5.3概率 同步练习（含解析）

5.3概率同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（ ）
A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球
C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球
2．已知集合，在集合中随机取一个数，则一元二次方程有解的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①甲，乙两人下棋，甲获胜；
②小明过马路，遇见车的车牌号尾号是奇数；
③某种彩票的中奖率为99%，某人买一张此种彩票中奖；
④用任意平面截球体，所得截面图形是椭圆形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．运动会乒乓球单打比赛采取淘汰制，每名选手负一次即被淘汰出局．每名参赛选手的实力排名各不相同．设参赛选手共16名，经过抽签排定上半区比赛的程序如下（示意图中的数字为抽签决定的选手编号，与实力排名无关）：
下半区排法与此相似，最后由上半区仅剩的一名与下半区仅剩的一名决出冠亚军．假设实力排名较前的选手一定能打败实力排名较后的选手，则实力排名第二的选手能圆“银牌之梦”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．某人一次同时抛出两枚均匀骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），下面叙述正确的是（ ）
A．两枚骰子点数相同的概率为
B．两枚骰子点数都是偶数的概率为
C．两枚骰子点数之和为5的倍数的概率为
D．两枚骰子点数之和小于6的概率为
6．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
7．“百年风雨历经苦难，百年成就激荡人心”，为弘扬陈延年、陈乔年烈士的光荣事迹及革命精神，传承红色基因，某校“延乔少年行”实践团于1月6日开展红色文化活动，实践团成员中有来自高二（1）班和高二（2）班的学生各2人，高二（3）班和高二（4）班的学生各1人，在瞻仰陈延年烈士雕像举行宣誓环节，需要从这6名学生中任选4名手持国旗，则这4名学生来自不同班级的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年10月25日，神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功点火发射．在太空站内有甲，乙，丙三名航天员依次出仓进行同一试验，每次只派一人，每人最多出仓一次．若前一人试验不成功，返仓后派下一人重复进行该试验；若试验成功，终止试验．已知甲，乙，丙各自出仓试验成功的概率分别为，，，每人出仓试验能否成功相互独立，则该项试验最终成功的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．抛一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是4或5或6”为事件A，“向上的点数是1或2”为事件B，“向上的点数小于5”为事件C，“向上的点数大于3”为事件D，则（ ）
A．A与B是互斥事件，但不是对立事件 B．
C．A与C是互斥事件 D．
10．抛掷一枚质地均匀的骰子，记“点数为”，其中，1，2，3，4，5，6，“点数为奇数”，“点数为偶数”，则（ ）
A． B．，为互斥事件
C． D．，为对立事件
11．袋子中有1个红球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球，从中取三次球，每次取一个球，取球后不放回，设事件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．A与B相互独立 D．
12．伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是每次试验只有两种可能结果．若连续抛郑一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果，设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，最多只出现一次反面”，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，则与不互斥 B．若，则与不相互独立
C．若，则与相互独立 D．若，则与互斥
三、填空题
13．甲、乙、丙、丁四位同学参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是 ．
14．2023年度，网络评选出河南最值得去的5大景点：洛阳龙门石窟，郑州嵩山少林寺，开封清明上河园，洛阳老君山，洛阳白云山，小张和小李打算从以上景点中各自随机选择一个去游玩，则他们都去洛阳游玩，且不去同一景点的概率为 .
15．设是随机事件，且，则 ．
16．甲 乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲 乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为 ；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 .
四、解答题
17．某中学高一年级统计学生本学期20次数学周测成绩（满分150），抽取了甲乙两位同学的20次成绩记录如下：
甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，142，141
乙：102，105，113，114，116，117，125，125，127，128，128，131，131，135，136，138，139，142，145，150
(1)将同学乙的成绩分成，，，，，完成下列频率分布表，并画出频率分布直方图：
分组 频数 频率
合计 20 1
(2)现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意取出2个成绩，求取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率.
18．某校为了增强学生的安全意识，为学生进行了安全知识讲座，讲座后从全校学生中随机抽取了300名学生进行笔试（试卷满分100分），并记录下他们的成绩，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图．
(1)求这部分学生成绩的众数与平均数（同组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)为了更好的了解学生对安全知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第4、5组中用等比例分层抽样的方法抽取6名学生，进行第二轮比赛，最终从这6名学生中随机抽取2人参加市安全知识竞赛，求90分（包括90分）以上的同学恰有1人被抽到的概率．
19．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数；
(2)为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层随机抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率．
20．现用分层抽样的方法从某中学的学生中抽取100名学生参加知识竞赛，对其成绩进行统计分析．得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)估计该校学生知识竞赛成绩的第60百分位数（精确到0.1）；估计该校学生知识竞赛成绩的众数、平均数；
(2)从样本中成绩是90分以上（包括90分）的学生中选一人，求选到前3名学生的概率（前3名分数各不同）
21．当前，奥密克戎变异毒株传播速度快、隐匿性强、感染风险高.为进一步巩固疫情防控成果，自2022年5月23日起，7月4日止，在石家庄市开展每周一次城乡居民全员核酸检测筛查.燕都融媒体记者探访石家庄三处核酸检测点，观察到现场居民对新的管理措施反应较平静，已做好常态化检测准备，同时希望检测网点分布更均衡，获取检测结果更及时，以便大家在做好疫情防控的同时，尽量不影响日常工作与生活.在早6点到7点时间段，记者从所有参加检测的居民中分别抽取100人的年龄进行统计分析（抽取的居民年龄均在区间[16,40]内），经统计得出年龄频率分布直方图．回答下列问题：
(1)利用频率分布直方图，估计参加检测居民的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)用分层抽样方法在年龄区间为和周岁的居民中抽取人，再从这人中随机抽取人，这人年龄恰好都在区间内的概率．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【详解】从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种：
①3个球全是黄球；
②2个黄球和1个蓝球；
③1个黄球2个蓝球；
④3个球全是蓝球．
对于A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②，
∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A正确；
对于B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①，
∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④，
∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C错误；
对于D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④，
∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．
故选：A．
2．D
【分析】首先求一元二次方程有解时，的取值范围，再利用古典概型概率公式，即可求解.
【详解】因为一元二次方程有解，所以，解得且，
集合中含有9个元素，其中满足且的有4个，
故一元二次方程有解的概率为．
故选：D
3．C
【分析】根据随机事件的知识确定正确答案.
【详解】根据随机事件的知识可知：①②③是随机事件，
④是不可能事件，所以随机事件的个数为个.
故选：C
4．D
【分析】由古典概型的概率公式进行求解即可.
【详解】不妨设实力排名第一的选手排在上半区1号位置，那么实力排名第二的选手共有15个位置可占，当且仅当实力排名第二的选手在下半区时，他才能圆“银牌之梦”，因此所求概率为．
故选：D.
5．A
【分析】根据古典概型求概率的方法计算即可.
【详解】用表示同时抛出的两枚均匀骰子投出的点数，一枚点数为，一枚点数为，则全部结果有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共有36种情况，
其中两枚骰子点数相同有6种情况，所以概率为，故A正确；
两枚骰子点数都是偶数有9种情况，所以概率为，故B错；
两枚骰子点数之和为5的倍数有7种情况，所以概率为，故C错；
两枚骰子点数之和小于6有10种情况，所以概率为，故D错.
故选：A.
6．D
【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率可判断A；根据独立事件乘法公式、互斥事件加法公式计算可判断B；根据对立事件的概率计算可判断CD.
【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，且，，相互独立，
对于A选项，2个球都是红球的事件为，则有，故A正确；
对于B选项，2个球中恰有1个红球的事件为，
则，故B正确；
对于C选项，至少有1个红球的事件的对立事件是，
则，
所以至少有1个红球的概率为，故C正确；
对于D选项，2个球不都是红球的事件是事件的对立事件，其概率为，
故D不正确．
故选：D.
7．D
【分析】求得所有基本事件的个数，以及满足题意的事件个数，再根据古典概型的概率公式求解即可.
【详解】记高二（1）班的2名学生分别为，高二（2）班的2名学生分别为，
高二（3）班的学生为，高二（4）班的学生为，
则从这6名学生中任选4名的事件包含
，
，共15个，
其中这4名学生来自不同班级的事件包含，
共4个，所以所求事件的概率为．
故选：D．
8．D
【分析】利用对立事件的概率结合独立事件概率乘法求解.
【详解】设试验任务不成功的的概率是，
所以成功的概率为，
故选：D.
9．AD
【分析】根据互斥事件，对立事件，事件的包含关系，事件相等的定义判断各命题即可.
【详解】根据题意，试验的样本空间，，，，.
对于选项A:因为，，所以A与B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确；
对于选项B:因为，，所以，故B错误；
对于选项C:因为，所以A与C不是互斥事件，故C错误；
对于选项D:因为，，所以，故D正确.
故选：AD.
10．ABD
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，结合题意，逐个判断即可.
【详解】对A：抛掷一枚骰子，所有基本事件为：，故，故A正确；
对B：，为互斥事件，选项B正确；
对C：，选项C错误；
对D：为对立事件，选项D正确．
故选：ABD．
11．ABD
【分析】根据给定条件，利用列举法，结合古典概率逐项计算判断即得.
【详解】红球，黄球，蓝球，黑球分别记为，不放回取球三次的试验的样本空间：
，共24个，它们等可能，
，共6个，，共6个，
，共6个，，共2个，
，共10个，
，AB正确；
，A与B相互不独立，C错误；
，D正确，
故选：ABD
12．ABC
【分析】根据已知条件，分析和时所有的基本事件的结果，利用事件互斥和两事件相互独立的定义分别判断即可.
【详解】A选项：时，若两次实验中结果为一次正面，一次反面，则事件与同时发生，
由互斥事件定义，与不互斥，A正确；
B选项：时，两次实验的结果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）种，
，，，，
所以与不相互独立，B正确；
C选项：时，三次实验的结果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），
（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）种情
况，，，，，
所以与相互独立，C正确；
D选项：时，若三次实验结果为（正，正，反），则事件与同时发生，
由互斥事件定义，与不互斥，D错误.
故选：ABC
13．/0.4
【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算即得.
【详解】依题意，此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是.
故答案为：
14．/0.24
【分析】由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】小张和小李从5个景点中各自选择1个，共有种可能，
5个景点中有3个在洛阳，则他们都选择去洛阳游玩，且不去同一景点的情况有种，
故所求概率.
故答案为：.
15．/0.125
【分析】求出，从而根据事件的运算关系求出概率.
【详解】因为，所以，
故．
故答案为：
16． /0.32 /0.42
【分析】由相互独立事件的概率公式计算即得；分甲对2个乙对1个和甲对1个乙对2个两种情况，根据相互独立事件概率乘法公式分别计算，然后可得.
【详解】设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
则有，，
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，
所以
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是．
故答案为：；
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据甲和乙的两个人的数据，填写频率分布表，以及制作频率分布直方图；
（2）首先将甲和乙中满足条件的数据编号，再利用列举样本点的方法，即可求解概率.
【详解】（1）如图，同学乙的频率分布表和频率分布直方图，
分组 频数 频率
2 0.10
4 0.20
5 0.25
6 0.30
3 0.15
合计 20 1
（2）甲乙两位同学的不低于140分的成绩共5个，甲两个成绩记作，乙3个成绩记作（其中表示150分），
任意选出2个成绩所有的取法为
，共包含10个样本点，
其中两个成绩不是同一个人，且没有满分的样本包含，共4个样本点.
所有取出的2个成绩不是同一个人的且没有满分的概率.
18．(1)众数：75；平均数：
(2)
【分析】（1）众数与平均数直接由频率分布直方图即可得到.
（2）根据分层抽样抽取6名学生并分别编号，应用列举法及古典概型的概率公式计算即可.
【详解】（1）众数为：75
平均数为：.
（2）根据等比例分层抽样的方法抽取的名学生，有人，有人，
设四人编号为，两人编号为.
则所有抽取结果：，，共个结果.
其中“分（包括分）以上的同学恰有人”所包含结果有：
，共种结果.
所以“分（包括分）以上的同学恰有人”的概率为.
19．(1)85
(2)
【分析】（1）首先根据频率和为1，求的值，再确定第85百分位数所在的组数，代入百分位数公式，即可求解；
（2）首先确定3组所抽取的人数，再通过列举样本点的方法，代入古典概型概率公式，即可求解.
【详解】（1）由题意可知，，得，
前3组的频率和为，前4组的频率和为，
所以第85百分位数在第4组，设为，
则，解得：，
所以这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数为85；
（2）由于，和的频率之比为，
故抽取的5人中，和分别为1人，2人，2人，
记的1人为，的2人为，的2人为，
故随机抽取2人的所有样本点为，
，共包含10个样本点，
其中至少有1人每天阅读时间位于的样本点为，
，共包含7个样本点，
故至少有1人每天阅读时间位于概率.
20．(1)估计第60百分位数为76.7，众数估计值为75，平均数估计值为71
(2)
【分析】（1）利用百分位，平均数及众数的概念直接求解；
（2）利用古典概型求解.
【详解】（1）得分在70以下的学生所在比例为，
得分在80以下的学生所占比例为，
所以第60百分位数位于内，
由，估计第百分位数为，
由图可，得众数位于之间，则估计值为，
平均数估计值为．
（2）样本中成绩是以上（包括）的学生共，
则选到前3名学生的概率．
21．(1)周岁；
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；根据直方图得到各年龄区间的频率，再根据平均数公式计算可得；
（2）首先求出居民年龄在区间和各抽取的人数，列举法求出所对应的概率.
【详解】（1）依题意得：，解得；
用每个年龄区间的中点值作为本区间的年龄值，
由分布图可知：年龄区间为的频率分别为，
所以参加检测的居民的平均年龄估值为：
，
即参加检测的居民的平均年龄估值为周岁；
（2）由频率分布直方图可知，年龄区间为周岁的居民有人，
年龄区间为周岁的居民有人，
用分层抽样居民年龄在区间和应分别抽取人数比为，
所以抽取的人中年龄在区间的有人，记作A，B，在的有人，a，b，c，
所以从这人中随机抽取人共有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，种结果,
这人年龄恰好都在区间内有ab，ac，bc，种结果，
所以这人年龄恰好都在区间的概率为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页