4.4幂函数 同步练习（含解析）

4.4幂函数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知幂函数上单调递增，则（ ）
A．0 B．2 C．或 D．或2
3．已知幂函数的图象不经过第二象限，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
4．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（且）的图象恒过定点，幂函数过点，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．下列幂函数在区间上是严格减函数，且图象关于轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ）
A．定义域为 B．值域为
C．偶函数 D．减函数
二、多选题
9．已知（）（ ）
A．当时，的值域为 B．当时，
C．当时，是偶函数 D．当时，是奇函数
10．若函数对于任意，都有，则称具有性质．下列函数中，具有性质的有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数 B．函数是增函数
C．的解集为 D．
12．若四个幂函数在同一坐标系中的部分图象如图，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知函数，用表示的最小值，记为，那么的最大值为 ．
14．若幂函数的图象经过点，则 ．
15．若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 .
16．若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为 ；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是 .
四、解答题
17．若函数为幂函数，且在单调递减．
(1)求实数的值；
(2)若函数，且，
（ⅰ）写出函数的单调性，无需证明；
（ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围．
18．已知幂函数为偶函数．
(1)求的解析式；
(2)若在上是单调函数，求实数的取值范围．
19．已知幂函数在上满足，函数．
(1)求的值；
(2)当时，记、的值域分别为、，设，，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20．已知幂函数为偶函数.
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式.
21．已知幂函数的图象过点．
(1)求实数m的值；
(2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数单调性，结合媒介数比较大小即得.
【详解】依题意，，，
所以.
故选：D
2．A
【分析】根据幂函数定义以及其单调性，结合解析式，即可求得参数值.
【详解】因为幂函数上单调递增，
所以且，解得.
故选：A
3．D
【分析】根据幂函数的概念求出，再由函数图象不经过第二象限得出即可．
【详解】解：因为是幂函数，所以，解得或，
当时，，显然其图象不经过第二象限，满足题意；
当时，，其图象经过第二象限，不满足题意；
综上，．
故选：D．
4．C
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解.
【详解】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.
所以，则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递减，则，解得.
故选：C．
5．D
【分析】根据对数函数的性质可求得定点，由幂函数的概念设，由条件列式求出，进而可得答案.
【详解】，令，得，，
则（且）恒过定点，
设，则，即，即，∴，
故选：D.
6．C
【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可.
【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增；
当时，易知为幂函数，在单调递增.
故函数,图象如图所示:
要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到.
故选：C.
7．B
【分析】分别根据幂函数的性质判断即可.
【详解】对于A．的定义域,，为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B．，定义域为，且为偶函数，其图象关于轴对称,在区间上是严格减函数，符合题意；
对于C．，定义域为，且为奇函数，且在递增，不符合题意；
对于D．，在区间上是严格减函数，且为奇函数，不符合题意．
故选：B．
8．A
【分析】结合幂函数性质逐项判断即可得.
【详解】因为幂函数的图象过点，所以，
所以，所以，
对A、B：因为，定义域为，值域为，
故A正确、B错误；
对C：，且定义域为，故为奇函数，故C错误；
对D：在区间，上单调递减，
由可知在定义域上不是减函数，故D错误.
故选：A.
9．BC
【分析】根据幂函数的性质即可求解AB，结合函数奇偶性的定义即可判断CD.
【详解】当时，，此时的值域为，故A错误，
当时，在上单调递增，所以，B正确，
当时，，，所以是偶函数，C正确，
当时，，，则，，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误，
故选：BC
10．ACD
【分析】根据条件得到函数图像应该是上凸的或者是直线，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】对于任意，，
故函数图像应该是上凸的，此时，如图所示：
或者函数图像是一条直线，此时，
画出函数图像，如图所示：
根据图像知：ACD满足条件.
故选：ACD
11．BCD
【分析】根据点坐标确定，函数为奇函数得到A错误，函数为增函数得到B正确，计算得到CD正确，得到答案.
【详解】设幂函数，函数过点，即，解得，即，
对选项A：函数定义域为，，函数为奇函数，错误；
对选项B：函数是增函数，正确；
对选项C：，解得，正确；
对选项D：，正确；
故选：BCD.
12．BC
【分析】利用幂函数在第一象限内，的右侧部分的图象的特点，确定出的大小关系.
【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，
可得.
故选：BC
13．
【分析】在在同一坐标系中，画出的图像，根据条件，利用图像即可求出结果.
【详解】由，得到或，在同一坐标系中，画出的图像，如图所示，
因为，由图知，当时，取到最大值为，

故答案为：.
14．
【分析】根据幂函数的定义和过点，求解解析式.
【详解】根据幂函数，则，
又由过点，所以，
故，所以.
故答案为：.
15．
【分析】由幂函数的概念和性质确定的值，再根据单调性求解不等式.
【详解】因为为幂函数，
则，解得，或，
当时，，为奇函数，不符合题意；
当时，，为偶函数，符合题意，
且在上单调递减，在上单调递增，
若，则，
解得或，即不等式的解集为.
故答案为：.
16． 且，
【分析】根据的单调性，结合2次方膨胀区间的定义即可列方程求解空1，根据二次函数的单调性，分类讨论，结合4次方膨胀区间的定义，由二次方程根的分布即可求解空2.
【详解】设函数的2次方膨胀区间为，
由于函数为上的单调递增函数，
所以且，由于，解得，
故的2次方膨胀区间为，
由于为开口向上的二次函数，且对称轴为，
设存在4次方膨胀区为，
若，则为上的单调递减函数，
所以且，
相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去，
若，则为上的单调递增函数，
所以且，
因此是方程的两个不相等非负实数根，
令，则有两个不相等非负实数根，
记，
所以，解得且，
故答案为：，且，
【点睛】思路点睛：主要是利用函数满足的两个条件①和②，利用条件①，根据函数的单调性即可求解函数的值域，根据条件②列出满足的方程，结合二次方程根的分布，即可找到求解途径.
17．(1)1
(2)（ⅰ）在区间单调递增；（ⅱ）
【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍；
（2）（ⅰ）根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得；
（ⅱ）利用（ⅰ）的结论求解抽象不等式即得.
【详解】（1）由题意知，解得：或，
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；
所以实数的值为1．
（2）（ⅰ），在区间单调递增.证明如下：
任取，则，
由可得：，，则，即，
故在区间单调递增.
（ⅱ）由（ⅰ）知，在区间单调递增，又由可得：
则，解得.
18．(1)
(2)或
【分析】（1）根据函数为幂函数得，从而求出代入解析式检验，进而可求出的解析式；
（2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，解得或3，
若是偶函数，代入检验可得，故；
（2），对称轴是，
若在上是单调函数，则或，解得或．
所以实数的取值范围为或．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，再结合进行检验，即可得出实数的值；
（2）求出集合、，根据题意可得出 ，可得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围，结合 检验即可得解.
【详解】（1）解：因为函数为幂函数，则，
即，解得或.
当时，，则在上为增函数，则，合乎题意，
当时，，则在上为减函数，则，不合乎题意.
综上所述，.
（2）解：由（1）得，
当时，，即，
当时，，即，
由是成立的必要不充分条件，则 ，显然，
则，解得，
验证当时， ，当时， ，
所以实数的取值范围为．
20．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据幂函数定义求出的值，由偶函数性质求出符合题意的，得到解析式；
（2）由一元二次不等式的解法对分，，三种情况讨论得到不等式的解集.
【详解】（1）由题意，因为为幂函数，
所以，解得或.
当时，，定义域为，关于原点对称，
显然成立，故为偶函数，符合题意；
当时，，
此时的定义域为，不关于原点对称，
故不是偶函数，不符合题意.
故函数.
（2）因为，则不等式等价于，即.
当时，有，不等式的解集为；
当时，有，不等式的解集为；
当时，有，不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据幂函数定义可求的值，然后分别检验的取值，由此确定出结果；
（2）先表示出的解析式，然后通过“取值、作差、变形、判号、下结论”的过程完成证明.
【详解】（1）由幂函数的定义可知，解得，
当时，，又的图象不过点，显然不满足题意；
当时，，将点代入得，
综上所述，．
（2）由（1）可知，，则，
任取，且，
则
，
因为，所以，，则，，
所以，则，
所以，
则，即，
故在上单调递增．
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