2024年九年级中考数学解答题专题复习：三角形综合解答题（含答案）

2024年九年级中考数学解答题专题复习：
三角形综合解答题
1．如图，与都是等腰直角三角形，，，，绕着点旋转．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当点，，在同一直线上，且点在内部时，求的长．
2．如图，在中，是上一点，，交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
3．如图1，已知、都是等腰直角三角形，，，E为的中点，将绕点B顺时针旋转角，如图2，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的值；
(3)当A、D、E三点在同一直线上时，求的长．
4．在中，，点为边上的动点，连接，将沿直线翻折，得到对应的，与所在的直线交于点．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)若，．
①如图2，当与重合时，求的长；
②连接，当是以为直角边的直角三角形时，求的长．
5．如图，在中，，，直线经过点，且，，垂足分别为．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
6．如图，在中，，利用尺规在、上分别截取、，使；分别以点D和点E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．
(1)连接、，通过证明，得到，从而得到是的平分线，其中证明的依据是______（填序号）．
①；②；③；④
(2)当，______；
(3)若，，P为上一动点，求的最小值．
7．在中，点是上任意一点，延长交的延长线于点．
(1)在图1中，当时，求证：是的平分线；
(2)根据（1）的条件和结论，
①如图2，若，点是的中点，请求出的度数；
②如图3，若，且，连接、，请直接写出的度数．
8．如图，已知在四边形中，点在上，，，．
(1)请说明：；
(2)若，求的度数．
9．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F．
(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______．
(2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．
(3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围．
10．如图，，，点在边上，，和相交于点．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
11．已知在中，，，分别表示，的对边，记的面积为，分别以为边向形外作等边三角形和等边三角形．记等边三角形的面积为，等边三角形的面积为．
(1)如图1，若，，求的值；
(2)如图2，以为边向上作等边三角形（点C在内），连接．
①判断和的关系，并说明理由；
②若是等腰三角形，试探索与之间的数量关系，并说明理由．
12．在中，，沿着翻折使得点的对应点落在上，折痕为．
(1)如图1，若，试判断与的关系，并说明理由；
(2)如图2，若，，，求线段的长度．
13．如图1，在中，是与的平分线和的交点．
(1)求证：；
(2)如图2，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，是外角与外角的平分线和的交点，直接写出与的数量关系．
14．已知等边和等边，是射线上的一个动点．如图1，当点在边上时，连接，易证得．

(1)如图2，当点在边的延长线上时，连接，求的度数．
(2)如图3，当点在边的延长线上时，为线段上的一点．连接并延长，与边的延长线交于点，连接，若，求的度数．
15．综合与实践：
已知：等边．
(1)如图1，D为线段上一点，，交于点E．可知为______三角形．
(2)D为线段上一点，F为线段延长线上一点，且．
①当点D为的中点时，如图2，猜想线段与的数量关系为______．
②当D为上任意一点，其余条件不变，如图3，猜想线段与的数量关系？并说明理由．
③在等边三角形中，点D在直线上，点F在直线上，且．若的边长为2，，求的长为______．
参考答案：
1．（1）证明：，
又，
；
（2）解：如图，过作于点
当点，，在同一直线上时，是直角三角形
.
2．（1）证明：，
，，
在与中，
；
（2）解：，且，，
．
．
3．（1）证明：在中，，，
，
，
同理：，，
，
，
，
，
；
（2）如图2，旋转前，点是的中点，
，
在中，
取的中点，连接，
，
，
由旋转知，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
；
（3）①当点在线段上时，如图3，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
在中，，
，
由（1）知，，
，
；
②当点在线段的延长线上，如图4，
同①的方法得，，
，
由（1）知，，
，
，
即：满足条件的长为或．
4．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由折叠得，
∴，
∴；
（2）①∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，则，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，过点C作于H，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得，
∴
综上，的长为或．
5．（1）证明：，，，
，
，，
，
在和中
，
；
（2）解：，
，，
∵，
，
又，，
，
，
∴四边形的面积为．
6．（1）解：连接、，
在和中，
，
∴，
故选：④；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点G作于H，即为的最小值，
∵，，，
∴，
∵，，是的平分线，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵P为上一动点，
∴的最小值．
7．（1）证明：如图1，，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线．
（2）解：①如图2，连接
∵在平行四边形中，，
，
，
，
又，
∴是等腰直角三角形，即：，
由（1）可得：，
，
又∵是的中点，
，
，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，即：；
②如图3，延长相较于H，连接．
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形为平行四边形
由（1）可得：AD=DF，CE=CF
∴平行四边形是菱形．平行四边形是菱形．
∵，
∴,,
∴是等边三角形，即，
在与中，，
∴，
∴，
∴．
8．（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．（1）解：是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，，
，且
（2）（1）中结论仍成立，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，，
，且，
；
（3）是等边三角形，
，
当旋转=时，B、C、D三点共线，此时，
当旋转=时，B、C、D三点共线，此时；
∴．
10．（1）证明：和相交于点，
．
在和中，，
．
又，
，
．
在和中，
，
≌．
（2）解：≌
≌
11（1）解：如图，过点D作于点P，过点E作于点Q，
∵均为等边三角形，
∴
∴，
∴
∵，，
∴，，
∴（负值均舍去），
∴；
（2）解：①∵是等边三角形，是等边三角形，
∴
∴
∴
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
而
∴
∴；
②若是等边三角形，则有或两种情况：
当时，
，
∴
∴
∴即
当时，
由①知，
∴
∴，
又是等边三角形，
∴
如图，作
∴
由勾股定理得，
∴
解得，，
又
∴，
∴
∴即
所以，则有或．
12．（1）且，理由如下：
由翻折可知，
，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
；
（2），，
，，
设，则，
在中，，
，
即的长度为0.9
13．（1）解：、分别时和的角平分线
∴，，
在中，，即：，
在中，，即：，
代入上式得：
即：；
（2），理由如下：
设，，
∵是与外角的平分线和的交点
∴，，，
∴在中，，即：，
在中，，即：，
代入上式得：，
即：；
（3）
设，，
∵是外角与外角的平分线和的交点，
∴，，，
∴在中，，即：，
在中，，即：，
代入上式得：，
即：．
14．（1）解：都是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
．
是等边三角形，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
∴，
．
，
．
在和中，，
，
．
是等边三角形，
由三线合一性质可知，．
15．（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：等边；
（2）解：①，理由如下：
∵，点D是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
②，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，是的外角，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
③∵的边长为2，，
∴点D在线段的延长线上或线段的延长线上，
若点D在线段的延长线上，在上截取，如图：
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
若点D在线段的延长线上，作，交直线于点E，如图：
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上所述，的长是5或1．
故答案为：5或1．