广东省深圳市深圳大学附中2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题(无答案)

2023-2024学年度第二学期
初三年级假期学习素养检测数学试卷
说明：1.全卷分试卷和答题卡，共4页，考试时间90分钟，满分100分。
2.答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡。不得在答题卡其它区域做任何标记。
3.答题卡上的答案必须写在题目指定位置上。（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在试卷上不给分）
4.考试结束，请将答题卡上交。
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
2.矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等
3.某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A. B.1 C.1或 D.0.5
5.如果有点、、在反比例函数的图像上，如果，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.不能确定
6.抛物线与直线交于、两点，若，则直线一定经过（ ）.
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限
7.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ）
A.45° B.60° C.75° D.105°
9.如图中，，，，，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且与相似，则下列结论：①若，BC与OD相交于E，则点E不一定是的重心（三边中线的交点）；②若，则AD的最大值为：③若. ，则OD的长为；④若，则当时，取得最大值.其中正确的为（ ）
A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④
10.如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是，，，对此，小华认为：①当时，；②当时，y有最小值：③点在函数y的图象上，符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或 3 个单位长度经过原点. 其中正确的结论有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11.如果，那么 .
12.现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1，2，3，4，5，6，同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和不小于9的概率是 .
13.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱：每人出7钱，则还差4钱.问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 .
14.如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转到的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A 的运动路径的长为 .
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接CE. 若，的面积是4.5，则k的值为 .
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16.计算：
17.为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A.宜兴竹海，B.宜兴善卷洞，C.阖闾城遗址博物馆，D.锡惠公园，抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票.
（1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是 .
（2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率.
18.教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的，. 黑板上投影图像的高度cm，CB与AB的夹角，求AC的长.（结果精确到1 cm. 参考数据：，，）
19.某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg，经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】
20.课本再现
思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直. 反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程.
图1
已知：在平行四边形ABCD中，对角线，垂足为O.
求证：平行四边形ABCD是菱形.
（2）知识应用：如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，，，.
图2
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OB交CD于点F，若，求的值.
21.定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数.
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①；②，其中， 为函数 y=x-1的轴点函数.（填序号）
【尝试应用】
（2）函数（c为常数，）的图象与x轴交于点A，其轴点函数与x轴的另一交点为点B. 若，求b的值.
【拓展延伸】
（3）如图，函数（t为常数，）的图象与x轴，y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得. 以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE.若函数（t为常数，）的轴点函数的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值.
22.综合与实践
【问题提出】
某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF设点P的运动时间为t，正方形DPEF的面积为S，探究S与t的关系
（1）【初步感知】
如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时， .
②S关于t的函数解析式为 .
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息求S关于t的函数解析式及线段AB的长.
（3）【延伸探究】
若存在3个时刻，，（）对应的正方形DPEF的面积均相等.
① ；
②当时，求正方形DPEF的面积.
图1 图2