2023-2024学年湖北省恩施州高中教育联盟高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省恩施州高中教育联盟高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆的两个焦点分别为，，斜率不为的直线过点，且交椭圆于，两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
4.若，是相互独立事件，但不是互斥事件，则事件的概率是( )
A. B.
C. D.
5.如图，这是一半径为的水轮示意图，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点从水中浮出时图中点开始计时，则( )
A. 点距离水面的高度与之间的函数关系式为
B. 点第一次到达最高点需要
C. 在水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于
D. 当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
6.已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是( )
A. B. C. D.
7.在平行四边形中，，，，将沿翻折，使，则平面与平面夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.如图，已知双曲线：的左焦点为，右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的有( )
A. 若，则有最小值 B. 若，则有最大值
C. 若，则 D. 若，则
10.如图，在棱长为的正方体中，在线段含端点上运动，，分别是，的中点，则下列判断正确的是( )
A.
B. 与所成角的余弦值是
C. 到直线的距离不是定值
D. 三棱锥的体积为
11.已知抛物线：的焦点为，，是抛物线上两点，点，下列说法正确的有( )
A. 的准线方程为
B. 若，则线段的中点到轴的距离为
C. 的周长的最小值为
D. 以线段为直径的圆与的准线相切
12.已知平面内一点在圆：上，分别过定点，的两条直线：，：与圆相交于点，则下列结论正确的是( )
A. 动点的轨迹是除去点的一个圆
B. 的最大值是
C. 点到直线的距离的最小值为
D. 动点的轨迹与圆一定没有交点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为______．
14.已知数列满足，则 ______．
15.已知双曲线为坐标原点，不经过点的直线交双曲线于，两点，且直线，的斜率之和为，则的斜率为______．
16.如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
年月日，第十四届学校文化论坛在某市举行，志愿者的服务工作是会议举办的重要保障现随机抽取了名志愿者候选人的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组绘制成如图所示的频率分布直方图已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
求，，并估计这名候选者面试成绩的第百分位数．
现从以上各组中采取按比例分层随机抽样的方法选取人，担任本市的志愿者现计划从第一组和第二组抽取的人中，再随机抽取名作为组长求选出的人来自不同组的概率．
18.本小题分
已知抛物线：，点在上．
求的方程；
若点是的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的最小值．
19.本小题分
在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，已知．
求的值；
若，求面积的取值范围．
20.本小题分
已知在非零数列中，，，数列的前项和．
证明：数列为等差数列．
求数列的通项公式．
若数列满足，求数列的前项和．
21.本小题分
在四棱锥中，四边形为菱形，，，，且，为的中点，为的中点，．
证明：平面．
若不是的中点，且直线与平面所成角的正切值为，求的值．
22.本小题分
已知动圆过定点，且在定圆：的内部与其内切．
求动圆圆心的轨迹方程．
当过点的动直线与圆心的轨迹相交于两不同点，时，在线段上取点，满足，则点是否在某条定直线上？若在，求该直线的方程；若不在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则，
故，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，，
故A．
故选：．
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由题意得，由椭圆定义可得
周长：
，
故选：．
利用数形结合和椭圆定义，把三角形的周长转化为，两点到焦点的距离之和，从而求出结果．
本题考查了椭圆定义以及数形结合思想，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，是相互独立事件，但不是互斥事件，
则事件的概率是：
．
故选：．
利用事件的概率计算公式求解．
本题考查事件的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：设点距离水面的高度为和的函数解析式为，
由题意知，，，，所以，
所以，
当时，，所以，解得，
又因为，所以，
所以，选项A错误；
令，解得，所以点第一次到达最高点需要，选项B错误；
令，其中，解得，
所以在水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于，选项C错误；
时，，所以点在水面下方，距离水面，选项D正确．
故选：．
由题意设出函数解析式，分别求出、和、，得到函数解析式，再根据函数解析式逐项判断即可得解．
本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：设点关于直线的对称点为，
则，解得，
故反射光线过点与点，
则反射光线所在直线的方程为，即．
故选：．
求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解．
本题考查直线的对称问题，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图，
平移使与重合，记平移后所在的点为点，此时，
则的余弦值即为平面与平面夹角的余弦值，
由已知，
在直角三角形中，，
所以，
故选：．
平移使与重合后可知的余弦值即为所求，通过解三角形进行计算即可．
本题考查了二面角的平面角及求法，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，
所以，又，
所以四边形为平行四边形．
设，，则，
因为，所以，
又因为，所以，，
因为，所以，
化为：，解得．
故选：．
根据双曲线的对称性得出四边形为平行四边形，利用双曲线的定义与已知求得，，利用余弦定理可求得离心率．
本题考查了双曲线的定义及其对称性和余弦定理应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：中，时，，令，则在上单调递增，
所以，所以没有最小值，即不正确；
中，时，；
当时，，因为，当且仅当时取等号，所以；
时，；
综上所述：的最大值为，所以B正确；
中，，由不等式的性质可得，所以C正确；
中，因为，所以，所以，即，所以D正确．
故选：．
中，将代数式转化，换元，由函数的单调性可得函数的值域，判断出的真假；中，分的正负及三种情况讨论，由基本不等式的性质可得它的最大值，判断出它的真假；中，由不等式的性质可得，判断出的真假；中，由不等式的性质可得，进而判断出的真假．
本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
，，
，，，在，，故A正确；
，，
与所成角的余弦值是，与所成角的余弦值为，故B正确；
在棱长为的正方体中，是平行四边形，，
到直线的距离是定值，故C错误；
，故D错误．
故选：．
建立空间直角坐标系，用空间向量法证明垂直并求异面直线所成的角，判断；利用平行线的性质判断；求出三棱锥的体积判断．
本题考查异面直线所成角、平行线的性质、三棱锥的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误；
对于选项，设，，
由抛物线的定义可得，可得，
所以线段的中点到轴的距离为，故B正确；
对于选项，设在准线上投影为，
因为，，
当、、三点共线时取最小值，所以的周长的最小值为，故C正确；
对于选项，因为点、没有任何限制条件，可以是抛物线上任意两点，
所以以线段为直径的圆与准线不一定相切，故D错误．
故选：．
求出抛物线的准线方程，可判断选项的正误；
求出线段中点的纵坐标，可判断选项的正误；
利用抛物线的定义可判断选项的正误；
利用、没有任何限制可判断选项的正误．
本题考查抛物线的定义及性质的应用，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：将圆：化为标准方程：，
易得直线：，即，可知恒过定点，
直线：，即，可知恒过定点，
且直线的斜率必存在，再由，可得，
图所示：对于项，由，且，可知点的轨迹是以线段为直径的圆，
其方程为：，又因直线的斜率必存在，
需要去掉圆上的点，即动点的轨迹是除去点的一个圆，选项A正确；
对于项，设，因，则，其中，
因当时，，故的最大值是，选项B正确；
对于项，由，，易得直线的方程，
因圆心到直线的距离为，
故圆上的点到直线的距离的最小值为，选项C错误；
对于项，因动点的轨迹方程为，去掉点，
设圆心为，由，即两圆相离，所以D正确．
故选：．
由圆的一般方程可得它的标准方程，求出圆心坐标及半径，易得直线，恒过定点的坐标及两条直线垂直，可得的轨迹方程，即以为直径的圆去掉，判断出的真假，设，求出的表达式，进而可得它的最大值，判断出的真假；求出到直线的距离，判断出的真假；求出动圆与圆的圆心距，半径与两个半径的关系，判断出的真假．
本题考查圆的性质的应用及直线恒过定点的求法，两圆的位置关系的判断方法，直线恒过定点是求法，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，
则，解得，
故函数的定义域为．
故答案为：．
根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
14.【答案】
【解析】解：，
可得，
，
，
，
，
，可得数列是最小正周期为的数列，
则．
故答案为：．
求得数列的前几项，可得数列是最小正周期为的数列，即可得到所求值．
本题考查数列的递推式，求得数列的周期是解题的关键，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设直线的方程为，设，，
联立，整理可得，
，即，
，，
即，
即，即，
即，
代入可得，
整理可得：，
所以或，
即或，
当时，直线的方程为过舍．
综上所述，直线的斜率为．
故答案为：．
设直线的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出直线，的斜率之和，由题意整理可得参数的关系，进而求出直线的斜率．
本题考查直线与双曲线的综合应用，直线恒过定点的求法，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为中，根据余弦定理，，
根据正弦定理，得，由知，则，
如图，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，，
设点，点的投影在轴上，
即，，由，
根据两点间距离公式，可得，整理为．
如图，在翻折过程中≌，作于点，则，并且，
，平面，所以平面，平面，所以，
即，其中．
又动点在线段上，设，所以，且．
由，得
又因为，对应的的取值为，即
由已知斜线与平面所成角是，
所以
斜线与平面所成角的正弦值的最大值为．
故答案为：．
首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系如图，设点，由，得，求出，，坐标，由得出，满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程中可得，设，由向量的数量积为从而得出关于的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论．
本题考查了空间几何体的结构特征，考查了数形结合思想和直观想象能力，属于难题．
17.【答案】解：第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同，
由题意可知，，
解得，
因为，
设第百分位数为，则，
解得，
所以估计这名候选者面试成绩的第百分位数为．
根据分层随机抽样，和的频率比为，
在和中分别选取人和人，分别编号为和，，，，，
则在这人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：
，，，，，，，，，，，，，，，共个，即，
记事件“人来自不同组”，则包含的样本点有，，，，，共个，
即，
所以选出的人来自不同组的概率为．
【解析】由频率分布直方图及已知条件列方程求出求出，，由此能求出第百分位数．
根据分层随机抽样，和的频率比为，在和中分别选取人和人，分别编号为和，，，，，
利用列举法能求出在这人中随机抽取两个的样本，选出的人来自不同组的概率．
本题考查频率分布直方图、百分位数、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：因为点在上，
所以，，即：．
设，，，，
直线的方程为直线斜率存在且不为．
由得，
所以．
同理，直线与的交点满足．
所以
，
当且仅当或时，等号成立．
因为直线，相互垂直，
所以，
当且仅当或时，等号成立，
故的最小值为．
【解析】由题意，根据所给信息以及抛物线的定义即可求出的值，进而可得抛物线的方程；
设出，，，四点的坐标以及直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到的表达式，同理得的表达式，再利用抛物线的定义以及基本不等式进行求解即可．
本题考查抛物线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，属中档题．
19.【答案】解：在锐角中，角，，所对应的边分别为，，，已知，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
因为，所以；
在锐角中，，记的面积为，
由正弦定理得，即，，
所以，
因为在锐角中，，
所以，
解得，
则，故．
【解析】由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可；
由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得，结合角的范围即可得解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
20.【答案】证明：依题意，当时，由，
两边同时除以，可得，
即，
，
数列是以为首项，为公差的等差数列．
解：由题意，当时，，
当时，
，
当时，也满足上式，
，．
解：由可得，，
则
，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
．
【解析】先将题干中的递推公式进行转化，再两边同时除以，进一步推导即可发现数列是以为首项，为公差的等差数列，从而证得结论成立；
根据题干已知条件并结合公式即可计算出数列的通项公式；
先根据第题与第题的结果推导出数列的通项公式并进行转化，即可发现数列是以为首项，为公差的等差数列，最后根据等差数列的求和公式即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，分类讨论，转化与化归思想，等差数列的判定及求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
21.【答案】解：证明：取的中点为，连接，，
则，
又因为，
所以，，即为平行四边形，即，
又因为平面，平面，
所以平面；
不妨设与平面所成的角为，则，即．
如图，连接，，．
因为四边形为菱形，，所以为正三角形，
因为为的中点，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，，所以平面，
因为，平面，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
由，得，
所以．
设平面的法向量为，
则，即，
令，得平面的一个法向量为，
则，
解得或舍去，即．
【解析】由线面平行的判定定理即可证明；
由线面垂直的判定定理可得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，由向量法即可求得．
本题考查线面垂直的证明和直线与平面所成角的求法，属于中档题．
22.【答案】解：设动圆和定圆切于点动点到定点和定圆圆心的距离之和恰好等于定圆的半径，
即由椭圆定义可得动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
所以动圆圆心的轨迹方程为．
点在定直线上．理由如下．
由题设知均不为零，记，则且，
因为，，，四点共线，将点代入轨迹方程得，所以点在椭圆外，
又点在线段上，所以，
设点，，
则，
又点，在椭圆上，所以
得，代入有，
即点在定直线上．
【解析】利用椭圆的定义即可求得动圆圆心的轨迹方程；
由，记，则且，确定点在椭圆外，可得，从而可表示点的坐标，结合点，在椭圆上，计算可得直线方程．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
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