(共22张PPT)
年级:高二
授课人:林炎文
类比推理:
由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，
从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想(通过证明确认猜想的正确性,或举出反例否定猜想)!!!
相似性
归纳推理又分为完全归纳法(枚举法)和
不完全归纳法.
归纳推理: 这种由某类事物的部分对象具有某些特征，
推出该类事物也具有这些特征的推理，
或者由个别事实概括出一般结论的推理，
通常称为归纳推理（简称归纳）．简言之，
归纳推是由部分到整体、由个别到一般的推理．
一个数学问题（需要探索新的证明方法）
“对于数列｛an｝，已知a1＝1，an+1＝ （n＝1，2，…），通过对n = 1，2, 3, 4前4项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为 an＝ ．”
逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．多米诺骨牌视频.
人的多米诺
骨牌倒下用不用一块一块人工推倒？
第一，必须推倒第一块，
第二,假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块。
类比推理
要保证这个游戏成功，必须满足什么条件？
证明数列的通项公式是an＝ 这个猜想与多米诺骨牌游戏的相似性
数列的通项公式是an＝ 这个猜想
1.an＝ 由当n取自然时的许许多多个命题构成的.
2.an＝ 每一个命题成立。
多米诺骨牌游戏
1. 排在一条线上的许许多多骨牌。
2. 这些骨牌被推到
多米诺骨牌游戏原理 证明数列的通项公式是 的步骤
（1）第一块骨牌倒下。
（1）当n=1时猜想成立。
（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。
根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下。
根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想都成立。
——
（2）若当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时猜想也成立，即 。
an＝
一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：
( 2 ) 假设n = k ( k ≥ n0 ，k ∈ N* ) 时命题成立，
证明当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数
都成立。上述证明方法叫做数学归纳法
（1） 证明当n取第一个值 n0 时命题成立。
（归纳奠基）
( 归纳递推 )
用框图表示为：
验证n=n0时命题成立。
若n = k ( k ≥ n 0) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
命题对所有的自然数n ( n ≥ n 0)都成立。
归纳奠基
归纳递推
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
例1.用数学归纳法证明
从n=k到n=k+1有什么变化
递推基础
递推依据
凑假设
凑结论
（1）第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无。
例如：用数学归纳法证明1+3+5+ …+（2n-1)= 进行证明时采用了如下的方法，
得：
证明：假设n=k时等式成立，即
那么
即n=k+1时等式成立。
综合（1）和（2）等式对一切自然数n均成立。
证明中的几个注意问题：
(2)在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.
例:欲用数学归纳法证明2n>n3,试问n的第一个取值
应是多少
答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=10.
(3)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.
例:如下证明对吗？
当n=k+1时，代入 得：
证明
证明：(1) 当
，左边 = 1，右边 = 12= 1 ，等式成立
（2）假设当n=k时成立，即：
所以等式成立。
综合（1）和（2）等式对一切自然数n均成立。
点评：是错误的，这是因为n=k+1时的等式是有待于得用归纳假设和已知条件加以证明，不能直接将n=k+1代入要求证的等式。在推证过程中一定要利用好归纳假设。
得：
(2)假设n=k时等式成立，即
那么
即n=k+1时等式成立。
综合（1）和（2）等式对一切自然数n均成立。
也就是一凑假设二凑结论
(4)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清右端应增加的项.
例:用数学归纳法证:(n+1) (n+2) … (n+n)=2n 1 3 … (2n-1)
时,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为：
2:用数学归纳法证明:
第一步应验证左式是________,
右式是_______; 从k到k+1时,左表应添加的项为
_______________.
(5)在用n=k命题成立来证明n=k+1命题成立时,要进行适当的方法选取,譬如分析,添拆项,作差,因式分解等;要时刻注意所待证的式子,明确等式左端变形目标.
证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:
则当n=k+1时,我们有:
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.
例2.用数学归纳法证明:
练习.用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
从n=k到n=k+1有什么变化
凑假设
凑结论
证明:
2)假设n=k时命题成立,即
1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
则当n=k+1时，
+
＝
=
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当 ，命题正确。
=
1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= =2. 命题成立
小 结
1、我们学习了数学归纳法，要认同数学归纳法的科学性
2、它的两个步骤一个结论,第一步基础，第二步是关键。
3.用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；
2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式；
3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；
4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；
5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
1、课内作业:课本 P95 练习1.2题
2、课外作业：
平面内有n (n 2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少 并证明.
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
f (1)=0 f (2)=1 f (3)=3 f (4)=6 f (5)=10
直线条数n 1 2 3 4 5 6 … n
增加点数Δn 1 2 3 4 5 … n-1
f (n) 0 1 3 6 10 15 … ？
猜想：f (1)=0，f (2)=0+1，f (3)=1+2，f (4)=1+2+3，
f(5)=1+2+3+4 ,… ,f (n)=1+2+…+(n-1)=
n(n-1)，
然后用数学归纳法证明猜想的关键是：
①求初始值f (1)=0，②建立递推关系f (n+1)=f (n)+n
作业:平面内有n (n 2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数 为多少 并证明.
解:如图数学归纳法第一课时
教学目标
1．进一步培养学生观察、归纳、发现的能力．
2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．
3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．
教学重点与难点
重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
难点：（1）学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
教学过程
复习引入：
类比推理: 由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想(通过证明确认猜想的正确性,或举出反例否定猜想)!!!
归纳推理:这种由某类事物的部分对象具有某些特征，
推出该类事物也具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，
通常称为归纳推理（简称归纳）．简言之，归纳推是由部分到整体、由个别到一般的理．
归纳推理又分为完全归纳法(枚举法)和
完全归纳法一个数学问题（需要探索新的证明方法）
“对于数列｛an｝，已知a1＝1，an+1＝ （n＝1，2，…），通过对n = 1，2, 3, 4前4项的归纳，我们已经猜想出其通项公式为 an＝ ．”
逐一验证是不可能的，需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．
多米诺骨牌游戏视频
要保证这个游戏成功，必须满足什么条件？
第一，必须推倒第一块，
第二,任意相邻的两块骨牌,假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块.
证明数列的通项公式是an+1＝ 这个猜想与多米诺骨牌游戏的相似性
证明数列的通项公式是an+1＝ 这个猜想 多米诺骨牌游戏
. an+1＝ 由当n取自然时的许许多多个命题构成的 1. 排在一条线上的许许多多骨牌。
2.an+1＝ 每一个命题成立。 2. 这些骨牌被推到
利用相似性,规范二步骤
多米诺骨牌游戏原理 证明数列的通项公式是an+1＝ 的步骤
（1）第一块骨牌倒下 （1）当n=1时猜想成立
2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下
根据（1）和 （2），可知不论有多少块骨牌都能全部倒下 都成立根据（1）和（2），可知对所有的自然数n，猜想。
一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1） （归纳奠基） 证明当n取第一个值 n0 时命题成立。
( 2 ) （归纳递推 ） 假设n = k ( k ≥ n0 ，k ∈ N* ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有自然数
都成立。上述证明方法叫做数学归纳法
用框图表示为：
归纳基础 归纳推理
命题对所有的自然数n都成立。
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
例：用数学归纳法证明
证明：1、当n=1时,左==1，右=
∴n=1时，等式成立
2、假设n=k时，等式成立，即
那么，当n=k+1时
左=12+22+…+k2+(k+1)2=
=右边
∴n=k+1时，原不等式成立
由1、2知当n N*时，原不等式都成立
证明中的几个注意问题
1） 第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步
是一个简单的验证，可有可无。
例如：用数学归纳法证明1+3+5+ …+（2n-1)=
子 进行证明时采用了如下的方法，
假设当n=k时,成立.即:
当n=k+1时,
即:n=k+1时成立
综合（1）和（2）等式对一切自然数n均成立
(2)在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.
例:欲用数学归纳法证明,试问n的第一个取值
应是多少
答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=10.
(3)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.
例:如下证明对吗？
例1用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.
证明：①当n=1时，左边＝1，右边=1等式成立。
②假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2
当 n=k+1时，代入1+3+5+…+(2n－1)=n2.
得:
即n=k+1时，命题成立。
根据①②问可知，对n∈N＊，等式成立。
指出：第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。
证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.
(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2
那么1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2.
∴n=k+1时等式也成立.
由(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立
(4)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清右端应增加的项.
例:用数学归纳法证:(n+1) (n+2) … (n+n)=2n 1 3 … (2n-1)
时,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为：
2:用数学归纳法证明:
第一步应验证左式是________,
右式是_______;
从k到k+1时,左表应添加的项为
_______________.
(5)在用n=k命题成立来证明n=k+1命题成立时,要进行适当的方法选取,譬如分析,添拆项,作差,因式分解等;要时刻注意所待证的式子,明确等式左端变形目标.
例2.用数学归纳法证明:
证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有:
则当n=k+1时,我们有:
即当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.
练习、用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
证明:
小结:
1、我们学习了数学归纳法，要认同数学归纳法的科学性
2、它的两个步骤一个结论,第一步基础，第二步是关键，
3、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）；
2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式；
3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；
4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；
5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
作业：
1、课内作业:课本 P95 练习1.2题
2. 课外作业：平面内有n (n 2)条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，
问交点的个数 为多少 并证明.
皮亚诺公理
任何一个满足下列条件的非空集合叫做正整数集合,记作
(1)1
(2)若 则有且仅有一个正整数称为k的后继数,记作k+1,这就是说,如果k=h,那么k+1=h+1;
(3)若 则k+1 1,这就是说,任何一个正整数的后继数都不是1;
(4)若 且k+1=h+1,则k=h,这就是说,对于每一个正整数,只能是某一个正整数的后继或者根本不是后继数;
(5)设M是正整数集的一个子集,且它具有下列性质;
①1 M
②若k M,则k+1 M
那么M是全体正整数的集合,即M=
这五条公理对正整数集合进行了刻画和约定,由它们可以推出正整数的各种性质.
皮亚诺公理中的第五条也叫做归纳公理.
若n = k ( k ≥ 1 ) 时命题成立，
证明当n=k+1时命题也成立。
验证n=1时命题成立。
（2）若当n=k时猜想成立，即 ，则当n=k+1时猜想也成立，即 。
