4.5增长速度的比较 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.5增长速度的比较 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-26 08:46:23 | ||
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文档简介
4.5增长速度的比较同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（ ）
1 2 3 4
14 20 29 43
A． B．
C． D．
3．下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设集合，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数，，，则由表中数据确定、、依次对应（ ）
x
1 2 0.2 0.2
5 50 25 3.2
10 200 200 102.4
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
8．已知．，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．下列各式的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
11．（多选题）已知函数，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数和的图象可能有两个交点
B．，当时，恒有
C．当时，，
D．当时，方程有解
12．函数，，，在区间上（ ）
A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢
C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度
三、填空题
13．已知且，若函数中至少存在两点，使关于轴对称，则的取值范围是 ．
14．函数在区间上的平均变化率为 .
15．小明2015年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值 元．
16．若，则使成立的的取值范围是 ，使成立的的取值范围是 ．
四、解答题
17．函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，且．
(1)请指出图中曲线分别对应的函数；
(2)结合函数图象，比较的大小．
18．设，，．令，．
(1)请分别化简下列各式：①；②；③；
(2)结合（1）中的化简结果，谈谈你对对数函数、幂函数、指数函数变化的感受．
19．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且.
(1)请指出图中曲线分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断的大小．
20．以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽 零碳排放等优点.近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》.
年份 传统能源发电 新能源发电 总装机容量
火力 发电 水力 发电 核能 发电 太阳能 发电 风能 发电
2015 10.06 3.20 0.27 0.43 1.31 15.27
2016 10.60 3.32 0.34 0.76 1.47 16.49
2017 11.10 3.44 0.36 1.30 1.64 17.84
2018 11.44 3.53 0.45 1.74 1.84 19.00
2019 11.90 3.56 0.49 2.10 2.05 20.10
2020 12.45 3.70 0.50 2.53 2.82 22.00
请根据上表提供的数据，解决课题小组的两个问题：
(1)2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？
(2)假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由特值，，可判定图象.
【详解】由题意，得，所以排除A、B,
又，所以D正确.
故选：D
2．C
【分析】利用一次函数指对函数及反比例函数的单调性判断即可
【详解】由图表可知：随x增大y增大，且增长越来越快，故排除A,B,D.
故选：C
3．D
【分析】指数函数增长最快，得到答案.
【详解】ABCD分别为一次函数，常函数，对数函数，指数函数，底数大于，
增长最快的是指数函数.
故选：D
4．C
【分析】根据交集以及指数函数、二次函数图象等知识确定正确答案.
【详解】如图，集合为函数图象的点集，集合为函数图象的点集，
两函数的图象有三个交点，所以的元素个数为个.
故选：C
5．D
【分析】根据对数函数的增长性质，作图求解.
【详解】由题意：，作对数函数的图像如下图：
F，G，H是x轴上对应的点，过F，G，H作x轴的垂线，与函数的图像交于A，B，C点，
则，
过A，B点作平行于x轴的直线分别与BG，CH交于D，E点，由于函数的增长速度是随x的增大而变慢的，
，即，，，
；
故选：D.
6．D
【分析】根据题意，将，，分别代入选项中的函数，逐项验证比较，即可求解.
【详解】由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，
即，，，
对于A中，函数，当时，和0.76相差较大；
对于B 中，函数，当时，和0.4相差较大；
对于C中，函数，当时，和0.4相差较大；
对于D中，函数，当时，，当时，，
当时，和0.76相差0.04，
综合可得，选用函数关系较为近似．
故选：D.
7．D
【分析】将表格中对应的值与函数解析式进行比较即可求解.
【详解】因为，所以；
因为，所以；
因为，所以，
故选：.
8．B
【分析】首先对命题中的取值情况进行分析，求出其范围，然后根据充分条件与必要条件的相关知识得出结论.
【详解】对于命题：，，
令，，根据图象的平移得出两函数图象，如图所示：
根据图象可知，要使，则
又命题
p是q的必要不充分条件.
故选：B.
9．AC
【分析】对于选项A,B:由指数函数与幂函数的增长差异即可判断；对于选项C: 要判断与的大小，只需比较的大小即可；对于选项D:利用作商法，借助对数运算及基本不等式判断与1比较大小即可.
【详解】对于选项A,B:由指数函数与幂函数可知：
当时，有，因为，所以,故选项A正确；
当时，有，因为，所以,故选项B错误；
对于选项C: 要判断与的大小，只需比较的大小，
因为，所以，即,故选项C正确;
对于选项D:因为，
所以
所以，即.故选项D错误.
故选：AC.
10．ABC
【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果.
【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样，
显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点；
所以只有D正确.
故选：ABC
11．AD
【分析】根据函数的单调性，零点存在性定理以及函数的增长速度逐一判断即可.
【详解】对于选项,因为，，所以点为函数和图象的交点，
又因为，，且和单调递增，
所以和的图象在区间有一个交点，
当时，函数的增长速度比函数的增长速度要快，则它们的图象不再有交点，故正确；
对于选项, 和在区间上都是单调递增，一次函数保持固定的增长速度，
而对数函数增长的速度越来越慢，
由于的增长慢于的增长，
因此总会存在一个，当时，恒有，故错误；
对于选项,当时，和关于对称，
在直线上方, 在直线下方，
所以不存在使，故错误；
对于选项,时，，则和均过点，
所以方程有解，故D正确.
故选：AD.
12．ABC
【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得.
【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间上，
递减速度越来越慢，故A正确；
递减速度越来越慢，故B正确；
递减速度越来越慢，故C正确；
的递减速度慢于递减速度，故D错误.
故选：ABC.
13．
【分析】结合一次函数单调性对参数的取值范围进行分类讨论，根据题意可知当时才会满足题意，再结合一次函数与指数函数的增长速率之间的关系可得，即可求得的取值范围.
【详解】当时，函数单调递增，且时，；
而单调递减，且，
所以当时，当时，
此时不存在两点使其关于轴对称，所以不满足题意；
当时，函数单调递增，单调递增，
当时，当时，
此时不存在两点使其关于轴对称，所以不满足题意；
当时， 函数，存在使其关于轴对称，满足题意；
当时，单调递减，单调递增，
易知与关于轴对称，
要存在两点使其关于轴对称，则需当时，函数与函数的图象有交点，
再由一次函数与指数函数的增长速率之间的关系可得，即.
综上所述，的取值范围是
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将存在两点使其关于轴对称的问题转化成直线关于轴对称的直线与令一段图象有交点，即可得出结果.
14．/
【分析】利用平均变化率的定义求解
【详解】函数在区间上的平均变化率为
，
故答案为：
15．.
【分析】本题根据题意直接计算即可.
【详解】解：由题意：，
故答案为：.
【点睛】本题考查降价问题，是基础题.
16．
【分析】画出指对幂函数的图象，数形结合法判断不等关系下对应x的范围即可.
【详解】在同一平面直角坐标系中作出，，在上的图象如下．
由图得，若，则，
若，则或．
故答案为：，
17．(1)对应的函数为，对应的函数为；
(2)．
【分析】（1）根据函数对应的曲线的特征和增长速度判断曲线对应的函数；
（2）先直接判断，再得到的区间，再根据图像判断大小，最后再根据单调性判断四个数大小.
【详解】（1）是一次函数，对应的函数图像为一条直线，故为对应的函数；
是单调递增且增长速度越来越快的曲线，故为对应的函数；
（2），所以，
又因为，所以，
所以，
由图可知当时，
所以，
又因为单调递增，所以，
所以.
18．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）将，分别带入①②③中的各表达式，由指数和对数运算法则即可化简得出结果；
（2）根据（1）中化简得出的结果可知，当自变量的增量相同时，不同函数的增长速度各不相同.
【详解】（1）①将，代入可得；
②将，代入可得；
③将，代入可得
（2）结合（1）中的化简结果可知，
对数函数、幂函数、指数函数都会随着的增大而增大，但是它们的增长速度不同，
当自变量的增量相同时可知，对数函数的增长速度越来越慢，
幂函数、指数函数的增长速度越来越快，且的增长速度大于.
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据图像得到答案.
（2）计算得到，，根据图像得到当时，，当时，，得到答案.
【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为
（2）因为，，，，
所以，，
所以，，
从图像上可以看出：当时，，所以.
当时，，所以.
又由函数的单调性易知，，
所以.
20．(1)1.35，
(2)2028
【分析】（1）由表中数据：分别得到2015年和2020年我国发电总装机容量，由平均增量等于末量减去初量除以增加年次求解；分别得到2015年和2020年我国新能源发电装机容量，设新能源发电装机容量的年平均增长率为x，由求解；
（2）设第n年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的，由求解.
【详解】（1）解：由表中数据知：2015年我国发电总装机容量为15.27万万千瓦，
2020年我国发电总装机容量为22.00万万千瓦，
所以2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加万万千瓦；
2015年我国新能源发电装机容量1.74万万千瓦，
2020年我国新能源发电装机容量5.35万万千瓦，
设2015年至2020年期间，我国新能源发电装机容量的年平均增长率为x，
则，即，
解得，
所以2015年至2020年期间，我国新能源发电装机容量的年平均增长率为；
（2）以2021年为第一年，设第n年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的，
所以，
当时，，
当时，，
所以，即从年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的部分图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（ ）
1 2 3 4
14 20 29 43
A． B．
C． D．
3．下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设集合，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数，，，则由表中数据确定、、依次对应（ ）
x
1 2 0.2 0.2
5 50 25 3.2
10 200 200 102.4
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
8．已知．，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．下列各式的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
11．（多选题）已知函数，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数和的图象可能有两个交点
B．，当时，恒有
C．当时，，
D．当时，方程有解
12．函数，，，在区间上（ ）
A．递减速度越来越慢 B．递减速度越来越慢
C．递减速度越来越慢 D．的递减速度慢于递减速度
三、填空题
13．已知且，若函数中至少存在两点，使关于轴对称，则的取值范围是 ．
14．函数在区间上的平均变化率为 .
15．小明2015年用7200元买一台笔记本．电子技术的飞速发展，笔记本成本不断降低，每过一年笔记本的价格降低三分之一．三年后小明这台笔记本还值 元．
16．若，则使成立的的取值范围是 ，使成立的的取值范围是 ．
四、解答题
17．函数和的图象如图所示，设两函数的图象交于点，且．
(1)请指出图中曲线分别对应的函数；
(2)结合函数图象，比较的大小．
18．设，，．令，．
(1)请分别化简下列各式：①；②；③；
(2)结合（1）中的化简结果，谈谈你对对数函数、幂函数、指数函数变化的感受．
19．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且.
(1)请指出图中曲线分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断的大小．
20．以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽 零碳排放等优点.近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》.
年份 传统能源发电 新能源发电 总装机容量
火力 发电 水力 发电 核能 发电 太阳能 发电 风能 发电
2015 10.06 3.20 0.27 0.43 1.31 15.27
2016 10.60 3.32 0.34 0.76 1.47 16.49
2017 11.10 3.44 0.36 1.30 1.64 17.84
2018 11.44 3.53 0.45 1.74 1.84 19.00
2019 11.90 3.56 0.49 2.10 2.05 20.10
2020 12.45 3.70 0.50 2.53 2.82 22.00
请根据上表提供的数据，解决课题小组的两个问题：
(1)2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？
(2)假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由特值，，可判定图象.
【详解】由题意，得，所以排除A、B,
又，所以D正确.
故选：D
2．C
【分析】利用一次函数指对函数及反比例函数的单调性判断即可
【详解】由图表可知：随x增大y增大，且增长越来越快，故排除A,B,D.
故选：C
3．D
【分析】指数函数增长最快，得到答案.
【详解】ABCD分别为一次函数，常函数，对数函数，指数函数，底数大于，
增长最快的是指数函数.
故选：D
4．C
【分析】根据交集以及指数函数、二次函数图象等知识确定正确答案.
【详解】如图，集合为函数图象的点集，集合为函数图象的点集，
两函数的图象有三个交点，所以的元素个数为个.
故选：C
5．D
【分析】根据对数函数的增长性质，作图求解.
【详解】由题意：，作对数函数的图像如下图：
F，G，H是x轴上对应的点，过F，G，H作x轴的垂线，与函数的图像交于A，B，C点，
则，
过A，B点作平行于x轴的直线分别与BG，CH交于D，E点，由于函数的增长速度是随x的增大而变慢的，
，即，，，
；
故选：D.
6．D
【分析】根据题意，将，，分别代入选项中的函数，逐项验证比较，即可求解.
【详解】由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，
即，，，
对于A中，函数，当时，和0.76相差较大；
对于B 中，函数，当时，和0.4相差较大；
对于C中，函数，当时，和0.4相差较大；
对于D中，函数，当时，，当时，，
当时，和0.76相差0.04，
综合可得，选用函数关系较为近似．
故选：D.
7．D
【分析】将表格中对应的值与函数解析式进行比较即可求解.
【详解】因为，所以；
因为，所以；
因为，所以，
故选：.
8．B
【分析】首先对命题中的取值情况进行分析，求出其范围，然后根据充分条件与必要条件的相关知识得出结论.
【详解】对于命题：，，
令，，根据图象的平移得出两函数图象，如图所示：
根据图象可知，要使，则
又命题
p是q的必要不充分条件.
故选：B.
9．AC
【分析】对于选项A,B:由指数函数与幂函数的增长差异即可判断；对于选项C: 要判断与的大小，只需比较的大小即可；对于选项D:利用作商法，借助对数运算及基本不等式判断与1比较大小即可.
【详解】对于选项A,B:由指数函数与幂函数可知：
当时，有，因为，所以,故选项A正确；
当时，有，因为，所以,故选项B错误；
对于选项C: 要判断与的大小，只需比较的大小，
因为，所以，即,故选项C正确;
对于选项D:因为，
所以
所以，即.故选项D错误.
故选：AC.
10．ABC
【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果.
【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样，
显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点；
所以只有D正确.
故选：ABC
11．AD
【分析】根据函数的单调性，零点存在性定理以及函数的增长速度逐一判断即可.
【详解】对于选项,因为，，所以点为函数和图象的交点，
又因为，，且和单调递增，
所以和的图象在区间有一个交点，
当时，函数的增长速度比函数的增长速度要快，则它们的图象不再有交点，故正确；
对于选项, 和在区间上都是单调递增，一次函数保持固定的增长速度，
而对数函数增长的速度越来越慢，
由于的增长慢于的增长，
因此总会存在一个，当时，恒有，故错误；
对于选项,当时，和关于对称，
在直线上方, 在直线下方，
所以不存在使，故错误；
对于选项,时，，则和均过点，
所以方程有解，故D正确.
故选：AD.
12．ABC
【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得.
【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间上，
递减速度越来越慢，故A正确；
递减速度越来越慢，故B正确；
递减速度越来越慢，故C正确；
的递减速度慢于递减速度，故D错误.
故选：ABC.
13．
【分析】结合一次函数单调性对参数的取值范围进行分类讨论，根据题意可知当时才会满足题意，再结合一次函数与指数函数的增长速率之间的关系可得，即可求得的取值范围.
【详解】当时，函数单调递增，且时，；
而单调递减，且，
所以当时，当时，
此时不存在两点使其关于轴对称，所以不满足题意；
当时，函数单调递增，单调递增，
当时，当时，
此时不存在两点使其关于轴对称，所以不满足题意；
当时， 函数，存在使其关于轴对称，满足题意；
当时，单调递减，单调递增，
易知与关于轴对称，
要存在两点使其关于轴对称，则需当时，函数与函数的图象有交点，
再由一次函数与指数函数的增长速率之间的关系可得，即.
综上所述，的取值范围是
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将存在两点使其关于轴对称的问题转化成直线关于轴对称的直线与令一段图象有交点，即可得出结果.
14．/
【分析】利用平均变化率的定义求解
【详解】函数在区间上的平均变化率为
，
故答案为：
15．.
【分析】本题根据题意直接计算即可.
【详解】解：由题意：，
故答案为：.
【点睛】本题考查降价问题，是基础题.
16．
【分析】画出指对幂函数的图象，数形结合法判断不等关系下对应x的范围即可.
【详解】在同一平面直角坐标系中作出，，在上的图象如下．
由图得，若，则，
若，则或．
故答案为：，
17．(1)对应的函数为，对应的函数为；
(2)．
【分析】（1）根据函数对应的曲线的特征和增长速度判断曲线对应的函数；
（2）先直接判断，再得到的区间，再根据图像判断大小，最后再根据单调性判断四个数大小.
【详解】（1）是一次函数，对应的函数图像为一条直线，故为对应的函数；
是单调递增且增长速度越来越快的曲线，故为对应的函数；
（2），所以，
又因为，所以，
所以，
由图可知当时，
所以，
又因为单调递增，所以，
所以.
18．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）将，分别带入①②③中的各表达式，由指数和对数运算法则即可化简得出结果；
（2）根据（1）中化简得出的结果可知，当自变量的增量相同时，不同函数的增长速度各不相同.
【详解】（1）①将，代入可得；
②将，代入可得；
③将，代入可得
（2）结合（1）中的化简结果可知，
对数函数、幂函数、指数函数都会随着的增大而增大，但是它们的增长速度不同，
当自变量的增量相同时可知，对数函数的增长速度越来越慢，
幂函数、指数函数的增长速度越来越快，且的增长速度大于.
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据图像得到答案.
（2）计算得到，，根据图像得到当时，，当时，，得到答案.
【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为
（2）因为，，，，
所以，，
所以，，
从图像上可以看出：当时，，所以.
当时，，所以.
又由函数的单调性易知，，
所以.
20．(1)1.35，
(2)2028
【分析】（1）由表中数据：分别得到2015年和2020年我国发电总装机容量，由平均增量等于末量减去初量除以增加年次求解；分别得到2015年和2020年我国新能源发电装机容量，设新能源发电装机容量的年平均增长率为x，由求解；
（2）设第n年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的，由求解.
【详解】（1）解：由表中数据知：2015年我国发电总装机容量为15.27万万千瓦，
2020年我国发电总装机容量为22.00万万千瓦，
所以2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加万万千瓦；
2015年我国新能源发电装机容量1.74万万千瓦，
2020年我国新能源发电装机容量5.35万万千瓦，
设2015年至2020年期间，我国新能源发电装机容量的年平均增长率为x，
则，即，
解得，
所以2015年至2020年期间，我国新能源发电装机容量的年平均增长率为；
（2）以2021年为第一年，设第n年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的，
所以，
当时，，
当时，，
所以，即从年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的.
答案第1页，共2页
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