2024年 九年级数学中考复习 二次函数与特殊三角形问题综合压轴题 专题训练（含答案）

2024年 九年级数学中考复习
二次函数与特殊三角形问题综合压轴题 专题训练
1．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴正半轴交于点，且点的坐标为，．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在此二次函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
2．如图1，抛物线与x轴交于点（A点在B点左侧），与y轴交于点,点P是抛物线上一个动点，连接

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P的横坐标为2，求的面积；
(3)如图2所示，当点P在直线上方运动时，连接,求四边形面积的最大值，并写出此时P点坐标．
(4)若点M是x轴上的一个动点，P的横坐标为3．试判断是否存在这样的点M,使得以点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．抛物线上另有一点C在第一象限，且满足，．
(1)求A，B两点的坐标，并直接写出抛物线的对称轴；
(2)求线段BC的长；
(3)探究在对称轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在．请说明理由．
4．如图，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，轴于点H，与线段交于点M，连接PC．当是以为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
5．如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为M，试判断△ACM的形状；
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积为8，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点．连接、．
(1)求的面积；
(2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴于点，交于点，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移4个单位，向下平移个单位，点M为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
7．综合与探究
如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，D是x轴上的一个动点（不与点A，O，B重合），过点D作轴，分别交抛物线，直线于点P，E．设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数解析式及点C的坐标，并直接写出直线的函数解析式．
(2)当点D在线段上运动，且E为的中点时，求m的值．
(3)连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点作于点，求坐标为何值时最大，并求出最大值；
(3)如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点点P在此抛物线上，其横坐标为m．

(1)求此抛物线的解析式．
(2)当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围．
(3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为．
①求m的值．
②以为边作等腰直角三角形，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标．
10．已知抛物线（如图所示）．
(1)填空：抛物线的顶点坐标是（　 　，　 　），对称轴是　 　；
(2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，点M在直线上．在平面内是否存在点N，使四边形为菱形？直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在请说明理由
11．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．

(1)求二次函数解析式及顶点D坐标；
(2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标；
(3)在线段上，是否存在点F，使为等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，一次函数分别交y轴，x轴于A，B两点，抛物线过A，B两点，点M为直线上一个动点，过点M作x轴垂线交抛物线与点N．
(1)求这个抛物线的解析式．
(2)当M在线段上时，求的最大值．
(3)若为等腰三角形，求点M的坐标．
13．如图，二次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数的图像相交于点．
(1)求出的值及二次函数的表达式；
(2)当随的减少而增大且时，直接写出的取值范围；
(3)在抛物线上是否存在一点，使的面积等于，若存在请求出点坐标，不存在请说明理由；
(4)在轴上确定一点使为直角三角形，请直接写出点的坐标．
14．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点D．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当∠MPA＝2∠PAC时，求直线AP的函数表达式．
(3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使以E，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图①，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，且OC＝6，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是直线BC下方抛物线上一点，过点M作MN⊥BC于点N，若线段，求点M的坐标；
(3)如图②，若点P是对称轴右侧抛物线上一点，点Q是x轴下方对称轴上一点，是否存在点P、Q，使得△CPQ为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)；
(2)存在，或．
2．(1)
(2)8
(3)
(4)存在，或
3．(1)，，对称轴
(2)
(3)或
4．(1)
(2)或．
5．(1)
(2)直角三角形，
(3)
6．(1)；
(2)最大值为，点的坐标为；
(3)点的坐标为或或．
7．(1)抛物线的函数解析式为，；直线的函数解析式为
(2)m的值为1
(3)存在，点D的坐标为或或或
8．(1)
(2)当点运动到时，最大值为
(3)点的坐标为或或或
9．(1)
(2)或
(3)①或3；②或或
10．(1)0，1；直线（或y轴）
(2)
(3)存在，，，使得四边形是菱形
11．(1)，
(2)的最大值是，点的坐标是
(3)存在，点F的坐标为或或
12．(1)
(2)4
(3)或或或或
13．(1)，二次函数的表达式为
(2)
(3)点坐标为或或或
(4)点的坐标为或或或
14．(1)；
(2)；
(3)存在，点E的坐标为或或或
15．(1)
(2)或
(3)存在，或或
答案第1页，共2页