4；
当[x]＝1时，5{x}＝1+2＝3，
∴{x}＝0.6，
∴x＝[x]+{x}＝1+0.6＝1.6；
当[x]＝2时，5{x}＝2+2＝4，
∴{x}＝0.8，
∴x＝[x]+{x}＝2+0.8＝2.8，
综上，方程5[x]+2＝{x}+4x的实数解有﹣2，﹣0.8，0.4，1.6，2.8，共5个，
因此④是错误的．
故答案为：①．
【点评】此题是代数综合题，主要考查与实数有关的新定义问题，涉及的知识点有估算无理数的大小，不等式的性质及解一元一次不等式组等，理解题意并根据题意解答是关键，需要注意分类讨论思想的运用．
9．【分析】根据，可得这个“神奇数”的各个数字之间的第一个关系，进而根据与的和能被9整除可得“神奇数”各个数字的另一个关系，结合各个数位上数字的特点和两个关系式，可判断出这个四位数各个数位上可能的数，也就得到了这些“神奇数”，进而求出这些数的平均数即可．
【解答】解：由题意可得，“神奇数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b，十位上的数字为c，个位上的数字为d．
∴（10a+b）+（10c+d）＝10b+c．
∴10a﹣9b+9c+d＝0，
∴d＝9b﹣10a﹣9c．
∵＝100a+10b+c，＝100b+10c+d．
∴+＝（100a+10b+c）+（100b+10c+d）
＝100a+110b+11c+d
＝100a+110b+11c+9b﹣10a﹣9c
＝90a+119b+2c．
∵与的和能被9整除，
∴＝＝30a+13b+．
∴b+c是9的倍数，
∴b+c＝9．
∵d＝9b﹣10a﹣9c＝9（b﹣c）﹣10a，a，b，c，d均为1到9之间的数，
∴b＝8时，c＝1，a＝6，d＝3；
b＝7时，c＝2，a＝4，d＝5；
b＝6时，c＝3，a＝2，d＝7．
∴这些“神奇数”为：6813，4725，2637．
∴这些“神奇数”的平均数为：＝4725．
故答案为：4725．
【点评】本题考查新定义的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．注意要综合利用所给条件进行推理．
10．【分析】过点A'作A'D⊥x轴于D，A'G⊥OB于G，过点B作BE⊥x轴于E，BF⊥DA'交DA'的延长线于F，过C作CH⊥OB于H，根据矩形及翻折的性质得∠BA'O＝90°，S△OA'B＝S△OAB＝S△OBC＝，再根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBE＝S△OA'D＝，由此可得S△OA'B＝S△OBE+S梯形A'BED﹣S△OA'D＝S梯形A'BED＝，设A'，B，其中a＜b＜0，则，OD＝﹣a，BE＝﹣12√2/b，OE＝b，DE＝OD﹣OE＝b﹣a，则S梯形A'BED＝（A'D+BE） DE＝，整理得2a2﹣2b2+3ab＝0，即（2a+b）（a﹣2b）＝0，据此可得a＝2b，则点A'，设直线OB的表达式为y＝mx，将B代入y＝mx，得，直线OB的表达式为，再证四边形A'CHG为矩形得A'C∥OB，可设直线A'C的表达式为，将点A'代入，得，则直线A'C的表达式为，进而得点，证△A'OD和△BA'F相似得BF：A'D＝A'F：OD，根据A'，B得BF＝﹣b，，，OD＝a＝﹣2b，则由此解出b即可得点M的坐标．
【解答】解：过点A'作A'D⊥x轴于D，A'G⊥OB于G，过点B作BE⊥x轴于E，BF⊥DA'交DA'的延长线于F，过C作CH⊥OB于H，如图所示：
∵四边形OABC为矩形，且S△OAB＝，
∴S△OBC＝S△OAB＝，
∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B，
∴S△OA'B＝S△OAB＝，∠BA'O＝90°，
∴S△OA'B＝S△OAB＝S△OBC＝，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBE＝S△OA'D＝，
∵A'D⊥x轴，BE⊥x轴，
∴四边形A'BED为梯形，
∵S△OA'B＝S△OBE+S梯形A'BED﹣S△OA'D＝S梯形A'BED＝，
设A'，B，其中a＜b＜0，
则，OD＝﹣a，BE＝﹣12√2/b，OE＝b，DE＝OD﹣OE＝b﹣a，
∴S梯形A'BED＝（A'D+BE） DE＝，
∴，
整理得：2a2﹣2b2+3ab＝0，
即（2a+b）（a﹣2b）＝0，
∵a＜b＜0，
∴2a+b＜0，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b，
∴点A'．
设直线OB的表达式为：y＝mx，
将B代入y＝mx，得：，
∴直线OB的表达式为：，
∴S△OA'B＝OB A'G＝，S△OAC＝OB CH＝，
∴OB A'G＝OB CH，
∴A'G＝CH，
又∵A'G⊥OB，CH⊥OB，
∴四边形A'CHG为矩形，
∴A'C∥OB，
设直线A'C的表达式为：y＝tx+n，
则，
∴直线A'C的表达式为：入，
将点A'代入，得：，
∴直线A'C的表达式为：，
对于，当y＝0时，，
∴点M的坐标为，
∵A'D⊥x轴，BF⊥DA'，
∴∠A'DO＝∠BFA'＝90°，∠FBA'+∠FA'B＝90°，
∵∠BA'O＝90°，
∴∠FA'B+∠DA'O＝90°，
∴∠DA'O＝∠FBA'，
∴△A'OD∽△BA'F，
∴BF：A'D＝A'F：OD，
∵A'，B，
∴BF＝﹣b，，，OD＝a＝﹣2b，
∴，
整理得：b4＝36，
∴，（不合题意，舍去），
∴，
∴点M的坐标为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，图形的翻折及其性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的表达式等，理解反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质，图形的翻折及其性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的表达式是解决问题的关键．
二、解答题（11题10分，12、13题每题15分，14、15题每题20分）
11．【分析】（1）设小王购买的星球大战的盲盒单价为x元，则精灵天团的盲盒单价为（x+10）元，根据分别花费260元和375元，精灵天团的数量比星球大战的数量多1个．列出分式方程，解方程即可；
（2）根据这次购物的金额比十月份增加了208元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）设小王购买的星球大战的盲盒单价为x元，则精灵天团的盲盒单价为（x+10）元，
由题意得： +1＝，
解得：x1＝65，x2＝40，
经检验，x1＝65，x2＝40都是原方程的解，但x2＝40不符合题意，舍去，
∴x＝65，
∴x+10＝65+10＝75，
答：小王购买的星球大战的盲盒单价为65元，精灵天团的盲盒单价为75元；
（2）由（1）可知，＝＝4，＝＝5，
由题意得：（65﹣5）×4（1+5m%）+75（1﹣m%）×5（1+4m%）＝260+375+208，
整理得：m2﹣200m+1900＝0，
解得：m1＝10，m2＝190（不合题意，舍去）．
答：m的值为10．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
12．【分析】（1）分两种情况讨论：当点F在AD上时，当点F在DC上时，分别求出三角形的面积；
（2）结合（1）画出函数图象，进而可以写出该函数的性质；
（3）结合函数图象，即可写出△DOF和△BEF面积相等时的t的值．
【解答】解：（1）根据题意可知：当点F在AD上时，AF＝2t，
∴DF＝AD﹣AF＝4﹣2t，
∵四边形ABCD是边长为4的正方形，O是正方形的中心，
∴△DOF的面积为y1＝DF×2＝4﹣2t（0≤t＜2），
∵AE＝t，
∴BE＝4﹣t，
∴△BEF的面积为y2＝（0≤t＜2），
当点F在DC上时，DF＝2t﹣4，
∴△DOF的面积为y1＝DF×2＝×（2t﹣4）×2＝2t﹣4（2≤t≤4），
∵S△BEF＝BE×4＝×（4﹣t）×4＝8﹣2t，
∴y2＝8﹣2t（2≤t≤4）；
综上所述：y1关于t的函数表达式为y1＝，
y2关于t的函数表达式为y2＝；
（2）如图，即为所求函数的图象，
函数y1的一条性质为：0≤t＜2时，y随t的增大而减小，或2≤t≤4时，y随t的增大而增大；
（3）由函数图象可知：当△DOF和△BEF面积相等时，t＝3﹣或3．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，动点问题，函数图象，解决本题的关键是结合图象得到函数的性质．
13．【分析】（1）先根据时间和速度求出∠AOP，进而得出∠POC，最后利用三角函数计算出OD，从而得到水简P距离水面的高度；
（2）先确定当P在直线MN上时，此时P是切点，再利用三角函数得到∠POM＝68°，∠COM＝74°，从而计算出∠POH＝38°，最后再计算出时间即可．
【解答】解：（1）连接OA，OP，过点P作PD⊥OC，垂足为D，如图：
由题意得，筒车每秒转360°÷60＝6°，
盛水简P浮出水面2.5秒后，此时∠AOP＝2.5×6＝15°，
∵cos∠AOC＝＝0.8，
∴∠AOC≈37.5°，
∴∠POC＝∠AOC+∠AOP＝37.5°+15°＝52.5°，
∴∠OPD＝37.5°，
在Rt△POD中，OD＝OP sin37.5°＝3×0.6＝1.8m，
∴2.4﹣1.8＝0.6m，
答：此时盛水简P距离水面的高度0.6m．
（2）如图，因为点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，所以当P在直线MN上时，此时P是切点，
连接OP，所以OP⊥MN，
在Rt△OPM中，cos∠POM＝＝，
∴∠POM＝68°．
在Rt△OCM中，cos∠COM＝＝＝0.3，
∴∠COM＝73°，
∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180﹣68°﹣73°＝39°，
∴需要的时间为＝6.5（秒），
答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线MN上．
【点评】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
14．【分析】（1）由二次函数的交点式得出抛物线的解析式，可推出tan∠BCD＝tan∠ABC＝，从而得出，求得m的值，进一步得出结果；
（2）设G（t，﹣），P（t，），则PD＝2（yP﹣yD）＝2（）＝，从而表示出GP+DP＝﹣t2﹣t+10，进而求得点P坐标，作点P关于AB的对称点P′，PP′交AB于V，作P′W⊥PG于W，可得出∠IP′P＝∠IPP′＝30°，∠BAC＝90°，从而得出P′V＝PV＝AC＝2OC＝2，PP′＝4，进而得出P′（﹣），可推出点M在以C为圆心，1为半径的圆上运动，连接CP′，交AB于R，交⊙C于M，此时BP+RM最小，进一步得出结果；
（3）可求得E（﹣4，0），F（﹣4，﹣6，），H（0，﹣3），点A、H绕点E，F逆时针旋转90°分别至X，Y，及S，T，可求得X（﹣7，4），Y（﹣13，﹣2），S（﹣1，4），T（﹣7，﹣2），从而得出XY的解析式为：y＝x+11，直线ST的解析式为：y＝x+5，可得出当x＝﹣4，y＝1时，∠A′H′E＝﹣90°，进而求得A′点坐标；
设A′（n﹣11，n），H′（n﹣5，n）此时A′H′的中点T（n﹣8，n），当ET＝A′H′＝3时，∠A′EH′＝90°，从而（n﹣8+4）2+n2＝32，求得n的值，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，
y＝﹣，
∴A（0，3），
∴tan∠ABC＝，
∵CD∥AB，
∴tan∠BCD＝tan∠ABC＝，
设点D（m，﹣），
∴，
∴m＝﹣4，
∴y＝﹣＝﹣5，
∴D（﹣4，﹣5）；
（2）如图1，
设G（t，﹣），P（t，），则PD＝2（yP﹣yD）＝2（）＝，
∴GP+DP＝﹣t2﹣t+10，
∴当t＝﹣时，GP+DP最大，
∴，
∴P（﹣），
作点P关于AB的对称点P′，PP′交AB于V，作P′W⊥PG于W，
∴∠IP′P＝∠IPP′＝30°，
∴∠P′IW＝60°，
∵tan∠ACB＝，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴P′V＝PV＝AC＝2OC＝2，
∴PP′＝4，
∴P′W＝PP′＝2，PW＝，
∵﹣，﹣，
∴P′（﹣），
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCP＝60°+30°＝90°，点M是KL的中点，
∴CM＝1，
∴点M在以C为圆心，1为半径的圆上运动，
连接CP′，交AB于R，交⊙C于M，此时BP+RM最小，
∵CP′＝＝，
∴BP+RM的最小值为：；
（3）如图2，
∵OB＝3，OE：OB＝4：9，
∴OE＝4，
∴E（﹣4，0），F（﹣4，﹣6，），H（0，﹣3），
点A、H绕点E，F逆时针旋转90°分别至X，Y，及S，T，
∴X（﹣7，4），Y（﹣13，﹣2），S（﹣1，4），T（﹣7，﹣2），
∴XY的解析式为：y＝x+11，直线ST的解析式为：y＝x+5，
把x＝﹣4代入y＝x+5得，y＝1，此时∠A′H′E＝﹣90°，
当y＝1时，x+11＝1，
∴x＝﹣10，
∴A′1（﹣10，1），
设A′（n﹣11，n），H′（n﹣5，n）此时A′H′的中点T（n﹣8，n），
当ET＝A′H′＝3时，∠A′EH′＝90°，
∴（n﹣8+4）2+n2＝32，
∴n＝，
∴n﹣11＝，
∴A′2（），A′3（，），
综上所述：A′（﹣10，1）或（），（，）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，解直角三角形，求一次函数的解析式，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．