福建省莆田市城厢区莆田擢英中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题(含答案）

2023-2024学年擢英九年级（下）初中数学检查试卷
选择题（每小题只有一个正确的选项，本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
1.下列各个数中属于无理数的是（ ）
A. 0.2 B. C. -1 D.
2．在下列四款国产汽车的车标图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．月日是中国航天日，年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点米．将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．439×
4．右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C．2α ·3α =6 D．
6．如图，已知a//b，一块含30°角的直角三角板，如图所示放置，∠2＝30°，则∠1等于（　 ）
A．110° B．130° C．150° D．160°
7．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行160里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（ ）
A． = B．= -12 C．240（-12）=160 D．240=160（+12）
白老师在黑板上计算一组数据时，列式如下：，由公式提供的信息，下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．中位数是4 B．众数是4 C．平均数是4 D．方差是
9．如图，PQ、PB、QC是⊙O的切线，切点分别为A、B、C，点D在上，若∠D＝100°，则∠P与∠Q的度数之和是（ ）
A．160° B．140° C．120° D．100°
10．已知关于x的二次函数的与x轴的交点坐标是和，其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数与x轴的交点坐标是（　　）
A．和 B．和 C．和 D．和
二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．）
11．因式分解:-=
12．夹文件的一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态下的示意图，经测量知，，，则在闭合状态下，点B，D之间的距离是 ．

图1 图2
13．如果圆锥底面圆的半径为，它的侧面积为24πcm ，那么它的母线长为 ．
14．若α，β是方程x +2x-2026=0的两个实数根，则α +3α+β的值为
15. 如图，、是第二象限内双曲线上的点，、两点的横坐标分别是、，线段的延长线交轴于点，若，则的值为 ．

如图，在中，于点D，E为边上的中点，连接交于F，将沿着翻折到，恰好有，连接CF、BG，则下列结论：①四边形为菱形；②；③④．
上述结论中正确的有 ．（填正确的序号）．
三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：；
18．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD交于点E，且AB=DC，∠A=∠D．证明：AC=BD．
19.先化简，再求值：（1 -）÷，其中a=-1．
20．为贯彻落实党的二十大精神，全面建设社会主义现代化国家、全面推进中华民族伟大复兴，某校团委举办以“无悔青春献祖国，接力奋斗新时代”为主题的征文比赛，每班限一人参赛，九年级（2）班的小莆和小田两人文采相当，且都想代表班级参赛，于是班长制作了5张正面分别写有，，0，1，2的卡片（卡片背面完全相同），将卡片背面朝上洗匀后，小莆先从中任意抽取一张，不放回，小田再从剩下的4张卡片中任意抽取一张，若两人所抽取的卡片上的数字之积为0，则小莆代表班级参赛；否则，小田代表班级参赛．
(1)小莆抽取的卡片正面上的数字是0的概率为________；
(2)请用列表法或画树状图的方法，判断班长设计的这个游戏规则对双方是否公平．
21．如图，在中，，是的平分线，且交于点．
(1)在斜边上求作点，使；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若，，求的长．
22．某景区纪念品超市以50元每个的价格新进一批工艺摆件，经过一段时间的销售发现日销量（个）与单个售价（元）之间的函数关系如下图．（景区规定任何商品的利润率不得高于）
（1）根据图象，直接写出与的函数关系式；
（2）该超市要想每天获得2400元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
23．根据以下素材，探索完成任务．
探究遮阳伞下的影子长度
素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架AB长为2.5米，且垂直于地面BC，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径DF是DE的4倍．当伞面完全张开时，点D，E，F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着AB移动，以保证太阳光线与DF始终垂直．
素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻12点13点14点15点16点17点太阳高度（度）907560453015参考数据：，．
素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米．如图2，小明坐的位置记为点Q．
问题解决
任务1 确定影子长度 某一时刻测得米，请求出此时影子的长度．
任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3米处的Q点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？
任务3 探究合理范围 小明打算在这天14：00－15：00露营休息，为保证小明全程不被太阳光照射到，请计算的取值范围．
24.如图1，抛物线y=-x +bx + c交x轴于A(-1,0)、B(3,0)，交y轴于C，P是第一象限内抛物线上的一个动点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接BC、AP，相交于点D，令z = ，当z的值最大时，求点P的坐标;
（3）如图2，抛物线的对称轴与x轴交于点E，直线AP、BP分别与对称轴交于点M、N，
△AME与△BNE的面积分别为、.设点P的横坐标为t,当125.如图，△ABC内接于⊙0，BC是⊙0的直径，tan∠ACB=2，过点A作AD⊥BC，交⊙0于点E，点F是弧AB上一点，连结EF交BC于点G，连结CF交AD于点H.
(1)求证: △AFC∽△HFE;
(2)若BC =10，CF=8，求EF的长
(3)设 =x， = y，求y关于x的函数表达式.
2023-2024学年擢英九年级（下）初中数学检查试卷 参考答案及解析
选择题（共10小题）
1-5：DBCCD 6-10：CDDAA
10.【详解】解：∵二次函数的与x轴的交点坐标是和，
∴方程的两个根分别为c、d，
∴，，
∴
∵，
设方程的两根为，，
∴，，
∴，分别为a、b，
∴该函数与x轴的交点坐标和，
故选：A．
填空题（共6小题）
11 ．（x+2y）（x-2y） 12 ．48 13 ．6 14 ．2024 15 ．-4 16 ．①②③
【详解】解：①∵将沿AC翻折到
∴四边形是菱形．
故①正确．
②
又
又
∵E是AC的中点，
故②正确．
③
故③正确．
④如图所示：过点G作交BA延长线于H，
设则
∵四边形是菱形，
故④错误．
故答案为：①②③．
解答题（共9小题）
17.5
18 ．【详解】证明：∵∠A=∠D，
∴在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC=BD．
19 ．【详解】原式=
当a=-1时，
原式=
20 ．【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，
∴王伟抽取的卡片正面上的数字是0的概率为，
故答案为：；
（2）解：班长设计的这个游戏规则对双方不公平，理由如下：
列表如下：
0 1 2
（，） （0，） （1，） （2，）
（，） （0，） （1，） （2，）
0 （，） （，0） （1，0） （2，0）
1 （，1） （，1） （0，1） （2，1）
2 （，2） （，2） （0，2） （1，2）
由表格可知一共有20种等可能性的结果数，其中数字之积为0的结果数有8种，数字之积不为0的结果数有12种，
∴王伟参赛的概率为，孙莉参赛的概率为
∴班长设计的这个游戏规则对双方不公平．
21 ．【详解】（1）解：如图，点即为所求；

（2），
，
，
，
平分，
，
，
，
∴，
∴，
∴．
22 ．【详解】解：（1）设（，为常数）将点，代入得，
解得
∴y与x的函数关系式为：y= 2x+260；
（2）由题意得：，化简得：，
解得：，，
∵，且，
∴（舍去），
答：销售单价应定为70元．
（3）设每天获得的利润为元，由题意得，
∵，抛物线开口向下，
∴有最大值，当时，，
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
23 ．【详解】解（1）如图1，过点E作于点I，过点G作于点J．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
在中，（米）．

（2）方法1：
如图2，过点Q作交于点P．
由（1）知，，
在中，，
∴，
∴．
在中，，
在中，，
∵在中，当时，，
∴小明刚好被照射到时离B点的距离为，
∴小明会被照射到．

方法2：
如图2，过点Q作交FH于点P．
与方法1同理得，得，，
∴
在中，．
∴小明会被照射到．
（3）当时，．
当时，．
∴．
24 ．【详解】解：（1）把A（1,0），B（3,0）代入y = -x +bx + c
得
解得
∴抛物线表达式为y = -x +2x + 3
把x=0代入表达式得y=3
∴点C的坐标为（0,3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（3,0），C(0,3）
得
解得
∴直线BC的解析式为y = -x+3
设p（a，-a +2a+3），过点P作PQ∥x轴，交直线BC于点Q，
则Q坐标为（a -2a，-a +2a+3），
得PQ=-a +3a
∵PQ∥x轴，
∴△PDQ∽△ADB
∴z=-a +a（0＜a＜3）
当a=时，z取得最大值，此时点P的坐标为（，）
+的值不变，理由如下：
由抛物线可知对称轴为直线x=1，
由题得P（t，-t +2t+3），
设直线AP的解析式为y=x+，代入点A，点P
求得直线AP解析式为y=（-t+3）x-t+3，
把x=1代入解析式得：y=-2t+6
∴M（1，-2t+6）
∴ME=-2t+6
同理得BN的解析式为y=（-t-1）x+3t+3
N的坐标为（1,2t+2），
∴NE=2t+2
∴+ = AE·ME+BE·NE=ME+NE=8
25 ．【详解】解：
证明：(1)证明:∵BC是⊙O的直径，AD⊥BC
∴∠AFC =∠CFE
∵∠ACF =∠FEA
∴△AFC∽△HFE:
(2)
连接BF
∵BC是⊙O的直径
∴∠BAC =90°，
tan ∠ACB =2,
∴AB=2AC
在Rt△ABC中，BC =10,
∴AC =2
∵AD⊥BC，
∴∠ADC =90°，
∵tan∠ACB =2
∴AD =2CD
在Rt△ACD中，
AD +CD =AC ，则
CD=2，AD =4,
∴ED = AD =4,
∵BC是⊙O的直径
∴∠BFC =90°，
∵BC =10，CF=8,
∴BF=6，
∵∠BFC =∠HDC =90°,
∠FCB =∠DCH，
∴△BFC∽△HDC
∴=
∴HD=
∴HE=ED+HD=
∵△AFC∽△HFE，
∴=
∴EF=
（3）设OC =r，则BC =2r,
∵tan∠ACB =2,.
∴AD =2CD，BD =2AD
∴CD=r ，AD=r，
①当点G在线段OD上时，
∵=x，
∴OG=xr, CG=(1-x)r, BG=(1+x)r，
过点G作GM⊥CF交于点M，
∴∠GMF=90°，
∵∠ADC=90°，∠CAE=∠CFE，
∴∠FCM=∠ACB
∴tan ∠FGM = tan ∠ACB =2，
∴FM =2GM，
∵∠GMC =∠BFC =90°,
∴GM∥BE，
∴=
∴=
∵=
∴=
∴DH=，
∴AH=AD-HD=r
∴=
∴y=
②当点G在线段OB上时，同理可得y=
综上所述:当点G在线段OD上时，y=
当点G在线段OB上时，y=