4.3指数函数与对数函数的关系 同步练习（含解析）

4.3指数函数与对数函数的关系同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是定义域为的单调函数，且，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．己知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．－1 B．1
C．12 D．2
4．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域是，则的定义域是
B．函数的值域是
C．“有反函数”是“在定义域内单调”的充分不必要条件
D．“”是“是奇函数”的必要不充分条件
5．若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数在定义域上满足，，函数的反函数为，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体初始温度为℃，空气的温度为℃，那么t小时后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的冷却系数．现有A，B两个物体放在空气中冷却，已知两物体的初始温度相同，冷却2小时后，A，B两个物体的温度分别为，，假设A，B两个物体的冷却系数分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．函数且的图象过定点
B．是方程有两个实数根的充分不必要条件
C．的反函数是，则
D．定义在上的奇函数，当时，，则
10．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，则关于函数说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称
C．函数的最小值为 D．函数在上为减函数
11．已知函数且的反函数为，则（ ）
A．且且定义域是
B．函数与的图象关于直线对称
C．若，则
D．当时，函数与的图象的交点个数可能是
12．下列命题不正确的是（ ）
A．函数与函数是同一个函数
B．关于的方程与的根分别为，则
C．函数的最小值为
D．已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是
三、填空题
13．已知函数与互为反函数，则 .
14．若函数，函数与函数互为反函数，则的单调减区间是 ．
15．已知函数是函数的反函数，则过定点 .
16．将函数（）的图象先向右平移1个单位长度，得到函数 的图象，再把图象作关于y轴对称，得到函数 的图象．
四、解答题
17．已知函数，．
(1)写出的单调区间，并用单调性的定义证明；
(2)若，解关于的不等式；
(3)证明：恰有两个零点m，，且．
18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求在上的解析式；
(2)解方程.
19．已知函数为对数函数，函数的图象与函数的图象关于对称，设函数，且对任意都有恒成立．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值．
20．已知函数．
(1)若方程的两根为与，求的值；
(2)设函数，若的最小值为1，求实数的值；
(3)设函数，记为的反函数，设函数，当时，，求实数的取值范围．
21．已知函数与.
(1)请用定义法证明函数的单调性;
(2)当时,求在区间上的值域;
(3)对于函数和,设,若存在α,β,使得,则称函数和互为“零点相邻函数”.若函数与是“零点相邻函数”,求实数a的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由已知与函数单调，可得存在唯一，使，则，由求解，再由，根据指对函数的对称性作出图象比较大小，然后根据单调递增，比较大小即可.
【详解】由已知，令，
又因为是定义域为的单调函数．
所以存在唯一，使，即，
所以，解得，
所以.
如图所示作出与的图象，
因为它们互为反函数，则图象关于直线对称，
由，
在图中作直线，则与的交点的横坐标依次为，
可得，
又因为是单调递增的，
所以，
故选：C.
2．C
【分析】利用反函数知识求出，结合复合函数的单调性可判断出的单调递减区间.
【详解】因为函数与的图象关于直线对称，
所以，
因为，所以，解得：.
所以，
由，可得的定义域为，
令，则在单调递减，
而在定义域单调递增，
由复合函数的单调性可知:在单调递减.
故选：C.
3．A
【分析】法一，解出反函数，代值即可；法二，应用互为反函数的两函数的对应关系求解.
【详解】解法1：由，得，所以函数的反函数为，则
解法2：设，则函数过点，由于函数的反函数为，因此有，故.
故选：A.
4．B
【分析】由抽象函数求定义域方法判断A；设，借助二次函数求出的值域，进而求出原函数的值域，由此判断B；举反例判断C，D.
【详解】对于A，因为函数的定义域是，
所以，所以，
故，解得，所以的定义域是，故A错误；
对于B，令，则，
又，所以，
所以，即，
所以，所以，
所以函数的值域是，故B正确；
对于C，若，则有反函数，但是在定义域内不是单调函数，故C错误；
对于D， 是奇函数，但，故D错误.
故选：B
5．A
【分析】由题意首先得，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解.
【详解】由题意函数 与函数 互为反函数，
所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点，
对比选项可知A符合题意.
故选：A.
6．C
【分析】根据反函数及指数函数的性质，可令，进而有，根据指对数的定义域和单调性判断定义域和单调性，利用单调性求最小值.
【详解】由题意，令，满足上且，
此时且定义域为，
所以定义域为，且单调递增，
所以.
故选：C
7．B
【分析】利用函数的增减性、绝对值求解不等式，根据充分条件和必要条件的判断条件.
【详解】因为，即，根据函数，在上单调递增.
则，
∴，∴
∵，∴
∵推不出，
，
∴是的必要不充分条件，
即是的必要不充分条件．
故选：B．
8．A
【分析】由题意列出方程，再根据指数函数和对数函数互换的到结果.
【详解】由题意可得，，
故，，
两式相除得，得．
故选：A
9．AC
【分析】求出指数型函数恒过的定点可判断A；由充分条件和必要条件的定义可判断B；由反函数的性质可判断C；由奇函数的定义域关于原点对称求出，再由奇函数的性质代入求解可判断D.
【详解】函数，令，可得，
故函数的图象过定点，故A正确；
根据方程有两个实数根，可得，即，
故是方程有两个实数根的必要不充分条件，故B错误；
的反函数是，故C正确；
在上是奇函数，，
解得，又时，，
，故D错误．
故选：AC.
10．BC
【分析】求出的解析式后可研究函数的奇偶性、单调性和最值等性质，从而可得正确的选项.
【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，
所以，则，，
，
则函数为偶函数，图象关于轴对称，所以B正确，A错误；
函数在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以C正确，D错误.
故选：BC.
11．ABD
【分析】根据指数函数与对数函数的关系一一分析即可.
【详解】对A，根据指数函数与对数函数为一对反函数，则且且定义域是，故A正确；
对B，根据反函数的特点知函数与的图象关于直线对称，故B正确；
对C，若，则，解得（负舍）；
则，则，故C错误；
对D，对于D：如图所示，
当时，函数与的图象无公共点（如图1）；
当时，函数与的图象有一个公共点（如图2）；
当时，函数与的图象有两个公共点（如图3）；
所以当时，与的图象的交点个数可能为0，1，2，D正确，
故选：ABD.
12．AD
【分析】A由同一函数对应法则、定义域相同判断；B问题化为分别是、与的交点横坐标，结合指对数函数关系及对称性判断；C根据指数型复合函数的单调性求最值判断；D由对数复合函数的区间单调性列不等式求范围即可.
【详解】A：与的定义域不同，不是同一函数，错；
B：由题意，则，
所以分别是、与的交点横坐标，
而、互为反函数，关于对称，与垂直，如下图，
所以，对；
C：由在上递增，在上递减，而上递减，
所以在上递减，在上递增，故函数有最小值为，对；
D：由题设为减函数，要使在上是减函数，
则在定义域上为增函数，且，即，错.
故选：AD
13．9
【分析】由指数函数与对数函数互为反函数可得答案.
【详解】由对数函数的反函数为相应的指数函数可得，
故.
故答案为：9.
14．
【分析】由指对数的关系易知在定义域上的单调性，结合二次函数的性质及复合函数单调性判断，即可知目标函数的单调减区间.
【详解】因为与函数互为反函数，所以，在定义域上为减函数，
令，解得：，
可知的定义域为，
则在上递增，在上递减，
利用复合函数的单调性可知：
在上递减，在上递增.
故答案为：.
15．
【分析】首先求出原函数过定点坐标，再根据反函数的性质得解
【详解】函数是函数的反函数，
又函数过定点所以函数过定点.
故答案为：
16．
【分析】根据函数图象平移法则及对称变化规律求解即可.
【详解】解：将函数（）的图象向右平移1个单位长度，得到函数，
将的图象再作关于y轴对称，得到函数.
故答案为：；
17．(1)单调递增区间为，，无减区间；证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数解析式进行化简，判断单调性，根据两个不同区间，分别运用函数的单调性定义进行推导即得；
（2）结合（1）的结论，考虑，尝试得到函数在上的另一个零点，经计算得到，从而作出函数的简图即得不等式的解集；
（3）根据（1）的结论，在上寻得，使，再构造满足的值，推理得到，利用零点存在定理确定在存在零点；同法，在上存在另一个零点；最后受（2）的启发推算出，利用函数在上递增，判断，借助于基本不等式即得.
【详解】（1）由题知，，
因为，
所以在上和上单调递增，理由如下：
①，，且，
由．
因，则，，又，
故，即在上单调递增，
②，，，同理可得：，即在上单调递增，
所以在上和上单调递增，即函数的单调增区间为，，无减区间.
（2）
由（1）知：在上和上单调递增，又因为．
如图，要使，只需使或，故不等式的解集为：．
（3）由（1）知：在上和上单调递增，
又因为，且，
取满足，则，
所以在上有唯一零点，
又因为，且，取满足，
则，
所以在上有唯一零点，则，
又因为，
因在上单调递增，且，，则必有，即，
故．
【点睛】关键点点睛：本题重点考查与函数的零点有关的问题.
在解决（2）时，条件容易误导用来求值，实则是抛砖引玉，用来推理，从而得到两个零点，结合单调性数形结合易得的解集；
在解决（3）时，要说明分别在和上函数各有一个零点，难度非同小可，需尝试代入适合的值,得到，再构造满足的值，使，从而得到确定的唯一零点，同法得到另一个零点，运用（2）的结论推得才可证明.
18．(1)
(2)或
【分析】（1）由奇函数的性质即可求解.
（2）由题意首先有，进一步通过换元法以及指对互换解方程即可.
【详解】（1）因为是奇函数，
①当时，，
②当时，，，
所以，
所以.
（2）由题意知，，
得，
令，则，即，
解得或，
即或，
解得或.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）由对数函数定义求得，则，结合反函数性质得，再根据已知得为偶函数，由偶函数性质求参数n，即可得的解析式；
（2）由题设，令，进而得到，且，根据二次函数性质及其最小值求参数即可.
【详解】（1）由题设，可得，故，
由函数的图象与函数的图象关于对称，
即两函数互为反函数，故，故，定义域为R，
由，即，
所以为偶函数，即恒成立，
故，则.
（2）由（1）得，且，
令，则，即，
所以，且，开口向上，对称轴为，
所以在上的最小值为，
当，即时，，可得；
当，即时，，
所以，可得或，均不满足前提；
综上，.
【点睛】关键点点睛：第一问，注意对数函数定义、反函数性质及偶函数判断并求参；第二问，将含指数函数的复合型函数换元，转化二次函数，再利用最值求参.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法令,然后结合，利用根与系数的关系从而求解.
（2）利用换元法可得，然后分类讨论，从而求解.
（3）求出的反函数，然后得到的解析式，然后利用换元法,再根据函数的单调性从而求解.
【详解】（1）因为，所以，
令，则为的两根，
所以，
所以.
（2），
令，所以，
当且仅当，即时等号成立，
又因为，
所以的最小值为1，对称轴为，
当时，，解得，不符合题意，
当时，，解得或（舍），
综上所述.
（3）因为，所以，
所以，
令，所以，
因为在上是增函数，且当时，，
所以，即，
所以在上恒成立，
所以，得，
故的取值范围为.
【点睛】方法点睛：对于函数，利用换元法并结合二次函数等式及根与系数关系可求解；对于最值问题通过换元后利用二次函数的性质可求解最值的情况；对于恒成立问题换元后多借助函数单调性求解.
21．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数单调性的定义直接证明即可；
（2）当时，令，，函数化为，结合二次函数的性质，即可求得值域；
（3）根据题中条件知，在上单调递增,且,据此可知，进而求得，又根据题意在上有解，换元后，根据对勾函数的性质即可求解.
【详解】（1）任取,且,
则
,
因为,
所以,
所以,即，
所以函数在上单调递增.
（2）当时,.
又,令,则，
函数的图象开口向上且对称轴为直线,
由，
，
得，
故在区间上的值域为.
（3）由(1)知函数在上单调递增,
且,据此可知.
结合“零点相邻函数”的定义可得，
据此可知函数在区间上存在零点,
即方程在区间上存在实数根,
整理得，
令,则，.
根据对勾函数的性质,
函数在区间上单调递减,在上单调递增,
又，
所以，即，
故实数a的取值范围是.
答案第1页，共2页
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