2023-2024学年江苏省盐城市阜宁重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省盐城市阜宁重点中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过，两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知书架上有本不同的数学书，本不同的化学书，从中任取本书若数学书，化学书每种都取出至少一本，则不同的取法种数为( )
A. B. C. D.
5.已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.已知是平行六面体，，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线：与圆：交于，两点，当最小时，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关排列数、组合数的等式中，其中，，，正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知数列满足，，数列满足记数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. B. 数列是等差数列
C. D.
11.已知函数的导函数的极值点是的零点，则( )
A. 函数在上单调递增
B. 函数的图像关于点中心对称
C. 若，则
D. 过坐标原点仅有一条直线与曲线相切
12.已知直线与抛物线：相交于，两点，其中，分别过，作抛物线准线的垂线，垂足分别，，线段的中点到准线的距离为，则下列命题正确的是( )
A. 若直线过抛物线的焦点，则焦点在以线段为直径的圆外
B. 若直线过抛物线的焦点，则的最小值为
C. 若，则
D. 若，则的面积的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.将本不同的书分发给位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为______用数字作答
14.已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为______．
15.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为______．
16.已知点，是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知等差数列的首项为，公差数列为公比的等比数列，且，，成等差数列．
求数列和数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为菱形且．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知数列的首项，前项和为，且．
证明：是等比数列；并求出数列的通项公式．
令，求函数在处的导数．
20.本小题分
如图所示，四边形为圆柱的轴截面，点为圆弧上一点点异于，．
证明：平面平面；
若，，且二面角的余弦值为，求的值．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆：和定点，为圆上的动点，线段的垂直平分线与直线交于点，设动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
若，为曲线上两点，点在直线上，试在直线过点；；直线过点三者中选择其中两者作为条件，剩下的一个作为结论，并证明其成立．
22.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
设，对于任意，均存在，使得，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由直线过，两点，可知的斜率，
设直线的倾斜角为，则，且，可得．
故选：．
根据、两点的坐标，算出直线的斜率，继而利用斜率与倾斜角的关系算出答案．
本题主要考查直线的斜率公式、直线的倾斜角及其应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
根据等差数列的性质求得，进而求得．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，，则，即，
解得，，
的渐近线方程为．
故选：．
由已知结合双曲线的几何性质求得，则答案可求．
本题考查双曲线的几何性质，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由书架上有本不同的数学书，本不同的化学书，
从中任取本书，若数学书，化学书每种都取出至少一本，
可分为两类：若本数学书，本化学书，有种；
若本数学书，本化学书，有种，
所以不同的取法种数共有种．
故选：．
根据题意，分为本数学书，本化学书和本数学书，本化学书，两类情况，结合排列组合，即可求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
将代入，得，．
故选：．
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，平行六面体中，有，
则，
故AC．
故选：．
根据题意，分析可得，进而由空间向量数量积的计算公式计算可得答案．
本题考查空间向量的应用，涉及两点间距离的计算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图，由题意得：，
由，得，所以过定点．
设与轴交于点，当最小时，则，可得，所以，
则，，因为，
所以在中，，
在中，，
所以．
故选：．
由题意可得直线过定点，进而可得，可得，利用可求结论．
本题考查直线过定点问题，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数的应用、数形结合思想，属于中档题．
只需方程方程在有两个不相等实根．即，令，则结合其图象即可求解．
【解答】
解：．
要使函数在其定义域内既有极大值也有极小值，
只需方程在有两个不相等实根．
即，令，则．
当，，
当，，
在递增，在递减．
且，
其大致图象如下：
，．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：对于，，选项A正确；
对于，，选项B错误；
对于，，选项C正确；
对于，，选项D正确．
故选：．
中，根据组合数公式，判断；
中，根据组合数公式，计算的值，判断即可；
中，根据排列数公式，计算；
中，根据组合数公式，计算．
本题考查了排列数与组合数公式计算问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确；
由以上可知，所以，从而，故A错误；
而，
所以，故C对错．
故选：．
由选项提示，用等差数列验证B正确，进一步可得数列的通项公式验证A错误，由数列定义，可用裂项相消法求它的前项和，进而验证．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，得，
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；
是的极小值点，即是的极小值点，也是的零点，
，解得，；
对于，在上恒成立且不恒为，
在上单调递增，A正确；
对于，
，
，
的图象关于点中心对称，B正确；
对于，由，得，
在上单调递增，，
由知：，即，，
，C正确；
对于，设过坐标原点的直线与曲线相切于点，
，切线方程为，
即切线方程为：，
代入点，得，
即，解得或，
过坐标原点有两条不同的直线与相切，D错误．
故选：．
求出的极值点，结合该极值点为的零点可构造方程求出的值，从而得到，利用的正负可确定的单调性，知A正确；验证可知，知B正确；利用中的结论可推导得到C正确；利用过某一点切线方程的求法可确定D错误．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，考查了转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，若过焦点，所以，，如图，
所以，，
所以，
所以在以为直径的圆上，故A错误；
对于，若直线过抛物线的焦点，
当直线斜率不存在时，，此时，
当直线斜率存在时，设：，联立
解得，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故B正确；
对于：设中点在准线上的射影为，如图，
设，，，
所以，，
在中，由余弦定理有，
所以，
所以，所以，即，故C正确；
对于，当轴，位于左侧，如图，
因为时，所以，
此时，故D错．
故选：．
根据抛物线的性质可得角度关系判断；设直线方程与抛物线方程联立，由抛物线的定义结合韦达定理和基本不等式判断；在中利用余弦定理，结合抛物线的性质判断；利用特殊点法判断．
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：甲、乙两本书可以同时发给某一位同学，共有：种；
甲、乙两本书同时发给某一位同学，种；
将本不同的书分发给位同学，其中甲、乙两本书不能同时发给某一位同学，每位同学都发到书，
每本书只能给一位同学，则不同的分配方案数为：
种；
故答案为：．
利用没有限制条件的分配方案减去甲、乙两本书同时发给某一位同学的方案，求解即可．
本题考查排列组合的简单应用，逆向思维的应用，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：由抛物线的方程可得焦点，
由题意焦点关于直线的对称点，
设圆的方程为，
即圆心，半径，
到直线的距离，
所以弦长，解得．
所以圆的方程为．
故答案为：．
由抛物线的方程可得焦点的坐标，进而可得圆的圆心坐标，设圆的标准方程，求出圆心到直线的距离，由弦长公式，可得圆的半径的值，即求出圆的方程．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与圆相交时相交弦长公式的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设，
因为，
所以，
所以，
所以在上单调递减，
又，
所以不等式，
所以，
所以，
所以，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
设，求导分析单调性，可得在上单调递减，则不等式，化为，即，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可作图如下：
由图可知：，
由平分，则，
因为，所以，
由是关于直线的对称点，则，，共线，，，，
所以，
在中，，
可得，
解得，，
在中，由勾股定理，可得，
代入可得：，
化简可得：，
所以其离心率．
故答案为：．
由题意可得，，三点共线，再由椭圆的定义可得，的表达式，再由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率的值．
本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，角平分线的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由于等差数列的首项为，公差，
所以；
由数列为公比是的等比数列且，，成等差数列，
知，即，解得，
所以；
由知，，
，
．
【解析】直接根据等差数列，等比数列基本量的运算即可得结果；
数列分为奇数项和偶数项，结合等差数列和等比数列的前项和公式即可得结果．
本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：在直四棱柱中，底面为菱形且，
设，，
在直四棱柱中，底面为菱形，
则有平面，，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
由得，平面的一个法向量为，
设点到平面的距离为，则，
点到平面的距离为．
【解析】设，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
求出，平面的一个法向量为，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查三点共线、线面垂直的判定与性质、正方体截面、多面体内切球、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：证明：，
当时，，
两式相减得，时，，
当时，，
又，
知，所以，
此时，且，所以，
故是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即；
由题意有，
由有，
所以，
令
所以
即，
所以．
【解析】根据已知条件，结合的解析式，推得，再结合构造数列法，即可求解；
结合的结论，以及错位相减法，即可求解．
本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于难题．
20.【答案】解：证明：为圆弧一点，为圆直径，，
在圆柱中，平面，平面，，
，平面，
平面，平面平面；
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
设，由，
，，
，，
设平面的一个法向量为，
，，
由题知，平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
．
【解析】由面面垂直的判定定理即可证明；
建立空间直角坐标系，由向量法表示二面角的余弦值，从而建立关于的方程，求解即可．
本题考查面面垂直的证明和二面角的求法，属于中档题．
21.【答案】解：因为，
所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
此时，，
解得，
则，
故曲线的方程为；
证明：选择为条件，为结论，
若直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
此时，
则直线的方程为，
令，
解得
，
所以直线过定点；
若直线的斜率不存在，结论显然成立；
综上，直线过定点；
选择为条件，为结论，
若直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，
因为直线过定点，
所以直线的方程为，
此时点的横坐标为，
因为，
所以，
则，
即；
若直线的斜率不存在，结论显然成立；
综上，；
选择为条件，为结论，
若直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为且直线过点，
所以，
因为点在直线上，
所以，
此时，
因为，
所以，
即，
整理得，
解得；
若直线的斜率不存在，结论显然成立．
综上，直线过点．
【解析】由题意，根据题目所给信息以及椭圆的定义进行求解即可；
对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线的斜率存在时，设出直线的方程和，两点的坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，对选择的两个条件进行分析转化，再进行求解即可．
本题考查轨迹方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：，
，
当时，，在为单调递减函数，
当时，，
当时，在为单调递减函数；
当时，在上是减函数，上是增函数．
，，
在单调递增，则当时，，
又对于任意，均存在，使得，
对于任意，均有恒成立，
由知：当时，在为单调递减函数，
，解得，不满足；
当时，在为单调递减函数，
，解得，不满足；
当时，在为单调递增函数，
，，满足；
当时，
，不满足．
综上，实数的取值范围．
【解析】解导数不等式即可求解；
对于任意，均有恒成立，分，，，讨论即可．
本题主要考查了利用函数的导数研究函数的单调性，函数不等式求参，属于难题．
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