北师大版数学八年级下册 1.1 第4课时 等边三角形的判定 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
1 等腰三角形
课时4 等边三角形的判定
第一章 三角形的证明
目
录
1 学习目标
2 新课导入
3 新课讲解
4 课堂小结
5 当堂小练
6 拓展与延伸
7 布置作业
等边三角形的判定
含30°角的直角三角形的性质.（重点、难点）
学习目标
新课导入
等边三角形的性质：
(1)等边三角形的三边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于
60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别
为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度
相等．
新课讲解
知识点1 等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等
腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的
结论，并与同伴交流.
新课讲解
定理　三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理　有一个角等于60°的等腰三角形是等
边三角形.
新课讲解
1．判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；
判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等
边三角形．
2．应用注意事项：
判定定理1在任意三角形中都适用，判定定理2适用
的前提是等腰三角形；因此要结合题目的条件选择
适当的方法．
新课讲解
例
典例分析
如图，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF.求证：△OEF是等边三角形．
分析：
从题中条件看，利用三角
形的外角性质易求∠OEF
＝∠OFE＝60°，从而证
明△OEF是等边三角形．
新课讲解
∵E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点，
∴OE＝BE，OF＝CF.
∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
又∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.
∴∠OEF＝∠OFE＝60°.
∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.
∴△OEF是等边三角形．
证明：
新课讲解
练一练
等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　)
A．有一个内角是60°
B．有一个外角是120°
C．有两个角相等
D．腰与底边相等
C
新课讲解
2.如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
D
新课讲解
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
做一做
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一
个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此
你能发现什么结论？说说你的理由.
新课讲解
定理　　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角 边等于斜边的一半.
新课讲解
例
典例分析
已知：如图 (1)， △ABC是直角三角形，∠C ＝90°， ∠A＝ 30°求证： BC＝　 AB.
新课讲解
证明：
如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.
∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°.
∴AC ＝AC,
∴△ABC≌△ADC ( SAS ).
∴AB＝AD(全等三角形的对应
边相等）.
∴△ABD是等边三角形（有一
个角等于60°的等腰三角形
是等边三角形）
∴ BC＝ BD＝ AB.
新课讲解
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半．
要点精析：
(1)适用条件——含30°角的直角三角形，
(2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关系．
新课讲解
例
典例分析
求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB = AC， ∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求证：CD＝　 AB
新课讲解
在△ABC中，
∵AB＝AC，∠B＝15°
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∴CD是腰AB上的高，
∴∠ADC＝ 90°.
∴CD＝ AC(在直角三角形中，如果一个锐角等
于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∴CD = AB.
证明：
新课讲解
例
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
分析：
(1)根据平行线的性质可得
∠EDC＝∠B＝60°，
根据三角形内角和定理
即可求解；
(2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形
的性质即可求解．
新课讲解
(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.
又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4.
解：
新课讲解
练一练
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的长.
因为CD是△ABC的高，
所以∠BDC＝90°.
又因为∠B＝60°，
所以∠BCD＝30°. 所以BC＝2BD＝2.
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
所以∠A＝30°. 所以AB＝2BC＝4.
所以AD＝AB－BD＝4－1＝3.
解：
课堂小结
等边三角形的判定方法：
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2) 含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半．
当堂小练
1.如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2. 若点M，
N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述
条件的△PMN有(　　)
A．1个 　
B．2个
C．3个
D．3个以上
D
当堂小练
2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，
则下列关系式正确的为(　　)
A．BD＝CD B．BD＝2CD
C．BD＝3CD D．BD＝4CD
B
拓展与延伸
已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形是(　　)
A．直角三角形　 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形　　 D．等边三角形
D
拓展与延伸
分析：
如图，连接PO.
∵点P1与P关于OB对称，
∴OP1＝OP，∠P1OB＝∠POB.
同理，OP2＝OP，∠P2OA＝∠POA.
∴OP1＝OP2，
∠P1OP2＝2∠POA＋2∠POB
＝2(∠POA＋∠POB)＝60°.
∴△OP1P2为等边三角形．