乘法公式-平方差公式
学习目标:
1、会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算.
2、经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式.
通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性，体验数学活动充满着探索性和创造性.
学习重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解.
学习难点：平方差公式的应用.
学习过程：
一.预习与新知：
（1）叙述多项式乘以多项式的法则？
（2）计算;① ② ③ ④
观察上面的计算你发现什么规律了吗？你能直接写出的结果吗？（请仔细观察等式的左，右两边）
平方差公式：（①写出数学公式 ②用语言叙述）
二.课堂展示：
⑴填表：
结果
⑵计算：① （利用平方差公式） ②
三.随堂练习：⑴课本
⑵课本
四、课堂检测：
⑴填空：① ；②
③
⑵计算：① ②
③ ④
⑶你能根据下图解释平方差公式吗？请试一试？
②
四．小结与反思(共7张PPT)
14.2乘法公式
添括号法则
请同学们完成下列运算并回忆去括号法则．
（1）4+（5+2） （2）4-（5+2）
（3）a+（b+c） （4）a-（b-c）
解：（1）4+（5+2）=4+5+2=11
（2）4-（5+2）=4-5-2=-3
（3）a+（b+c）=a+b+c
（4）a-（b-c）=a-b+c
去括号法则：
去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里各项不变号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都变号.
也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变．
因为4+5+2与4+（5+2）的值相等；4-5-2与4-（5+2）的值相等．所以可以写出下列两个等式：
（1）4+5+2=4+（5+2）（2）4-5-2=4-（5+2）
左边没括号，右边有括号，也就是添了括号，同学们可不可以总结出添括号法则来呢？
添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
例1 运用乘法公式计算:
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3)
= [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ]
= x2- (2y- 3)2
= x2- ( 4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
(a + b +c ) 2
= [ (a+b) +c ]2
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
= a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
通过本节课的学习，你有何收获和体会？
2. 我体会到了转化思想的重要作用，学数学其实是不断地利用转化得到新知识，比如由繁到简的转化，由难到易的转化，由已知解决未知的转化等
1. 我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算．
同学们总结得很好．在今后的学习中希望大家继续勇敢探索，一定会有更多发现完全平方公式
◆教学目标◆
◆知识与技能：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算，形成推理能力．
◆过程与方法：利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式．掌握完全平方公式的计算方法．
◆情感态度：培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．
◆教学重点与难点◆
◆重点：完全平方公式的推导和应用．
◆难点：完全平方公式的应用．
◆教学过程◆
一、创设情境，导入新知
激趣辅垫：
寓言故事：请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事．
学生活动：由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事，其他学生补充．
教师活动：提出：你们从故事中学到了什么道理？（寓德于教）学生发言：比喻没有真才实学的人，混在行家里充数，或以次货充好货．
教师引导：对！所以我们在以后 ( http: / / www.21cnjy.com )的学习和工作中，千万别滥竽充数，一定要有真才实学．好．今天同学们喊得很响亮，我要看看有没有南郭先生，请同学们完成下面的几道题：
（1）（2x－3）2； （2）（x+y）2； （3）（m+2n）2； （4）（2x－4）2．
学生活动：先独立完成以上练习，再争取上讲台演练，
（1）（2x－3）2=4x2－12x+9； （2）（x+y）2=x2+2xy+y2；
（3）（m+2n）2=m2+4mn+4n2； （4）（2x－4）2=4x2－16x+16．
教师活动：组织学生通过上面的运算结果中的每一项，观察、猜测它们的共同特点．
学生活动：分四人小组，讨论．观察，探讨，发现规律如下：（1）右边第一项是左边第一项的平方，右边最后一项是左边第二项的平方，中间一项是它们两个乘积的2倍．（2）左边如果为“+”号，右边全是“+”号，左边如果为“－”号，它们两个乘积的2倍就为“－”号，其余都为“＋”号．
教师提问：那我们就利用简单的（a+b）2与（a－b）2进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．
学生活动：计算出（a+b）2=a2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2，完成后，一位学生上讲台板演．教师活动：利用学生的板演内容，引出本节课的教学内容──完全平方公式．
归纳：完全平方公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2；
（a－b）2=a2－2ab+b2．
语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．为了让学生直观理解公式，可做下面的拼图游戏．
拼图游戏：
解释：（1）现有图1所示的三种规格的硬纸片各若干张，请你根据二次三项式a2+2ab+b2，选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个正方形，并探究所拼出的正方形的代数意义．
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）你能根据图2，谈一谈（a－b）2=a2－2ab+b2吗？
课堂活动：第（1）题由小组合作，在互动中完成拼图游戏，比一比，哪个四人小组快？第（2）题，可以借助多媒体课件，直观地演示面积的变化，帮助学生联想到
（a－b）2=a2－b2－2b（a－b）=a2－2ab+b2．
二、范例学习，应用所学
例1：运用完全平方公式计算：
（1）（－x－y）2； （2）（2y－）2
（1）解法一：（－x－y）2=[（－x）+（－y）] 2=（－x）2+2（－x）（－y）+（－y）2
=x2+2xy+y2；
解法二：（－x－y）2=[－（x+y）] 2=（x+y）2=x2+2xy+y2．
（2）解法一：（2y－）2=（2y）2－2·2y·+（）2=4y2－y+．
解法二：（2y－）2=[2y+（－）] 2=（2y）2+2·2y·（－）+（－）2 =4y2－y+．
例2：运用乘法公式计算99992．
解：
三、随堂练习，巩固新知
基础训练：
（1）（－）2； （2）（2xy+3）2；（3）（－ab+）2；（4）（7ab+2）
拓展训练：
（1）（－2x－3）2； （2）（2x+3）2；（3）（2x－3）2；（4）（3－2x）2．
教师活动：在学生完成“拓展训练”之后，让学生观察一下结果，看看有什么规律．
学生活动：分四人小组合作交流，寻找规律 ( http: / / www.21cnjy.com )如下：把以上所有的题目都看作两个数的和的完全平方（把减去一个数看作加上一个负数），如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项都是正的，如果两个数具有不同的符号，则它们乘积的2倍这一项就是负的．
探研时空：
已知：x+y=－2，xy=3，求x2+y2．
四、课堂总结，发展潜能
本节课学习了（a±b）2=a2±2ab+b2，
全平方公式的结构特征．
公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
两个乘法公式，在应用时，（1）要了解公 ( http: / / www.21cnjy.com )式的结构和特征．让住每一个公式左右两边的形式特征，记准指数和系数的符号；（2）掌握公式的几何意义；（3）弄清公式的变化形式；（4）注意公式在应用中的条件；（5）应灵活地应用公式来解题．
五、布置作业，专题突破
课本习题15．2第3、4、8、9题．
备用题：计算： 50.012 49.92
计算： ）2=
教学反思：
◆板书设计◆
§14．2．2．1 完全平方公式
一、1.探究公式：（a±b）2=a2±2ab+b2 例1：运用完全平方公式计算： 三、巩固练习
2.完全平方公式的几何意义： （1）（－x－y）2； （两种方法）
二、应用举例：利用完全平方公式计算： （2）（2y－）2 （两种方法）
例2：运用乘法公式计算99992．
◆课后思考◆平方差公式
基础题—初显身手
1．计算(x＋1)(x－1)的值为( A )
A．x2－1 B．x2＋1
C．x2－2x＋1 D．x2＋2x＋1
2．(x＋2)(x－2)＝x2－4；
3．(2x－1)(2x＋1)＝4x2－1．
能力题—挑战自我
4．下列各式中，计算正确的是( C )
A．(x－2)(2＋x)＝x2－2
B．(x＋2)(3x－2)＝3x2－4
C．(ab－c)(ab＋c)＝a2b2－c2
D．(－x－y)(x＋y)＝x2－y2
5．下列各式中，能用平方差公式计算的是( D )
A．(－a－b)(a＋b) B．(m＋2n)(m－n)
C．(x－y)(－x＋y) D．(－a－b)(a－b)
6．4x2－5y需要乘下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( A )
A．－4x2－5y B．－4x2＋5y
C．(4x－5y)2 D．4x2－5y
7．若(x＋a)(x－5)展开式中不含有x的一次项，则a的值为( B )
A．0 B．5 C．－5 D．5或－5
8．为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南 ( http: / / www.21cnjy.com )北方向增加3米，东西方向缩短3米，则改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比( C )
A．增加6米 B．增加9米
C．减少9米 D．保持不变
9．为了利用平方差公式计算(－7＋a＋b)(－7－a－b)，必须进行适当的变形，下列变形正确的是( )
A．原式＝［－(7－a－b)］［－(7＋a＋b)］＝72－(a＋b)2
B．原式＝［－(7＋a)＋b］［－(7＋a)－b］＝(7＋a)2－b2
C．原式＝(－7＋a＋b)［－7－(a＋b)］＝－72－(a＋b)2
D．原式＝ (－7＋a＋b)［－7－(a＋b)］＝72＋(a＋b)2
10．能整除代数式n2－(n＋2)(n－2) (n为正整数)的正整数是( A )
A．4 B．3 C．2 D．5
11．(3m－5n)(5n＋3m)＝9m2－25n2；(－2b－5)(2b－5)＝25－4b2．
12．如果a2－k＝(a＋)(a－)，则k＝．
13．一条水渠的横断面为梯形，它的上底为a，下底为b，高为2(a－b)，则梯形的面积为a2－b2．
14．计算：(1)(a＋2)(a－2)(a2＋4)；
(2)－2(3x＋2y)(3x－2y)；
(3)x2－x－(x－)(x＋)．
解：(1) 原式＝(a2－ ( http: / / www.21cnjy.com )4)(a2＋4)＝(a2)2－42＝a4－16；(2)原式＝－2[(3x)2－(2y)2]＝－2[9x2－4y2]＝－18x2＋8y2；(3)原式＝x2－x－(x2－)＝x2－x－x2＋＝－x＋．
15．先化简，再求值：(x＋y)(y－x)＋x·(x－y)，其中x＝4，y＝6．
解：原式＝(y＋x)(y－x)＋x2－xy＝(y)2－(x)2＝y2－x2＋x2－xy＝y2－xy＝×62－×4×6＝0．
16．解方程: 5x＋6(3x＋2)(－2＋3x)＝54(x－)(x＋)＋2．
解：5x＋6(9x2－4)＝54(x2－)＋2，5x＋54x2－24＝54x2－6＋2，5x＋54x2－54x2＝24－6＋2，5x＝20，x＝4．
拓展题—勇攀高峰
17．七年级学生贝贝是一个非常喜欢思考和探究的人，这不，小丽经过探究发现：两个连续奇数的积加上1，一定是一个偶数的平方．比如，3×5＋1＝16＝42，11×13＋1＝144＝122，······可小丽不知道能不能推广到更一般的情况，她给老师打电话问了一下，老师提示说，连续奇数可用整式表示，表示出来后就可以运用学过的乘法公式进行说明了．贝贝若有所悟，在老师的提示下，很快从一般意义上给出了这个发现的说明，你能做一做吗？
解：(2n－1)(2n＋1)＋1＝4n2－1＋1＝(2n) 2．
18．定义运算(a，b)&(c，d)＝ad－bc，求(x＋3，2x)&(x，x－3)的值．
解：(x＋3，2x)&(x，x－3)＝(x＋3)(x－3)－2x·x＝x2－9－2x2＝－9－x2完全平方公式
第2课时
【教材训练·5分钟】
1.去括号
（1）法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；
（2）用字母表示：=；
=.
2.添括号
（1）法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
（2）用字母表示：=；
=.
3.判断训练（请在括号内打“√”或“×”）
（1） （×）
（2）（×）
（3）（×）
（4）（×）
【课堂达标·20分钟】
训练点一：添括号法则的运用
1．（2分）（13版人教八上百练百胜P81训练点1T1） ( http: / / www.21cnjy.com )
2.（2分）（13版人教八上百练百胜P81训练点1T2） ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
3. （2分）为了用乘法公式计算(2x-3y-4z)( 2x-3y+4z)，
甲乙丙丁四位同学分别对它们进行了变形，其中变形正
确的是（ ）
（A）[2x-(3y+4z)][ 2x-(3y-4z)]
（B）[(2x-3y)-4z][ (2x-3y)+4z]
（C）[(2x-4z)-3y][ (2x+4z)-3y]
（D）[(2x-4z) +3y] [(2x-4z) -3y]
【解析】选B.观察(2x-3y-4z)( 2x-3y+4z)，符号相同的是2x、﹣3y，符号相反的是﹣4z和4z，把符号相同的放在一起，符号相反的放在一起，故选B.
4．（6分）（13版人教八上百练百胜P81训练点1T3） ( http: / / www.21cnjy.com )
5. （3分）（13版人教八上百练百胜P81训练点1T4）
训练点二：乘法公式的综合运用
1. （2分）（13版人教八上百练百胜P81训练点2T1） ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
2．（2分）（13版人教八上百练百胜P81训练点2T3）
3．（3分）计算：（1）（a－2b＋1）（a＋2b－1）
（2）（x－y－z）2；
【解析】（1）
（a－2b＋1）（a＋2b－1）=[a-(2b-1)][a+(2b-10)]=a2-(2b-1)2=a2-4b2+4b-1
（2）（x－y－z）2＝［x－（y＋z）］2＝x2－2·x·（y＋z）＋（y＋z）2＝x2－2xy－2xz＋y2＋2yz＋z2
＝x2＋y2＋z2－2xy＋2yz－2xz；
4.（4分）计算：（1）（m＋n）2（m－n）2－（2m＋n）2（2m－n）2；
（2）（x＋3y）2－2（x＋3y）（x－3y）＋（x－3y）2．
【解析】（1）（m＋n）2（m－n）2－（2m＋n）2（2m－n）2＝［（m＋n）（m－n）］2－［（2m＋n）（2m－n）］2
＝（m2－n2）2－（4m2－n2）2
＝m4－2m2n2＋n4－（16m4－8m2n2＋n4）
＝m4－2m2n2＋n4－16m4＋8m2n2－n4
＝－15m4＋6m2n2．
（2）（x＋3y）2－2（x＋3y）（x－3y）＋（x－3y）2
＝［（x＋3y）－（x－3y）］2
＝（6y）2
＝36y2．
5.（4分）（13版人教八上百练百胜P81训练点2T5） ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )【课后作业·30分钟】
一、选择题（每小题4分，共12分）
1．（13版人教八上百练百胜P81能力提升T1）
2. （13版人教八上百练百胜P81能力提升T2）
( http: / / www.21cnjy.com )
3. （13版人教八上百练百胜P81能力提升T3）
( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题（每小题4分，共12分）
4.（2012·扬州中考）已知，则的值是_______.
【解析】．
答案：5
5. （2012·佛山中考）如图，边长为m＋4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可简拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为
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【解析】边长为m＋4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余面积为＝＝，∵拼成的矩形一边长为4，则另一边长为.
答案：.
6. （2012·六盘水中考）下图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”。它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的想的系数，例如，展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字。请认真观察此图，写出的展开式，= .
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【解析】观察杨辉三角形，易知其规律如下图所示，故=
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1 4 6 4 1
答案：.
三.解答题（共26分）
7．（6分）（1）（2012·丽水中考）已知，
计算.
【解析】
（2）（2012·贵阳中考）先化简,再求值:
2b2+(a+b)(a-b)－(a-b) 2,其中a＝－3，b＝
【解析】2b2+(a+b)(a-b)－(a-b) 2＝2b2+a2 -b2－a2 +2ab -b 2＝2ab.
当a＝－3,b＝时,原式＝2ab＝2×(－3) ×＝－3.
8.（6分）（1）解不等式＞
（2）解方程组
【解析】（1）原式可化为：＞
，
-10x＞-15，∴x＜
（2）原方程组变形，得解得
9.（6分）（13版人教八上百练百胜P82能力提升T9）
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10.（8分）（能力拔高题）（13版人教八上百练百胜P82能力提升T10）
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( http: / / www.21cnjy.com )完全平方公式
第1课时
【教材训练·5分钟】
1.整式乘法中的完全平方公式
（1）公式：.
（2）表述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
（3）结构特征：等式的左边是两个数的和（差）的平方的形式，等式的右边有三项，其中，首、末两项是两个数的平方，且符号相同，中间项是两个数乘积的2倍，且符号与等式左边连接两个数的符号相同.
2.判断训练（请在括号内打“√”或“×”）
（1） （×）
（2） （×）
（3） （×）
（4） （×）
【课堂达标·20分钟】
训练点一：完全平方公式的应用
1．（2分）张强的身高 是(a-1)2米，那么下列式子与张强身高相等的是（ ）
（A）(a2-1) 米 （B） ( a2-2a-1) 米
（C）( a2-2a+1) 米 （D）( a2+1) 米
【解析】选C.∵(a-1)2= a2-2a+1.
2.（2分）（13版人教八上百练百胜P79训练点1T1）
( http: / / www.21cnjy.com )
3. （2分）（13版人教八上百练百胜P79训练点1T2）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
4．（2分）星期天小明去逛商场，他发现商场共有四层，
第一层有商品a×（a+b）种，第二层有(a+b)2种，第三
层有b×(a+b)种，第四层有(a-b)2种，则这个商场共有
_________种商品.
【解析】a×（a+b）+(a+b)2+ b×(a+b)+ (a-b)2=
=.
答案：
5. （2分）已知(a+b+1)(a+b-1)=63，则a2+2 a b + b2的值是 .
【解析】∵(a+b+1)(a+b-1)=63，∴，
∴，∴a2+2 a b + b2=64.
6.（4分）（计算）（13版北师七下百练百胜P21训练点1T7）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
7.（3分）（13版北师七下百练百胜P21训练点1T8）
( http: / / www.21cnjy.com )
训练点二：完全平方公式在简便运算中的应用
1. （2分）（13版人教八上百练百胜P79训练点2T2）
2．（2分）若，则的值是（ ）
（A）25 （B）23 （C）12 （D）11
【解析】选B.∵，∴，
∴，∴=23.
3.（2分）（13版人教八上百练百胜P79训练点2T3）
( http: / / www.21cnjy.com )
4. （4分）（13版人教八上百练百胜P79训练点2T6）
5.（3分）用简便方法计算：20132-4026×2012＋20122
【解析】20132-4026×2012×20122
=20132-2×2013×2012×20122=（=1.
【课后作业·30分钟】
一、选择题（每小题4分，共12分）
1.（2012·枣庄中考）如图，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为cm的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选D..
2. （2012·南昌中考）已知（m－ｎ）2＝8，（m＋ｎ）2＝2，则m2＋ｎ2＝（ ）
（A）10 （B）6 （C）5 （D）3
【解析】选C.∵（m－ｎ）2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )8，，∴ｍ2－2ｍｎ＋ｎ2＝8 ①，又∵（m＋ｎ）2＝2，，∴ｍ2＋2ｍｎ＋ｎ2＝2 ②，①+②，得2m2＋2ｎ2＝10，∴m2＋ｎ2＝5．故选C．
3. 如图所示的是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长(x＞y)，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是( )
（A）x+y=7 （B）x-y=2
（C）4xy+4=49 （D）x2+y2=25
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【解析】选D.由图示可以发现：(x+y)2=4xy+(x-y)2，
并且(x+y)2=49，(x-y)2=4.∴x+y=7，x-y=2，4xy+4=49，
而x2+y2=[(x+y)2+(x-y)2]=(49+4)=×53≠25.故关系式不正确的是D.
二、填空题（每小题4分，共12分）
4. （2012·凉山州中考）整式与的和是，则 .
【解析】A=（m+n）2 ﹣（m2﹣2mn+n2）=m2+2mn+n2﹣m2+2mn﹣n2=4mn．
答案： 4mn
5. 一个正方形的边长若增加3cm，那么它的面积就增
39cm2，这个正方形原来的边长是 cm.
【解析】设正方形原边长为a，则(a+3)2-a2=39，解得a=5
cm.
答案：5
6.（2012·遵义中考）已知x＋y＝﹣5，xy＝6 ，则x2
＋y2＝_______.
【解析】x＋y＝—5可得（x＋y） ( http: / / www.21cnjy.com )2＝25，整理得x2 ＋ 2xy＋y2＝25，把xy＝6代入x2 ＋ 2xy＋y2＝25得x2 ＋ y2＝25－12＝13.
答案：13
三.解答题（共26分）
7．（6分）计算：（1） ；
（2）；
（3）
【解析】
（1）===+ab+； （2）==；
（3）原式==
8.（6分）（1）（2012· 盐城中考）化简：(a－b)2+b(2a+b) .
（2）（2012·株洲中考）先化简，再求值：.
【解析】
（1）原式=a2－2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.
（2）原式
将a=–2,b=3代入上式得，上式.
9.（6分）计算
（1）
（2）(4)
【解析】原式=
(2)原式=10.（8分）（能力拔高题）
图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图②请你写出三个代数式（m＋n）2、（m－n）2、mn之间的等量关系是 .
（3）若x＋y＝－6，xy＝2.75，则x－y=＝ ．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了 ．
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【解析】（1）（m－n）2；（2）（m＋n）2－（m－n）2＝4mn；（3）±5；
（4）（2m＋n）（m＋n）＝2m2＋3mn＋n2．平方差公式
◆教学目标◆
◆知识与技能：会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．
◆过程与方法：. 经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．
◆情感态度：通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．
◆教学重点与难点◆
◆重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解
◆难点：平方差公式的应用．
◆教学过程◆
学生动手，得到公式
1. 计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）
2．提出问题：
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？
特点：
等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差
再试一试： 学生自己出相似的题目加以验证：
得到结论
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
即 （a+b）（a-b）=a2-b2 1：
熟悉公式
1．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？2：
认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a，变号的是b
运用公式
直接运用
例：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）3：
简便计算
例：（1）102×983： （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
练习： P153 练习1，2
4：
100.5×99.5 99×101×10001
四、课堂总结，发展潜能
本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a，第二个数b；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．
五、布置作业，专题突破
1. 课本14.2 1、2题．
2.备用题
1..证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方
2.求证：一定是24的倍数
◆板书设计◆
§15．2．1 平方差公式
一、探究、归纳规律──平方差公式
文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
符号语言：（a+b）（a-b）=a2-b2
二、1．用简便方法计算
2．计算：
三、应用、升华：
◆课后思考◆(共14张PPT)
14.2乘法公式
14.2.2完全平方公式
请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
(1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2-(a2+b2)
在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何进行这样的运算呢？
我们知道a2=a a，所以(a+b)2=(a+b)(a+b)，这样就转化成多项式与多项式的乘积了．
能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？
像研究平方差公式一样，我们探究一下(a+b)2的运算结果有什么规律．
计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______；
（2）(m+2)2=_______；
（3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=________；
（4）(m-2)2=________；
（5）(a+b)2=________；
（6）(a-b)2=________．
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+p+p+1=p2+2p+1
(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+2m+m 2+2×2=m2+4m+4
（3）(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2+p (-1)+(-1) p+(-1)×(-1)
=p2-2p+1
（4）(m-2)2=(m-2)(m-2)
=m2+m (-2)+(-2) m+(-2)×(-2)=m2-4m+4
（5）(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2
（6）(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
通过上面的研究，你能用语言叙述完全平方公式吗？
完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍
用符号怎么表述呢？
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
其实我们还可以从几何角度去解释完全平方差公式．
你能根据图（1）和图（2）中的面积说明完全平方公式吗？
先看图（1），可以看出大正方形的边长是a+b．还可以看出大正方形是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．阴影部分的正方形边长是a，所以它的面积是a2；
另一个小正方形的边长是b，所以它的面积是b2；另外两个长方形的长都是a，宽都是b，所以每个长方形的面积都是ab；大正方形的边长是a+b，其面积是(a+b)2．于是就可以得出：(a+b)2=a2+2ab+b2．这正好符合完全平方公式．
如图（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是a2；长方形DCGE与长方形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们的面积都是a b；正方形HCGM的边长是b，其面积就是b2；
正方形AFME的边长是（a-b），所以它的面积是(a-b)2．从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个长方形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积．也就是：(a-b)2=a2-2ab+b2．这也正好符合完全平方公式．
数学源于生活，又服务于生活，于是我们可以进一步理解完全平方公式的结构特征．现在，大家可以轻松解开课前提出的老人用糖招待孩子的问题了．
(a+b)2-(a2+b2) =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到的糖果总数比前两天他们得到的糖果总数多2ab块．
例1 运用完全平方公式计算:
(1) (4m+n)2; (2) (y- )2.
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2 (4m) n+n2
= 16m2+8mn +n2;
(2) (y - )2 = y2 - 2 y + ( )2
= y2-y +
例2 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ; (2) 992 .
解: (1) 1022 = (100 +2) 2
= 1002 +2×100×2 + 22
= 10 000 +400 +4
= 10 404 .
(2) 992 = (100 -1)2
= 1002 -2×100×1+12
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
1. 完全平方公式的内容是什么？
2. 请同学们总结完全平方公式的结构特征。
公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
3. 我们要正确理解公式中字母的广泛含义：它可以是数字、字母或其他式子，只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式完全平方公式
基础题—初显身手
1．下列多项式乘法中，可以用完全平方公式计算是( B )
A．(a＋b)(a－b) B．(m＋2)(2＋m)
C．(3＋y)(y－3) D．(x－2)(x＋1)
2．下列各式与(a－1)2相等的是( )
A．a2－1 B．a2－2a＋1
C．a2－2a－1 D．a2＋1
3．(y＋1)2＝y2＋2y＋1；(2－x)2＝4－4x＋x2．
能力题—挑战自我
4．计算(2x＋1)2的结果为( D )
A．2x2＋2x＋1 B．2x2＋4x＋1
C．2x2＋1 D．4x2＋4x＋1
5．小灰做了下列四道题：① ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋(－5)2＝(x＋5)(x－5)；②(x－y)2＝x2－y2；③(－a－b)2＝a2＋2ab＋b2；④(3a－b)(b－3a)＝－9a2＋6ab－b2.他拿给学习委员小樱看，小樱告诉他，只做对了( C )
A．4道 B．3道 C．2道 D．1道
6．下列各式能化成一个整式的平方的是( C )
A．x2＋2xy＋4y2 B．a2＋ab＋b2
C．25m2＋10mn＋n2 D．x2－2xy＋y2
7．若a2＋9b2＝(a＋3b)2＋M，则M等于( C )
A．0 B．6ab
C．－6ab D．6ab或－6ab
8．能整除代数式(n＋1)2－(n2＋1)的正整数是( C )
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如果x2＋kx＋64是一个整式的平方，那么k的值是( D )
A．8 B．－16
C．8或－8 D．16或－16
10．(m＋2n)2＝_m2＋4mn＋4n2_；(x＋__)2＝x2－x＋.
11．若a的值使得x2＋4x＋a＝(x＋2)2－1成立，则a＝__3_.
12．若m－n＝3，mn＝10，则m2＋n2＝__29_.
13．如图，一个正方形的边长为bcm，边长增加5cm后，它的面积增加__10b＋25__cm2.
14．计算：(1)(x－y)2；
(2)(a－2)2－a2；
(3)(a＋2b－3c)2．
解：(1)原式＝(x)2－2·(x) ·(y)2＋(y)2＝x2－2xy＋y2；
(2)原式＝a2－4a＋4－a2＝－4a＋4；
(3)原式＝[(a＋2b)－3c]2＝(a ( http: / / www.21cnjy.com )＋2b)2－2·(a＋2b)·(3c)＋(3c)2＝a2＋4ab＋4b2－6ac－12bc＋9c2．
15．先化简，再求值：(2x＋y)2－2y2，其中x＝4，y＝6．
解：原式＝4x2＋4xy＋y2－2y2＝4x2＋4xy－y2＝4×42＋4×4×6－62＝144．
16．如图是一个机器零件，大圆的半径为r＋2，小圆的半径为r－2，求阴影部分的面积；若半径r＝5cm，则阴影面积等于多少？
解：S阴影＝(r＋2)2－(r－2)2＝ ( ( http: / / www.21cnjy.com )r2＋4r＋4)－(r2－4r＋4)＝r2＋4r＋4－r2＋4r－4＝8r.当r＝5cm时，S阴影＝40cm2．
17．李明和王虎学完了乘法公式后，便决定利用下面的三个图形(一个正方形和两个一样的梯形)拼图来验证一下完全平方公式.
同学们，也请你来一起验证吧(请画出你所拼的图形，并写出验证过程).
解：拼图如下：
大正方形的面积有两种求法：(1)(a＋b)2 ( http: / / www.21cnjy.com )；(2)a2＋2×(a＋a＋b)b＝a2＋2ab＋b2.即有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
18．一个长方体的底面是边长为(mn＋2)的正方形，若高为3，求这个长方体的体积．
解：3(mn＋2)2＝3(m2n2＋4mn＋4)＝3 m2n2＋12mn＋12．
19．若|x＋y－7|＋(xy－6)2＝0，求x2＋y2的值.
解：因为|x＋y－7|＋(x ( http: / / www.21cnjy.com )y－6)2＝0，所以x＋y－7＝0，xy－6＝0，即x＋y＝7，xy＝6．(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2， x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝72－2×6＝49－12＝35．
20．解方程：(x＋)2＝ (x－)(x＋)＋.
解：x2＋x＋＝x2－＋，x2＋x－x2＝－＋－，x＝，x＝．
拓展题—勇攀高峰
21．已知a(a－1)＋(b－a2)＝－7，求－ab的值.
解：因为a(a－1)＋(b－a2 ( http: / / www.21cnjy.com ))＝－7，所以a2－a＋b－a2＝－7，即a－b＝7．又因为(a－b)2＝a2－2ab＋b2，所以a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝49＋2aB．－ab＝－ab＝＋ab－ab＝．
22．已知：x2－2x＋y2＋6y＋10＝0，求x＋y的值．
解：由x2－2x＋y2＋6y＋10＝0得：(x2－2x＋1)＋ (y2＋6y＋9)＝0，(x－1)2＋(y＋3)2＝0，所以x＝1，y＝－3，所以x＋y＝1＋(－3)＝－2．平方差公式
【教材训练·5分钟】
1.整式乘法中的平方差公式
（1）公式： .
（2）表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
（3）公式结构特征：等式的左边是两个数的和与这两个数的差的积，等式的右边是这两个数的平方差.
2.判断训练（请在括号内打“√”或“×”）
（1） （×）
（2 （×）
（3） （√）
（4） （×）
【课堂达标·20分钟】
训练点一：平方差公式的直接应用
1．（2分）（13版人教八上百练百胜P77训练点1T1）
( http: / / www.21cnjy.com )
2.（2分）（13版人教八上百练百胜P77训练点1T2）
( http: / / www.21cnjy.com )
3. （2分）(1+x2)(x2-1)的计算结果是（ ）
（A）x2-1（B）x2-1 （C） x4-1 （D） 1-x4
【解析】选C. (1+x2)(x2-1)=== x4-1.
4．（2分）计算（x2 + ）（x+）(x-)的结果为( )
（A）x4+ （B）x4-
（C） x4-x2+ （D）x4-x2+
【解析】选B. （x2 + ）（x+）(x-)=
== x4-.
5. （2分）= .
【解析】==.
答案：
6.（6分）计算：（1）(3a＋2b)(3a－2b)
（2）
（3）(200＋1)(200－1)
（4）
【解析】
（1）原式＝(3a)2 －(2b)2＝9a2－4b2
（2）原式＝
（3）原式＝2002－12＝39999
（4）原式＝[(x＋y)－z][(x＋y)＋z]
＝(x＋y)2－z2＝x2＋xy＋xy＋y2－z2＝x2＋2xy＋y2－z2.
训练点二：平方差公式在简便运算中的应用
1．（2分）（13版北师七下百练百胜P19训练点2T1）训练点胜xi )(2000-4)=2000
2.(2分) （13版北师七下百练百胜P19训练点2T2）
3.（2分）（13版人教八上百练百胜P77训练点1T2）
4.（13版人教八上百练百胜P77训练点2T3）
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】等式左边是两个连续奇数的乘积，则.
答案：.
5.（6分）应用平方差公式计算：
（1）；
（2）（13版北师七下百练百胜P19训练点2T4（2））
(3) （13版人教八上百练百胜P77训练点2T6（1））
（4）（13版北师七下百练百胜P19训练点2T4（3））
【解析】
（1）==
（2）
(3)
（4） ( http: / / www.21cnjy.com )
【课后作业·30分钟】
一、选择题（每小题4分，共12分）
1．平方差公式 中的a 、b表示（ ）
（A）只能是数或字母 （B）只能是字母
（C）只能是多项 （D）可以是单项式或多项式
【解析】选D. （a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示可以是单项式，也可以是多项式.
2.（2012·雅安中考）计算a2(a+b)(a-b)+a2b2等于 （ ）
（A）a4 （B）a6 （C）a2b2 （D）a2-b2
【解析】选A. a2(a+b)(a-b)+a2b2=a2(a2-b2)+a2b2=a4-a2b2+ a2b2= a4.
3. （13版人教八上百练百胜P78能力提升T2）
二、填空题（每小题4分，共12分）
4. 已知（a＋b－3）2＋（a－b＋5）2＝0．则a2－b2= ．
【解析】∵（a＋b－3）2＋（a－b＋5）2＝0，∴a＋b－3=0，
a－b＋5=0，∴a＋b=3，a－b=﹣5，又∵（a＋b）（a－b）= a2－b2，∴a2－b2=﹣15.
答案：﹣15
5. （13版北师七下百练百胜P18能力提升T6）
6. （13版北师七下百练百胜P20能力提升T6）
( http: / / www.21cnjy.com )
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三.解答题（共26分）
7．（6分）（13版北师七下百练百胜P18能力提升T7）
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
8.（6分）（1）（2012·无锡中考） 3(x2+2)一3(x+1)（x一1）．
（2）(2012·吉林中考)先化简，再求值：(a＋b)（a－b）＋2a2，其中a＝l，b＝．
【解析】
（1）原式=3x2+6－3(x2—1) =3x2+6－3x2+3 =9
（2）原式＝a2－b2＋2a2＝3a2－b2，当a＝l，b＝时，原式＝3－() 2＝1．
9.（6分）（13版人教八上百练百胜P78能力提升T8）
10.（8分）（能力拔高题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，
（1－x）（1+x+x2+x3）=1－x4．
（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+xn）=______．（n为正整数）
（2）根据你的猜想计算：
①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．
②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．
③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．
（3）通过以上规律请你进行下面的探索：
①（a－b）（a+b）=_______．
②（a－b）（a2+ab+b2）=______．
③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．
【解析】（1），（3）题根据观察到的规律正确填写即可；（2）题①中利用观察到的规律可知，原式=1－26=1－64=－63；
②中原式=2（1+2+22+…+2n－1）=－2（1－2（1+2+22+…+2n－1）
=－2（1－2n）=－2+2·2n=2n+1－2；
③中原式=－（1－x）（1+x+x2+…+x97+x98+x99）=－（1－x100）=x100－1．
（1）1－xn+1 （2）①－63；②2n+1－2；③x100－1
（3）①a2－b2 ②a3－b3 ③a4－b4(共11张PPT)
乘法公式
14.2.1平方差公式
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(x+1)(x－1)； (2) (a+2)(a－2)；
(3) (3－x)(3+x) ； (4) (2x+1)(2x－1).
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
平方差公式:
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
(－ m+n) (－ m － n) =
m2 － n2.
(a+b)(a－ b)=
a2－ b2 .
a2－ ab+ab－ b2=
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？
(a+b)(a－b)=a2－b2.
图1
图2
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2)
=(3x)2－22
=9x2－4；
（2）(b+2a)(2a－b)
=(2a+b)(2a－b)
=(2a)2－b2
=4a2－b2.
(3) (-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2－(2y)2
= x2－4y2
活动3
例2 计算
(1) 102×98
(2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
2.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a - 3b)=
（2）(3+2a)(－3+2a)=
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)=
（4）51×49=
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)=
(a)2－(3b)2
=4 a2－9；
=4x4－y2.
活动4 练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？
(1)(x+2)(x－2)=x2－2； (2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 ；
=(2a)2－32
(-2x2 )2－y2
(50+1)(50-1)
=502－12
=2500-1
=2499
(9x2－16) -
(6x2+5x -6)
=3x2－5x+10
活动5 科学探究
给出下列算式: 32－12=8 =8×1；
52－32=16=8×2；
72－52=24=8×3；
92－72=32=8×4.
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
（2）用含n的式子表示出来 （n为正整数）.
（3）计算 20052－20032= 此时n = .
连续两个奇数的平方差是8的倍数.
（2n+1)2－ (2n－1)2=8n
8016
1002
提示:根据2005=2n+1或2003=2n-1求n
利用平方差公式计算：
(1)(5+6x)(5－6x); (2)(x－2y)(x+2y);
(3)(－m+n)(－m－n).
活动6 知识应用，加深对平方差公式的理解
下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( ):
（1）(x+1)(1+x)； （2）(a+b)(b－a) ；
（3）(－a+b)(a－b)； （4）(x2－y)(x+y2)；
（5）(－a－b)(a－b)； （6）(c2－d2)(d2+c2).
1.通过本节课的学习我有哪些收获？
2.通过本节课的学习我有哪些疑惑？
3.通过本节课的学习我有哪些感受？
小结乘法公式-完全平方公式
学习目标：会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算，掌握完全平方公式的计算方法．形成推理能力．
学习重点：完全平方公式的推导和应用．
学习过程
一、知识回顾：请同学们应用已有的知识完成下面的几道题：
计算：（1）（2x－3）（2x－3） （2）（a+1）2 （3）（x+2）2
（4）(a - 1) 2 (5)（m - 2）2 (6)（2x－4）2
二、探究新知：
【活动1】:
观察思考：通过计算以上各式，认真观察，你一定能发现其中的规律？
⑴ 要计算的式子都是 形式，结果都是 项，
⑵ 原式第一项和结果第一项有什么关系？
⑶ 原式第二项与结果最后一项是什么关系？
⑷结果中间一项与原式两项的关系是什么？
猜测：（a+b）2 =
（a－b）2 =
验证：请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．
⑴（a+b）2 ⑵ （a－b）2
归纳：完全平方公式：（a+b）2=
（a－b）2=
语言叙述：
【活动2】：其实我们还可以从几何的角度去解析完全平方公式，你能通过课本P154思考中的拼图游戏说明完全平方公式吗？
三、范例学习：
例1 运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2 (2) (y －）2 （3）（－x－y）2； （4）（b－a）2
练习 1 课本P155练习1、2
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022 （2）992
练习2 计算：⑴ 2012 ⑵ 972
思考：与相等吗？与相等吗？
注意：① 如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项 的；②如果两个数具有不同的符号，则它们乘积的2倍这一项就是 ．
自主检测
1．填空：⑴（x－）2=x2+_______+． ⑵ （0.2x+_______）2=______+0.4x+________．
⑶（x－2y）2=x2+（______）+4y2 ⑷ （___ _）2=a2－6ab+9b2
⑸ x2+4x+4=（_____ ___）2 ⑹（x－y）（x+y）（x2－y2）=______ ___．
2．用完全平方公式计算：
（1）（2x+3）2； （2）（2x－3）2； （3）（3－2x）2； （4）（－2x－3）2；
（5）（－）2； （6）（2xy+3）2； （7）（－ab+）2； （8）（7ab+2）2．完全平方公式
基础题—初显身手
1．利用完全平方公式计算79.82，下列变形最恰当的是( B )
A．(99＋0.8)2 B．(80－0.2)2
C．(100－20.2)2 D．(70＋9.8)2
2．(a＋b)2＝(a－b)2＋_4ab_．
3．利用完全平方公式计算：972＝(100－3)2＝(100)2－2×100×3＋32＝9409．
能力题—挑战自我
4．下列运算中，错误的运算有( D )
①(3x＋y)2＝9x2＋y2，
②(a－2b)2＝a2－4b2，
③(－m－n)2＝m2－2mn＋n2，
④(x－ )2＝x2－2x＋，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．能整除代数式(n＋1)2－(n－1) 2(n为正整数)的正整数是( A )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．一个长方形的面积为x2－y2，以它的长边为边长的正方形的面积为( C )
A．x2＋y2 B．x2＋y2–2xy
C．x2＋y2＋2xy D．以上都不对
7．为了用乘法公式计算(2x－3y－4z)( 2x－3y＋4z)，甲乙丙丁四位同学分别对它们进行了变形，其中变形正确的是( B )
A．[2x－(3y＋4z)][ 2x－(3y－4z)]
B．[(2x－3y)－4z][(2x－3y)＋4z]
C．[(2x－4z)－3y][(2x＋4z)－3y]
D．[(2x－4z)＋3y][(2x－4z)－3y]
8．1.23452＋0.76552＋2.469×0.7655＝ 4 ．
9．若(x－1)2＝2，则代数式x2－2x＋5的值为__3_．
10．一个正方形的边长增加5cm后，它的面积增加了125cm2，则这个正方形的边长为 10 cm.
11．－x2＋6x＋2003的最小值是 2012 ．
12．计算：(1)(2x－y＋1) (2x－y－1)；
(2)(a－2)(a＋2)－(a－1)2；
(3) (x－2y)2－2(2x－y)(x＋2y)．
解：(1)原式＝[(2x－y)＋1][(2x－y)－1]＝(2x－y)2－1＝4x2－4xy＋y2－1；
(2)原式＝a2－4－(a2－2a＋ ( http: / / www.21cnjy.com )1)＝a2－4－a2＋2a－1＝2a－5；(3)原式＝x2－4xy＋4y2－2(2x2＋4xy－xy－2y2)＝ x2－4xy＋4y2－4x2－8xy＋2xy＋4y2＝－3x2－10xy＋8y2．
13．当a＝1，b＝－2时，求(a＋b)2－(a－b)2＋2a(a－b)的值．
解：原式＝a2＋ab＋b2－(a2－ab＋b2)＋2a2－2ab＝a2＋ab＋b2－a2＋ab－b2＋2a2－2ab＝2a2．当a＝1，b＝－2时，上式＝2×12＝2．
14．已知(a＋b)2＝11，(a－b)2＝5，求a2＋b2的值.
解：因为(a＋b) 2＝11，(a－b)2＝5，所以a2＋2ab＋b2＝11， a2－2ab＋b2＝5，所以a2＋2ab＋b2＋a2－2ab＋b2＝16，所以2a2＋2b2＝16，即a2＋b2＝8．
15．一长方形场地内要修建一个正方形花坛，预计花坛边长比场地的长少8米、宽少6米，且场地面积比花坛面积大104平方米，则长方形长和宽．
解：设正方形的边长为x米，则长方形的长为(x＋8)米，宽为(x＋6)米，根据题意思得：
(x＋8)(x＋6)－x2＝104，x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋14x＋48－x2＝104，14x＝104－48，14x＝56，x＝4．答：长方形的长为12米，宽为10米．
16．已知x2－2x＝1，求(x－1)(3x＋1)－(x＋1)2的值．
解：(x－1)(3x＋1 ( http: / / www.21cnjy.com ))－(x＋1)2＝3x2＋x－3x－1－(x2＋2x＋1)＝3x2＋x－3x－1－x2－2x－1＝2x2－4x－2＝2(x2－2x)－2，因为x2－2x＝1，所以，原式＝2×1－2＝0．
拓展题—勇攀高峰
17．你能很快算出20052的值吗？
为了解决这个问题，我们考察个位上的 ( http: / / www.21cnjy.com )数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数都可以写成10n＋5，即求(10n＋5) 2 的值(n为自然数).请你分析n＝1，n＝2，n＝3，……，从这些简单情况出发，探索其规律，并归纳猜想出结论(在下面空格内填上你的探索结果)
(1)通过计算，探索规律如下：
152＝225可写成 100×1×(1＋1)＋25，
252＝625可写成 ( http: / / www.21cnjy.com )100×2×(2＋1)＋25，
352＝1225可写成 100×3×(3＋1)＋25，
452＝2025可写成 100×4×(4＋1)＋25，
……
752＝5625可写成__ __，
852＝7225可写成________________，
(2)按第(1)题探索出来的规律，归纳猜想得出
(10n＋5) 2＝________________，
(3)根据上面归纳猜想，计算得出20052＝_____．
解：(1)100×7×(7＋1)＋ ( http: / / www.21cnjy.com )25；100×8×(8＋1)＋25，(2)100n(n＋1)＋25，(3)100×200×(200＋1)＋25＝4020000＋25＝4020025．
18．若一个三角形的三边a、b、c满足等式：a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，这个三角形是什么三角形？.
解：a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0，(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)＝0，(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，因为(a－b)2≥0，(a－c)2≥0，(b－c)2≥0，所以a－b＝0，a－c＝0，b－c＝0，即a＝b＝c，所以这个三角形是等边三角形．
