2023-2024学年福建省莆田二十五中高一(上)期末数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.“实数”是“函数在上具有单调性”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.函数的零点个数为( )
A. B. C. D.
3.已知函数是定义在区间上的增函数,则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
5.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数.若的最小正周期是,且当时,,则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数是上的减函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数其中若,在区间上单调递增,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.以下四个命题,其中是真命题的有( )
A. 命题“,”的否定是“,”
B. 函数的图象中,相邻两条对称轴之间的距离是
C. 函数且的图象过定点
D. 若某扇形的周长为,面积为,圆心角为,则
10.已知函数,则( )
A. 是奇函数 B. 的最小正周期为
C. 在上是增函数 D. 的图象关于点对称
11.已知,,且,则( )
A. B. C. D.
12.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,令,则关于函数说法正确的是( )
A. 函数的图象关于原点对称 B. 函数的图象关于轴对称
C. 函数的最小值为 D. 函数在上为减函数
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若用二分法求方程在初始区间内的近似解,则第三次取区间的中点 ______.
14.函数的单调递减区间是______.
15.的值为______.
16.已知函数是定义域为的偶函数,且当时,其表达式为,则当时,其表达式为 ______.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简求值:
Ⅰ;
Ⅱ已知,求的值.
18.本小题分
已知不等式的解集为,设不等式的解集为集合.
求集合;
设全集为,集合,若是成立的必要条件,求实数的取值范围.
19.本小题分
已知函数,.
求的最小正周期和最大值;
设,求函数在的单调递减区间.
20.本小题分
在平面直角坐标系中,已知锐角的终边与单位圆的交点为.
求,;
在,,这三个条件中任选一个条件补充在下面把序号填在答题卡对应位置的横线上并解答问题.
问题:已知,_____,求.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分
21.本小题分
已知函数为奇函数.
求实数的值,并用定义证明在上的单调性;
若不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.
22.本小题分
已知幂函数.
若不是奇函数,解不等式;
若是奇函数,且函数满足,求函数的解析式.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:函数开口向上,对称轴方程为,
当时,对称轴方程为,所以函数在上单调递增,
所以“实数”是“函数在上具有单调性”的充分条件;
当函数在上具有单调性,因为函数的对称轴方程为,则,解得,
所以“实数”是“函数在上具有单调性”不必要条件.
综上所述:“实数”是“函数在上具有单调性”充分不必要条件.
故选:.
分别讨论时,函数在给定区间上是否单调,及函数的给定区间上单调时,求出的范围,可以判断结论.
本题考查充分必要的判断方法,二次函数的单调性的求法,属于基础题.
2.【答案】
【解析】解:函数的定义域为,
由,得,
在坐标系中分别作出函数,的图象如图:
由图象可知两个函数只有个交点,
函数的零点个数为个.
故选:.
由,得,然后在坐标系中分别作出函数,的图象,利用图象观察函数零点的个数.
本题主要考查函数零点的个数判断,利用数形结合的思想是解决本题的关键.
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的单调性的性质,属于基础题.
由函数的单调性的性质可得,由此求得的取值范围.
【解答】
解:函数是定义在区间上的增函数,则满足,
,解得,
故选:.
4.【答案】
【解析】解:函数的定义域为,即,
,即的定义域为.
又,,取交集可得函数的定义域为.
故选:.
由已知求得的定义域,结合分式的分母不为,可得函数的定义域.
本题考查函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的求解方法,是基础题.
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性,周期性以及应用区间上的解析性求函数值,属于基础题.
要求,则必须用来求解,那么必须通过奇偶性和周期性,将变量转化到区间上,再应用其解析式求解.
【解答】
解:的最小正周期是
函数是偶函数,.
故选:.
6.【答案】
【解析】解:函数是上的减函数,
,
解得:.
实数的取值范围是:
故选:.
由分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性,列出不等式组,由此能求出实数的取值范围.
本题考查满足条件的实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合理运用.
7.【答案】
【解析】解:.
故选:.
以为整体,利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.
本题主要考查了三角函数的二倍角公式,属于基础题.
8.【答案】
【解析】解:对于,由,
解得,
可得函数的单调递增区间为.
因为在区间上单调递增,所以,所以.
当时,由在区间上单调递增,可知,得.
当时,由在区间上单调递增,可知,解得.
当时,由在区间上单调递增,可知,无实数解.
易知,当或时不满足题意.
综上,的取值范围为.
故选:.
由题意,利用正弦函数的单调性求出单调递增区间,然后分类讨论可得.
本题主要考查正弦函数的单调性,属于中档题.
9.【答案】
【解析】解:对于:命题“,”的否定是“,”故A正确;
对于:函数的图象中,函数的最小正周期为,相邻两条对称轴之间的距离是,故B错误;
对于:函数且,令,解得,故函数的图象过定点,故C正确;
对于:若某扇形的周长为,面积为,圆心角为,故:,解得或则或,故D错误.
故选:.
直接利用命题的否定,函数的性质,对数函数经过的定点,扇形的周长和面积判断、、、的结论.
本题考查的知识要点:命题的否定,函数的性质,对数函数经过的定点,扇形的周长和面积,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.
10.【答案】
【解析】解:根据函数,可得该函数为奇函数且最小正周期为,故AB成立;
当,,故在上是增函数,故C正确;
令,求得,故它的图象不关于点对称,故D错误,
故选:.
由题意,利用诱导公式化简函数的解析式,再根据正弦函数的图象和性质,得出结论.
本题主要考查诱导公式,正弦函数的图象和性质,属于基础题.
11.【答案】
【解析】解:因为,,且,
所以,当且仅当,即,时取等号,
所以,
所以,A正确;
,当且仅当,即,时取等号,B错误;
,当且仅当时取等号,C正确;
,当且仅当,即,时取等号,
所以,即,
所以,D正确.
故选:.
由已知结合基本不等式检验各选项即可判断.
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用,属于中档题.
12.【答案】
【解析】解:因为函数的图象与函数的图象关于直线对称,
所以,则,,
,
则函数为偶函数,图象关于轴对称,所以B正确,A错误;
函数在上单调递减,在上单调递增,
根据复合函数的单调性可得,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,所以C正确,D错误.
故选:.
求出的解析式后可研究函数的奇偶性、单调性和最值等性质,从而可得正确的选项.
本题主要考查反函数的应用,属于中档题.
13.【答案】
【解析】解:设,
则,,,
第一次取区间的中点,
,
,
故的零点所在的区间为,
第二次取区间的中点,
,
,
故的零点所在的区间为,
第三次取区间的中点.
故答案为:.
根据零点存在定理及二分法求解即可.
本题主要考查二分法的定义与应用,考查转化能力,属于中档题.
14.【答案】
【解析】解:根据题意,设,,
有,解可得,
即函数的定义域为,
若函数的单调递减,而为减函数,
而为增函数且恒成立,
又由,为开口向下的二次函数,其对称轴为,
满足且递增的区间为:
故函数的单调递减区间为
故答案为:
根据题意,设,则,先分析函数的定义域,再结合对数函数、二次函数的性质分析可得答案.
本题考查复合函数的单调性,涉及对数函数的性质,属于基础题.
15.【答案】
【解析】解:.
故答案为
先将三角函数式看成分母为的分式,再分子、分母同乘以,凑出连续的二倍角正弦公式,从而化简三角函数式.
本题考查凑公式的能力及考查二倍角的正弦公式.
16.【答案】
【解析】解:因为函数是定义域为的偶函数,且当时,,
则当时,,
所以.
故答案为:.
由已知结合偶函数的定义即可求解.
本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用,属于基础题.
17.【答案】解:Ⅰ原式
;
Ⅱ
,
因为,所以原式.
【解析】Ⅰ利用对数以及有理数指数幂的运算性质化简即可求解;Ⅱ利用诱导公式以及弦化切化简即可求解.
本题考查了对数以及有理数指数幂的运算性质以及诱导公式的应用,考查了学生的运算转化能力,属于基础题.
18.【答案】解:因为不等式的解集为,
则和是方程的两根,
所以,解得,
所以不等式为不等式,
解得,即集合.
因为是成立的必要条件,所以.
当时,,解得;
当时,,解得.
综上,实数的取值范围是.
【解析】由题意得和是方程的两根,代入求得,,化简所求不等式,求解即可;
将是成立的必要条件转化为子集关系,结合子集的定义及二次函数的性质即可求解.
本题主要考查了二次不等式的求解,还考查了充分必要条件与集合包含关系的转化,体现了转化思想及分类讨论思想的应用,属于中档题.
19.【答案】解:因为,
所以的最小正周期,最大值为;
由可知,,
令,,解得,,
,
函数在的单调递减区间为.
【解析】利用二倍角公式,两角和的正弦公式化简函数解析式可得,利用正弦函数的性质即可求解.
根据已知条件,结合正弦函数的单调性,即可求解.
本题主要考查了二倍角公式,两角和的正弦公式以及正弦函数,余弦函数的性质,考查了整体思想,属于基础题.
20.【答案】解:为锐角,
,
,
.
选:,
,
.
,
,
,
;
,
,,
,
,
,
,
,
选:,,
,,
,
,,,
,
,
,,
,,
,
;
选:,
,;
,,
,,,
,
,,,,
;
.
【解析】根据三角函数定义结合同角三角函数关系和二倍角公式即可求出答案;
根据同角三角函数关系、二倍角公式和两角和与差的余弦公式即可.
本题考查的知识要点:三角函数的关系式的变换,倍角公式,同角三角函数的关系式,主要考查学生的理解能力和计算能力,属于中档题.
21.【答案】解:函数的定义域为,且为奇函数,
,解得.
证明:由题知,设,
则
,
即,
在上是单调递增函数.
是上的奇函数且为严格增函数,
由,
可得,
即对一切恒成立.
令,,设,
则,
即,解得,
实数的取值范围是
【解析】由函数的定义域为,且为奇函数,得到,由此能求出,利用定义法能证明在上是单调递增函数.
由,得对一切恒成立.令,,设,则,由此能求出结果.
本题考查函数的奇偶性、单调性、换元法、函数恒成立值等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
22.【答案】解:因为函数为幂函数,所以,
整理得,解得或;
因为不是奇函数,所以,,定义域为,且为增函数,
所以不等式可化为,
解得,
所以不等式的解集为;
因为是奇函数,所以,,
又因为函数满足,
设,则时,,当且仅当时取“”,
同理,时,;
所以函数的解析式为,.
【解析】根据幂函数的定义求出的值,再根据不是奇函数确定,写出函数解析式,写出定义域和函数单调性,再求不等式的解集;
根据是奇函数求出的值,再写出函数的表达式,利用换元法求出函数的解析式.
本题考查了幂函数的定义与应用问题,也考查了利用函数的单调性解不等式的应用问题,是中档题.
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