4.6函数的应用（二）同步练习（含解析）

4.6函数的应用（二）同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数则的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．函数的零点所在的区间为（ ）.
A． B． C． D．
3．已知函数若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为定义在上的奇函数，当时，，则方程实数根的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．用[]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设分别是方程及的根，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
8．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：.已知五分记录法的评判范围为，设，则五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，当，，，，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数关于点对称
C．
D．函数有8个不同零点
10．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有4个零点，则实数k的取值范围为
B．关于x的方程有个不同的解
C．对于实数，不等式恒成立
D．当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为
12．设函数的定义域为R，且，，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．为奇函数
C． D．函数有11个不同的零点
三、填空题
13．记表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为 ．
14．在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ．
15．已知函数．若关于x的不等式恰有两个整数解，则实数a的最大值是 ．
16．已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为 ，的取值范围为 .
四、解答题
17．已知函数为偶函数．
(1)求实数的值；
(2)解关于的不等式；
(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围．
18．二次函数的最大值为，且满足，，函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使得，且的所有零点构成的集合为，证明：．
19．已知函数，且满足.
(1)求实数的值；
(2)若函数的图像与直线的图像只有一个交点，求的取值范围；
(3)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20．如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”．
(1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值；
(2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围．
21．某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为（注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为）．该地区的电力成本价为0.3元．
(1)下调后的实际电价为（单位：元），写出新增用电量关于的函数解析式；
(2)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元）的函数解析式；（注：收益=实际电量（实际电价－成本价））
(3)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长
22．某地区不同身高未成年男性体重平均值如下表：
身高 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重 10 12 15 17 20 27 31 45 50 67
根据表中数据及散点图，为了能近似地反映该地区未成年男性平均体重与身高的关系，现有以下三种模型提供选择：
①，②，③
(1)你认为最符合实际的函数模型是哪个（说明理由）？并利用，，这三组数据求出此函数模型的解析式；
(2)若某男性体重超过同一地区相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区一名身高为164cm，体重为62kg的未成年男性的体重是否正常？
（参考数据：）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】画出的大致图象，由，逐层进行求解，从而求得正确答案.
【详解】作出函数的大致图象如图所示，
由解得，由解得或，.
令，得，
得或或，
结合图象可知：
当时，有1个解；当时有2个解；
当时，由于，所以有个解，
故的零点个数为6.
故选：C

2．B
【分析】利用函数的单调性与零点存在性定理判断即可．
【详解】因为在上都单调递增，
所以在上单调递增，
又，，即，
故的零点所在区间为.
故选：B.
3．A
【分析】作出的大致图象，根据题意转化为与的图象有4个不同交点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，作出的大致图象，如图所示，
要使得，
即函数与的图象有4个不同交点，则，
所以实数的取值范围是．
故选：A.
4．A
【分析】由题意可得函数与有四个不同的交点，作出函数与的图象如图所示，然后结合图象逐个分析判断即可.
【详解】因为函数有四个不同的零点，
所以有四个不同的解，即函数与有四个不同的交点，
作出函数与的图象如图所示：
又时，，由图象可得，故B不正确，
由，得或，所以由图象可得，故A正确；
由图象可得，所以，即，
即，所以，故C错误；
又，关于对称，故，故D错误，
故选：A.
关键点点睛：此题考查对数函数图象的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是将问题转化为函数与有四个不同的交点，然后作出函数图象，结合图象分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题.
5．C
【分析】根据奇函数的定义求出的解析式，进而解方程即可.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，
当时，，，
当时，，，
综上，
当时，令无解；当时，令解得；
当时，令无解；当时，令解得；
当时，令，解得，
综上实数根的个数为个，
故选：C
6．C
【分析】用零点存在性定理确定两个根的取值范围即可.
【详解】因为分别是方程，的根，
则分别是函数及的零点，
而函数是单调递增函数，又，，则 ，
函数在上单调递增，，，则，
因此，所以.
故选：C
【点睛】方法点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
7．C
【分析】由函数零点存在定理和二分法概念对选项逐一判断可得结论.
【详解】根据零点存在定理可知，函数的图象是一段连续不断的曲线，若在区间上满足，则函数在区间上存在零点；
根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足，
所以C选项不能用二分法求图中函数零点.
故选：C
8．C
【分析】根据题意结合指、对数运算分析求解.
【详解】设五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为，最小值对应的小数记录法数据为，
则，两式相减得，则，
且，可得，
所以，
故C正确，检验可知其余选项均不符合.
故选：C.
9．ACD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、零点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】是奇函数，图象关于对称，所以关于对称；
是偶函数，图象关于直线对称，所以关于直线对称；
关于直线的对称点为原点，
则关于原点对称，所以是奇函数，
直线关于原点的对称直线为，所以关于直线对称，则B选项错误.
所以，
所以是周期为的周期函数，A选项正确.
，C选项正确.
当，，，
，
，解得，
所以，，
令得，，
画出和的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有个交点，所以有个零点，所以D选项正确.
故选：ACD

10．ACD
【分析】由题意得方程最多有两个解，一元二次方程最多有两个根，所以若要满足题意，则一元二次方程在时，有两个不同的根，由此即可列出不等式组求解.
【详解】如图所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和直线，如图：
当时，方程无解，
当或时，方程有唯一解，
当时，方程有两个解，
而一元二次方程最多有两个根，
由题意若关于的方程有4个不同的实根，
则当且仅当，一元二次方程在时，有两个不同的根，
令，
所以，解不等式组得或，
对比选项可知实数可能的取值有.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：通过数形结合得方程的根的情况，进一步将原问题转换为一元二次方程根的分布问题即可列出不等式组求解.
11．ACD
【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.
【详解】当时，；
当 时，；
当，则， ；
当，则， ；
当，则， ；
当，则，；
依次类推，作出函数的图像：

对于A，函数有4个零点，即与有4个交点，
如图，直线的斜率应该在直线m， l之间，
又，，，故A正确；
对于B，当时，有3个交点，与不符合，故B错误；
对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，
由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C正确；
对于D，当时， 由图象可知：所求图象为高为的三角形，
所以函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故D正确；
故选：ACD
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
12．BC
【分析】利用抽象函数的对称性及奇偶性性质可判定A、B，利用函数的周期性可计算C，结合对数函数的图象与性质可判定D.
【详解】因为，，
所以的图象关于轴对称，且关于中心对称，
且，
即，
所以的一个正周期为，
因为当时，，则，
所以由题意可知：，故A错误；
同理，
所以为奇函数，故B正确；
易知，，
，
所以，
故，故C正确；
函数的零点等价于与的交点个数，
作出函数图象如下：

如图所示，，当时，与无交点，
同理时，与无交点，
即两函数交点在上，易知共有10个交点，故D错误.
故选：BC
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
（1）关于轴对称，
（2）关于中心对称，
（3）的一个周期为，
（4）的一个周期为.
可以类比三角函数的性质记忆以上结论.
13．
【分析】通过数形结合首先得，进一步若要满足题目条件，只需，由此即可得解.
【详解】如图所示：

若，则函数的图象与函数的图象只有1个交点，
即函数恰有1个零点，不符合题意；
如图所示：

若函数恰有2个零点，且，
所以函数的图象与函数的图象有两个交点，
显然当时，函数的图象与函数的图象有1个交点，
只需保证当时，函数的图象与函数的图象有1个交点，
则，解不等式组得，
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：首先得到，进一步通过画图，列出满足题意的不等式组即可顺利得解.
14．7
【分析】利用二分法的定义列出不等式求解即可.
【详解】设至少需要计算次，则满足，即，
由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次.
故答案为：7
15．15
【分析】数形结合，结合函数的图像即可得出结论.
【详解】函数如图所示，

当时，，由于关于x的不等式恰有两个整数解，
因此其整数解为3和4，又，，则，
所以a的最大值为15．
故答案为：15.
16．
【分析】结合函数图像，即可求出的取值范围；利用，将表示成关于的表达式，借助，利用单调性即可解决.
【详解】画出函数的图象如图所示：
要使得方程有4个不同的实数根，
只需有4个不同的实数根，即的图象有四个交点，
结合图象可知：.
因为，所以，
所以，
即，
所以，即，
而是的两根，即，
因为，满足所以，
，
令，因为，则在单调递增，
所以，故.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，解出即可；
（2）考查函数在的单调性，根据条件转化不等式，解出即可；
（3）根据题意可知方程有两个不同的根，化简方程后，列出条件，解出即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为函数为偶函数．
所以，
即，
所以
，
所以；
（2）因为，
当时，，单调递增，
所以在上单调递增，又函数为偶函数，
所以函数在上单调递减；
因为，所以，
解得或，
所以不等式的解集为
（3）因为函数与图象有个公共点，
所以方程有两个不同的根，
方程即为，
可化为，
则有，，
设，则，
即，
又在上单调递增，
所以方程有两个不等的正根；
所以，
解得，
所以的取值范围为．
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分析可知函数为偶函数，根据题意设，其中，由可求出的值，即可得出函数的解析式；
（2）由可得，令，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，直接利用零点存在定理可证得结论成立，综合可得出结论.
【详解】（1）解：令，由可得，
所以，函数为偶函数，
又因为二次函数的最大值为，可设，其中，
则，解得，所以，.
（2）解：因为，即，所以，其中．
由，化简可得
即．
令，
由判别式，可知在上有解，
①当时，，此时；
②当时，，此时；
③当时，的对称轴是，
因为，
，
，
由零点存在定理可知，函数在区间、上各有一个零点，
不妨设函数在区间、内的零点分别为、，
此时．
综合①②③，成立．
【点睛】关键点点睛：考察二次函数的零点，一般需要考虑以下几个要素：
（1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
19．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由即可求出k的值；
（2）将函数的图像与直线的图像只有一个交点，转化为只有一个实数解，即可求得参数范围；
（3）由题意知，，利用换元法，令，，转化为，，讨论三种情况，其中时，再就对称轴与区间的不同位置分和两种情况讨论求解.
【详解】（1）因为，即
所以，故.
（2）由题意知方程只有一个实数解，即方程只有一个实数解，
令，则函数的图像与直线有且只有一个交点
任取且，则，所以即有
所以，故在上为减函数，
又因为，所以，故.
（3）
令，因所以，记，，
①当时，在上为增函数，所以，不合题意；
②当时，对称轴为，所以在上为增函数，
故解得，不合题意，舍去；
③当时，开口向下，对称轴为，又因为
，即时，，解得，符合题意；
，即时，，解得，不合题意，舍去.
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查两函数图象的交点个数与方程解的个数的转化关系以及函数的最小值取得问题.
解题关键之① 在于将两函数图象只有一个交点转化为方程只有一个实根后，对函数的图象的值域求得必须先证明单调性；
解题关键之② 在于对函数在上的最小值能否为0进行分析时，需要换元成，，且需对的取值进行讨论，在讨论时，抛物线开口向下，要求函数最小值，需对与的关系进一步分类.
20．(1)；3；
(2).
【分析】（1）由题意可得是偶函数，根据偶函数性质求出的解析式，由复合函数的单调性判断在上单调性，求出最值；
（2）由对称性求出的解析式，有8个不同的实数解，令，则有两个不等的实数根，，且，，然后根据一元二次方程的实根分布求解.
【详解】（1）具有“性质”，
对恒成立，是偶函数.
当时，，
所以当时，则，
由得，当时
，
因为是增函数，在单调递增，
所以由复合函数的单调性可知函数在上单调递增，
因此，在上的最大值为.
（2）函数具有“性质”，则，
当时，，所以当时，，
于是，
如下图所示：
若有8个不同的实数解，令，
则有两个不等的实数根，，且，，
所以，所以.
所以t的取值范围为.
【点睛】思路点睛：第一问，利用是偶函数，求出的解析式，再根据复合函数单调性求出最值；第二问，函数具有“性质”，即得图象关于对称，求出的解析式，有8个不同的实数解，令，转化为方程有两个不等的实数根，，且，，根据实根分布求解.
21．(1)，
(2)
(3)0.6元
【分析】（1）由已知，列出函数关系即可得出结果；
（2）由（1）得到本年度实际用电量，再乘以即可；
（3）根据上年度电力部门实际收益以及本年度电力部门预收益，然后由求解即可.
【详解】（1）因为下调电价后新增用电量和实际电价元，与用户的期望电价0.4元的差成反比，且比例系数为，
所以，依题意知用电量关于的函数表达式为，
（2）依题意知用电量增至，
所以，电力部门的收益为；
（3）依题意有，
整理得，
解此不等式组得．
答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长．
22．(1)选择模型①，理由见解析，
(2)正常
【分析】（1）根据散点图和表中的数据特征确定应选择模型①，代入三组值，解一个三元方程组即得函数模型的解析式；
（2）依题意，根据该男性的身高代入解析式算出对应的体重平均值，结合其实际体重与平均体重的比值进行判断即可.
【详解】（1）选择模型①，因为体重随着身高的增大而增大，并且增长的速度越来越快，属于指数爆炸性增长模型．
把，，这三组数据分别代入，
可得（Ⅰ）消去，可得： （Ⅱ）将两式相除可得：，
将其代入（Ⅰ）式，可得：解得：，故．
（2）由（1）得，
所以，当时，
由可得：，所以，
所以，
因，
故该未成年男性的体重正常．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页