4.2对数与对数函数 同步练习（含解析）

4.2对数与对数函数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．若集合，，则的元素个数为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．4
3．若实数x，y满足，，，则（ ）
A．m的最大值为2 B．n的最小值为12
C．m的最大值与n的最小值的和为7 D．m的最大值与n的最小值的积为18
4．若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．为（ ）
A．空集 B．元素个数不超过10的非空集
C．元素个数超过10的有限集 D．无限集
8．某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，其中是原有废气的污染物含量（单位：），是正常数．若在前消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）（ ）
参考数据：，，，
A． B． C． D．
二、多选题
9．若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数若函数有三个零点，且，则（ ）
A． B．
C．函数的增区间为 D．的最小值为
11．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．在声学中，音量被定义为，其中是音量（单位为），是基准声压，为，p是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中对应的听觉下限阈值为对应的听觉下限阈值为，则下列结论正确的是（ ）
A．音量同为20dB的声音，1000～10000Hz的高频比30～100Hz的低频更容易被人们听到
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002Pa
D．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍
三、填空题
13．已知，，，，且，则的最小值为 ．
14．已知函数，则的定义域为 ．
15．已知函数则 .
16．函数，若，则 ；若函数是上的增函数，则的取值范围是 .
四、解答题
17．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
18．已知函数如图所示．

(1)求的解析式；
(2)求的最大值：
(3)将的图象向右平移2个单位长度后得到函数的图象，直接写出不等式的解集．
19．已知函数为奇函数．
(1)求实数的值；
(2)求关于的不等式的解集；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
20．已知函数（且）为奇函数.
(1)求函数的定义域及解析式；
(2)若，函数的最大值比最小值大2，求的值.
21．已知.
(1)当时，时，求的取值范围；
(2)对任意，且，有，求的取值范围；
(3)，的最小值为，求的最大值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据指数函数的单调性得及，根据对数函数单调性可得，据此可判断的三者之间的大小关系.
【详解】，
，故，
而且，故，
故，
故选：B.
2．D
【分析】由定义域求出，结合补集和交集概念求出答案.
【详解】由题意，，则，
故，元素个数为4.
故选：D．
3．C
【分析】利用基本不等式，结合指数函数的性质与对数的运算法则逐个选项分析即可.
【详解】因为，若，则，又，显然不成立，即，
同理可得，即且，
又，即，所以，
当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故A错误；
又，
当且仅当，即，时取等号，即的最小值为，故B错误；
则m的最大值与n的最小值的和为7，故C正确；
m的最大值与n的最小值的积为，故D错误.
故选：C.
4．B
【分析】根据对数的运算，结合换底公式可得，进而可判断.
【详解】由题意，，，．
由于，且，
因此，故，
故选:B．
5．D
【分析】根据分段函数单调性以及对数函数性质列式求解.
【详解】由题意可得：，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
6．D
【分析】根据奇偶性排除AB，根据函数值符号排除C，故可得正确的选项.
【详解】函数的定义域为，
因为，所以函数为奇函数，
图象关于原点对称，排除AB；
当时，，故C错误，D正确.
故选：D.
7．B
【分析】根据集合的概念和性质，以及对数的运算和图象即可判断．
【详解】，
当，当，
如图：

当时，；
当时，，
又，故集合为元素个数不超过10的非空集，
故选：B.
8．B
【分析】根据题意列出方程和不等式即可求解.
【详解】由题有，设小时后污染物含量不超过，
则，解得，即至少经过29小时能达到排放标准.
故选：B.
9．BC
【分析】由排除法和对数的运算性质，对各个选项一一判断可得正确答案．
【详解】当时，时，，不等式不恒成立，
故A错误；
当时，不等式即为，当，，时，
原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故B正确；
当时，不等式即为，当，，时，
原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故C正确；
当时，不等式即为，当时，，，
原不等式不恒成立，故D错误．
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点举例解决不等式恒成立问题，以及对数的运算性质的运用．
10．ABD
【分析】做出的图像可直接判断AC；对于B只需计算与的交点即可；对于D，把所求的式子消元变成的函数，再经过适当的变形运用基本不等式即可.
【详解】如图所示：

对于A：方程有三个解与有3个交点，从图中可以看出A正确；
对于B：令得，即点的坐标为，令得，即点的坐标为，
由图可知的范围应该介于，之间，可以取点，不能取点，所以，故B正确；
对于C：的增区间为，所以的增区间为，故C错误；
对于D：关于对称，所以，
令得或，由图可知
等号当时即时成立，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数方程思想，数形结合思想以及函数的最值的求法，有两个关键：
1：做出的图像，对于ABC选项并不难判断；
2：对于D选项，可以理解为是个多元函数问题，遇到多元函数问题，最常见的办法是通过消元把多元函数问题转化成一元函数问题求解，另外运用基本不等式的时候注意判断是否满足一正二定三相等的条件，尤其要判断是否能够取等号.
11．AB
【分析】根据不等式的性质和基本不等式判断AB，利用特值法判断CD．
【详解】∵，∴ 即，∴，A正确；
由基本不等式知：，当且仅当时等号成立
又，∴
∴即,当且仅当时等号成立；
已知 ,故，B正确;
令，，C错误；
令，，分母为零无意义，D错误．
故选：AB．
12．AD
【分析】对于选项A、B，可以直接观察图像得出听觉下限阈值与声音频率的关系进行判断；对于C、D，通过所给函数关系代入听觉下限阈值计算即可判断.
【详解】对于A，30～100Hz的低频对应的听觉下限阈值高于20dB，1000～10000Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20dB，
所以对比高频更容易被听到，故A正确；
对于B，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；
对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，，令，此时，故C错误；
对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令，此时，
所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确．
故选：AD.
13．
【分析】由题意可得，利用基本不等式即可求值.
【详解】因为，，
所以，，
所以，
，
当且仅当，即时取到等号.
所以.
故答案为：
14．
【分析】先求出函数的定义域，进而根据复合函数的定义域，即可求解．
【详解】由题意得，，解得，
令，则，
故的定义域为.
故答案为：
15．1
【分析】结合分段函数解析式，由内向外计算即可.
【详解】由题意得，.
所以，
故答案为：1.
16． 0
【分析】（1）利用分段函数的解析式，直接求值即可；
（2）函数在上递增，必须函数的每一段都递增，且时，.
【详解】（1）当时，，.
（2）因为函数在上递增，所以：.
故答案为：0；
17．(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到，从而求出的解集；
（2）换元后得到对于能成立，利用函数单调性求出，得到答案.
【详解】（1），令，
则原不等式可化为，解得，即
所以，不等式的解集．
（2）当时，令，可得，
原不等式可化为对于能成立，
即可得对于能成立，
由对勾函数性质可知在上单调递增，所以，
因此只需即可，得；
即的取值范围是．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图像知，函数过点，代入函数建立方程组，即可求出结果；
（2）利用二次函数的性质即可求出结果；
（3）在同一坐标系中，作出和的图像，根据图像，利用时，两函数值相等，即可求出结果.
【详解】（1）由图知，函数过点，所以，解得，
所以的解析式为.
（2）由（1）知，二次函数的对称轴为，开口向下，
所以函数在处取到最大值为.
（3）因为，所以，
在同一直角坐标系中，作出和的图像，如图所示，
当时，，，
由，解得，所以不等式的解集.

19．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）由奇函数定义计算即可得；
（2）可结合函数单调性计算，亦可借助换元法解不等式；
（3）计算出及的值域后，对任意的，总存在，使得成立即为的值域为的值域的子集，计算即可得.
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，
即在定义域上恒成立，
整理得，故；
（2）解法一：由（Ⅰ）知，
所以函数在和上单调递减，
且当时，，当时，，
所以，解得；
所以此时不等式的解集为；
解法二：因为，
令，则可化简为，
即，即，
解得，即．
所以此时不等式的解集为．
（3）由（Ⅰ）得在的值域，
又，，
设，，则，
当时，取最小值为，当时，取最大值为，
即在上的值域，
又对任意的，总存在，使得成立，即，
所以，解得．
20．(1)定义域为，
(2)或
【分析】（1）根据对数函数的定义域、函数的奇偶性
（2）对进行分类讨论，结合函数的单调性以及最值求得.
【详解】（1）要使函数有意义，则，可得：，
因为为奇函数，所以，即，所以的定义域为，
由可得：，所以，
此时，是奇函数，符合题意.
（2），
①当时，函数单调递减，
所以，
，
所以，
解得.
②当时，函数单调递增，
所以，，
所以，
解得.
综上，或.
21．(1)或
(2)
(3)1
【分析】（1）将看成整体，解一个一元二次不等式即得；
（2）利用参变分离法将不等式恒成立问题转化为求对应函数的最小值问题求解；
（3）将绝对值分类讨论得到分段函数，分别就参数的范围进行讨论，得到，求其最大值即得.
【详解】（1）由，可得，
解得或，
所以或；
（2）由，时恒成立则，令.
则当时，由可得：，即得：（时取等号），
当时，，可得：即得：.（时取等号）
故，因在上递减，在上递增，
而时；时，，即，
故.
（3）由（）.
可得：，
①当时，在单调递增，所以此时无最值；
②当时，由，.
所以在上单调递增，上单调递减,此时，.
③当时.，，.
所以在上单调递减，在上单调递增，此时，，
综上，，因时，，
故最大值为1.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式恒成立问题和含参的分段函数的最小值问题.
解决关键在于对恒成立问题常通过参变分离法，将其转化成求对应函数的最值问题，对于含参的分段函数的最值问题，常常需要就参数进行分类讨论解决.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页