2023-2024学年重庆市开州区文峰教育集团九年级（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市开州区文峰教育集团九年级（下）入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是( )
A. B. C. D.
2.下列四个图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列各点中，在反比例函数的图象上的是( )
A. B. C. D.
4.若两个相似三角形的周长之比是：，则它们的面积之比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
5.如图，，，垂足为，，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.估计的值应在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
7.观察下列四个图形组成的一组图形，发现它们是按照一定规律排列的，依此规律排列下去，第个图形共有个点组成．( )
A. B. C. D. ．
8.如图，与相切于点，，，则长为( )
A. B. C. D.
9.如图，已知正方形的边长为，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当：：时，则( )
A.
B.
C.
D.
10.已知关于的两个多项式，，其中为常数，下列说法：
若的值始终与无关，则；
关于的方程始终有两个不相等的实数根；
若的结果不含的项，则；
当时，若的值为整数，则的整数值只有个．
以上结论正确的个数有( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11. ______．
12.若一个多边形的内角和比外角和大，则这个多边形的边数为______．
13.将分别标有数字，，的三个小球放入一个不透明的袋子中，这些小球除数字外其他都相同从中随机摸出一个小球记下数字后放回，再从中随机摸出一个小球并记下数字，则两次摸出的小球数字不同的概率______．
14.某校截止到年底，校园绿化面积为平方米为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米利用方程思想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为______．
15.如图，矩形中，，以为圆心，为半径作弧交于点，则图中阴影部分的面积为______．
16.如图，在等腰三角形纸片中，，，折叠该纸片，使点落在点处，折痕为，则 ______
17.若关于的不等式组有且仅有四个整数解，关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和是______．
18.若一个三位正整数各个数位上的数字均不为满足，则称这个三位正整数为“吉祥数”对于一个“吉祥数”，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数，记如：满足，则为“吉祥数”，那么，所以则最小的“吉祥数”是______；对于任意一个“吉祥数”，若能被整除，则满足条件的“吉祥数”的最大值是______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：
；
．
20.本小题分
如图，在中，，，将绕点顺时针旋转能与重合．
请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为；不要求写作法，保留作图痕迹
在问情况下，连接，求证：≌填空．
证明：点是边中点，
______，
，，
，
______，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
______，
在和中，
≌．
21.本小题分
“感受数学魅力，提升数学素养”，某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取名同学的成绩进行整理、描述和分析单位：分，满分分，分及分以上为优秀，将学生竞赛成绩分为，，三个等级：：，：，：下面给出了部分信息：
七年级名学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，，；
八年级名学生的竞赛成绩在等级中的数据为：，，，，．
两组数据的平均数、中位数、众数如表所示：
学生 平均数 中位数 众数
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______， ______， ______；
根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由一条理由即可；
若八年级共有名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．
22.本小题分
八年级学生到距学校的景区游览景区提供了快车和慢车两种车型前往学校接学生到景区，所有车辆均沿同一路线往返．
由于快车有其他接送任务，八年级班学生乘慢车从学校出发时，快车才从景区出发前往学校接八年级班学生，小时后快车在前往学校的途中与慢车相遇若快车每小时比慢车多行驶，求慢车的平均速度；
有四名学生负责准备活动道具，在八年级班学生乘快车出发小时后，他们四人才完成准备工作，学校立即安排一辆小车送他们前往景区为安全起见，快车接上学生返回景区时速度减慢，结果和小车同时抵达景区若小车速度是快车返回景区的速度的倍，求快车返回景区的平均速度．
23.本小题分
如图，在矩形中，动点从点出发，沿折线运动运动路线不包含点、点，当它到点时停止，设点运动的路程为，连接、、设的面积为．
直接写出与的函数关系式，并注明的取值范围，在的取值范围内画出该函数图象；
根据函数图象，写出该函数的一条性质；
根据函数图象，直接写出当时的值结果保留一位小数，误差范围．
24.本小题分
想了一百种初夏的文案，也不及一场露营的美好，欢欢和乐乐两家人周末自驾去草原营地露营如图，两家人同时从点出发，欢欢驾驶燃油车自西向东行驶到点，再沿北偏东方向行驶到营地，由于乐乐驾驶电动汽车，需先到位于点东北方向的充电站充电，充电时间为分钟，完成充电后立即从点出发，前往位于点正东方向的营地已知千米，千米参考数据：，
求的长度结果保留根号；
欢欢到达营地后立即开始搭帐篷，搭建过程需个小时，已知欢欢驾驶燃油车的速度为千米时，乐乐驾驶电动汽车的速度为千米时，请计算说明欢欢能否在乐乐到达营地前搭完帐篷．
25.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，直线与轴交于点，与抛物线交于点，．
求该抛物线与直线的解析式；
若点是轴下方抛物线上一动点，连接、求面积的最大值及此时点的坐标；
将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线：，新抛物线与原抛物线交于点，在直线上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26.本小题分
如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点．
如图，连接，若，，，求的面积；
如图，作的角平分线交于点，连接，若，求证：；
如图，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接，，点在边上运动的过程中，当时，直接写出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在．
求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加一个“”，据此解答即可．
【解答】
解：根据相反数的含义，可得
的相反数是：．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确；
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
本题考查了中心对称图形的知识，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3.【答案】
【解析】解：、，故不在函数图象上；
B、，故不在函数图象上；
C、，故在函数图象上；
D、，故不在函数图象上．
故选：．
根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
4.【答案】
【解析】解：两个相似三角形的周长之比是：，
两个相似三角形的相似比是：，
它们的面积之比是：：，
故选：．
根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图所示，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据直角三角形的两锐角互余，求出，再根据平行线的性质即可解答．
本题主要考查平行线的性质、垂线及直角三角形的性质，解决此题时，根据直角三角形的性质求出的度数是解决此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：
，
，
，
故选：．
先计算二次根式的乘法，再算减法，然后估算出的值的范围，从而估算出的值的范围，即可解答．
本题考查了无理数的大小，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：第一个图形有个；
第二个图形有个；
第三个图形有个；
第个图形有个，
当时，有个．
故选：．
仔细观察图形中的个数，找到图形的变化的规律，即可解答．
考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．本题的关键规律为第个图形有个．
8.【答案】
【解析】解：与相切于点，
，
，
．
，
．
故选：．
利用圆的切线的性质和含角的直角三角形的性质解答即可．
本题主要考查了圆的切线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
：：，
：：，
，，
，
在和中，
≌，
，
故选：．
先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证≌，可得．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，，
，
的值始终与无关，
，
故不符合题意；
，
，
关于的方程始终有两个不相等的实数根，
故符合题意；
，
的结果不含的项，
，
解得；
故符合题意；
当时，，
，( )
的值为整数，
，
解得或，
故符合题意；
故选：．
根据，的值始终与无关，可得；根据，利用判别式，可得关于的方程始终有两个不相等的实数根；根据，当时，的结果不含的项；根据，由的值为整数，可得，求出的值．
本题考查整式的运算，熟练掌握整式的加减乘除运算法则，一元二次方程判别式与根的关系是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
本题考查的是零指数幂及负整数指数幂，熟知运算法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键．
根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可．
【解答】
解：设多边形的边数是，
根据题意得，，
解得．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两次摸出的小球数字不同的结果有，，，，，，共种，
两次摸出的小球数字不同的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的小球数字不同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
故答案为：．
根据年底绿化面积年平均增长率年底绿化面积，列出一元二次方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据直角三角形的边角关系求出以及各个内角度数，进而求出扇形圆心角度数，根据扇形面积、矩形面积、三角形面积的计算方法，依据进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，矩形的性质以及直角三角形的边角关系，掌握扇形面积的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
16.【答案】
【解析】解：，且，
；
由题意得：
，
，
，
故答案为：．
首先运用等腰三角形的性质求出的大小；借助翻折变换的性质求出的大小问题即可解决．
该命题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质找出图中相等的边或角，利用等腰三角形的性质等几何知识来分析、判断、解答．
17.【答案】
【解析】解：关于的不等式组整理得，
关于的不等式组有且仅有四个整数解，
，
，
解分式方程得且，
关于的分式方程有整数解，且为整数，
符合条件的所有整数为，，
符合条件的所有整数的和为：．
故答案为：．
解一元一次不等式组和分式方程，根据已知列出关于的不等式，即可解得的范围，从而可得答案．
本题考查解一元一次不等式组和分式方程，解题的关键是掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．
18.【答案】
【解析】解：，各个数位上的数字均不为，这个三位数要最小，
百位上是，十位上是，
个位是，
最小的“吉祥数”是；
设，其中，则，
，
，且，，均不为，
，，，
当时，，不能被整除，不合题意，
当时，，不能被整除，不合题意，
当时，，不能被整除，不合题意，
当时，，不能被整除，不合题意，
当时，，能被整除，符合题意，
，
，，，
或或，
当时，，不能被整除，不合题意，
当时，，不能被整除，不合题意，
满足条件的“吉祥数”的最大值是．
故答案为：，．
根据题意最小的“吉祥数”百位上是，十位上是，则个位是即可解答；
设，其中，则，表示出，，，，然后把依次代入找出符合题意得即可解答．
本题考查整式的加减，因式分解，分类讨论是解题关键是解题关键．
19.【答案】解：
；
．
【解析】根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可．
本题考查分式的混合运算、平方差公式和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图，分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点、，过点、作直线，交于点，则直线即为所求作的垂直平分线；
证明：点是边中点，
，
，，
，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
在和中，
，
≌．
故答案为：，，，．
分别以点、为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点、，过点、作直线，交于点，则直线即为所求作的垂直平分线；
先根据中点的定义和含角的直角三角形性质证明，再根据旋转的性质和直角三角形性质得到，根据“边角边”即可证明≌．
本题考查了尺规作图作已知线段的垂直平分线，旋转的性质，含角的直角三角形的性质等知识，理解题意，熟知相关知识，并根据已知条件灵活应用是解题关键．
21.【答案】
【解析】解：由扇形统计图可得，八年级等级的有人，
把八年级名同学的成绩从小到大排列，排在中间的数分别是，，故中位数；
在，，，，，，，，，中，出现次数最多的是，
众数；
，即，
故答案为：，，；
八年级的成绩更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级，所以八年级的成绩更好；
名，
答：估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数约名．
根据中位数，众数定义可得，的值，由八年级，等级的人数可求出的值；
根据平均数，众数、中位数以及方差的意义解答即可；
用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可．
本题考查了中位数，众数，方差以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数，方差等概念是解答本题的关键．
22.【答案】解：设慢车的平均速度为，则快车的平均速度为，
根据题意得：，
解得：．
答：慢车的平均速度为；
设快车返回景区的平均速度为，则小车的平均速度为，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：快车返回景区的平均速度为．
【解析】设慢车的平均速度为，则快车的平均速度为，利用路程速度时间，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设快车返回景区的平均速度为，则小车的平均速度为，利用时间路程速度，结合快车返回景区比小车多用小时，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；找准等量关系，正确列出分式方程．
23.【答案】解：当点在上时，即，，
当点在上时，即，，
；
图象如下图：
根据图象可知：当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；
当时，，
，
当时，，
，
综上所述：或．
【解析】由三角形的面积公式可求解，根据解析式画出图象即可；
根据图象可得当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；
将代入解析式可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积公式，函数图象的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24.【答案】解：过点作交延长线于点，过点作于点，
由题意知，，
四边形是矩形，
，，
在中，
，千米，
，
千米，
千米，
在中，
千米，，
，
千米，
答：的长度为千米．
在中，
，
，
千米，
在中，
千米，，
，，
千米，
千米，
千米，
欢欢家从点出发到点所走的路程为：千米，
所用时间为：小时，
乐乐从点出发到点所走的路程为：千米，
所用时间为：小时，
，
欢欢不能否在乐乐到达营地前搭完帐篷．
【解析】过点作交延长线于点，过点作于点，在中，求出，再在中，求出即可；
在中，求出，在中，求出，进而求出，，再分别求出欢欢和乐乐从到所花的时间，比较即可．
本题考查解直角三角形的方向角问题，作辅助线构建直角三角形是解题的关键．
25.【答案】解：把、代入，得，解得，
抛物线的解析式为；
，
，
设直线的解析式为，则，解得，
直线的解析式为．
如图，作轴交直线于点，作于点．
设，则，
．
，，
，，
，
，
，
，且，
当时，，此时
面积的最大值为，此时点的坐标为
存在．
如图，在直线上取一点，使它的横坐标为，则，，
点即为抛物线平移后点的对应点，
可知抛物线向右、向上各平移个单位长度．
，
平移后的抛物线为，其顶点坐标为；
原抛物线与新抛物线都经过点，
点即为新抛物线与原抛物线的交点．
作轴于点，则，，
，
．
由，得或不符合题意，舍去，
，
．
当时，则点与点关于点对称，
；
当时，
，
，
，，
；
当时，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
；
当时，则，
，，
综上所述，点的坐标为或或或
【解析】把、代入，列方程组求、的值，再用待定系数法求直线的解析式；
过点作轴的垂线交直线于点，作于点，用点的横坐标分别表示线段、的长，得出面积关于的函数解析式，再利用二次函数的性质求出面积的最大值及点的坐标；
先求出点的坐标及线段的长，再按为腰或底边分别求出相应的情况下点的坐标．
此题重点考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、用待定系数法求函数解析式、用解方程组的方法求函数图象的交点坐标、解一元二次方程、化简二次根式等知识和方法，解题时应注意数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题计算烦琐，难度较大，属于考试压轴题．
26.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
在直角中，，，
，
，
，
，；
证明：如图中，过点作交的延长线于点．
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
；
解：如图，
，
，
当时，，
将沿折叠，得到，
，
又，
，，
是等边三角形，
设，则，
，
，
，
在中，，
如图，连接，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
【解析】，利用等腰直角三角性质、，再利用勾股定理求得，计算出即可求出面积；
如图中，过点作交的延长线于点证明≌，推出，再证明≌，推出，，推出，推出是等腰直角三角形，可得结论；
根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，证明是直角三角形，进而勾股定理求得，即可求解．
本题考查了全等三角形全等的证明和性质的综合运用，还考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理；勾股定理解直角三角形，解题的关键是旋转构造全等．
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