湖南省长沙市重点中学2023-2024学年高二下学期开学自主检测数学试题(无答案)

长沙市重点中学2023—2024学年度第二学期开学自主检测
数学
时量：120分钟 满分：150分
得分__________
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点在第一象限，为虚数单位，则复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在四边形中，，且，则（ ）
A. B. C. D.
4.设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A. B. C. D.
5.动点到定点的距离与到定直线：的距离的比等于，则动点的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
6.已知数列满是，，则的最小值为（ ）
A. B. C.16 D.18
7.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.图中所有小长方形的面积之和等于1 B.中位数的估计值介于100和105之间
C.该班成绩众数的估计值为97.5 D.该班成绩的极差一定等于40
10.已知，，若，则（ ）
A.的最大值为 B.的最小值为1
C.的最小值为8 D.的最小值为
11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，.若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ）
A.双曲线的离心率
B.为定值
C.的最小值为3
D.若直线与双曲线的渐近线交于、两点，点为的中点，（为坐标原点）的斜率为，则
12.已知是等比数列，满足，是其前项和，则下列说法正确的有（ ）
A.若是正项数列，则是单调递增数列
B.，，一定是等比数列
C.若存在，使对都成立，则是等差数列
D.若存在，使对都成立，则是等差数列
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，则的长为__________.
14.在的展开式中，的系数为__________.
15.已知函数，则直线与的图象的所有交点的横坐标之和为__________.
16.已知一个圆台的上、下底面半径为，，若球与该圆台的上、下底面及侧面均相切，且球与该圆台体积比为，则__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知在中，三条边，，所对的角分别为，，，向量，，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，，成等比数列，且，求边的值并求外接圆的面积.
18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，为的中点.
（1）若，证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知为数列的前项和，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，设数列的前项和为，证明：.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线：上的点到焦点的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上一点（异于坐标原点）作切线，过作直线，交抛物线于，两点.记直线，的斜率分别为，，求的最小值.
21.（本小题满分12分）
在数学探究实验课上，小明设计了如下实验：在盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球，不放回.
（1）若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次.
①求摸出的两个球中恰好有一个红球的概率；
②记摸出的红球个数为，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若1号盒中有4个红球和4个白球，2号盒中有2个红球和2个白球，现甲、乙、丙三人依次从1号盒中摸出一个球并放入2号盒，然后丁从2号盒中任取一球.已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增？
（2）若函数存在极大值，极小值，证明：.（其中是自然对数的底数）