2023-2024学年数学八年级直角三角形单元测试试题（湘教版）基础卷（含解析）

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2023-2024学年数学八年级直角三角形（湘教版）
单元测试 基础卷一
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）如图，是的平分线，于E，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，用尺规作图作已知角平分线，根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）下列长度的三条线段首尾相连能组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，2，3 C．2，3，4 D．5，12，13
4．（本题3分）勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想
5．（本题3分）如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方以为边作长方形，以点C为圆心，的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则点P表示的数是（　　）

A．1 B． C． D．
6．（本题3分）如图，在四边形中，对角线分别为，，且交于点，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）如图，P为的平分线上一点，，垂足分别为，若，的面积为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）五根小木棒，其长度（单位：）分别为，，，，，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（本题3分）如图， 是 的角平分线， ，垂足为， ， ， ，则 长为（　　）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）已知直角三角形面积为24，斜边长为10，则其周长为 ．
12．（本题3分）在平面直角坐标系中，点，点，则线段 ．
13．（本题3分）一个直角三角形，有一个锐角是，另一个锐角是 °．
14．（本题3分）如图，中，，，，，连接，则的长度是 ．
15．（本题3分）如图，中，，分别以的边为一边向外作正三角形，记三个正三角形的面积分别为．若，则 ．
16．（本题3分）如图，，点是的中点，则的度数是 ．
17．（本题3分）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是 ．

18．（本题3分）如图，已知三角形纸片，，，，点是边的中点，点在边上，将沿翻折压平，使点恰好落在线段上，则等于 ．

评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）已知：如图，，D为上一点，连接相交于F，，求证：．
20．（本题8分）已知：如图，于，于，若，；求证：平分．
21．（本题10分）如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：．
22．（本题10分）如图，平分，， 在的延长线上截取，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
23．（本题10分）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边上．
(1)若，则______
(2)求证：平分；
(3)连接，判断线段与线段的位置关系，并说明理由．
24．（本题10分）如图，公路上A，B 两站相距8千米，C，D为两村庄， 垂足分别为点A，B．已知长3 千米， 长5千米，现要在公路 上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处
25．（本题10分）如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M，N．求证：．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，再根据，即可解答．
【详解】解：过点D作于点F，
∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了作图作已知角平分线．利用作图痕迹得到，，加上为公共边，则根据“”可判断，从而得到．
【详解】解：由作图痕迹得到，，
，，，
，
，
即平分．
故选：A．
3．D
【分析】本题考查构成三角形的条件及勾股定理逆定理，根据构成三角形的条件及勾股定理逆定理逐项验证即可得到答案，熟记构成三角形的条件及勾股定理逆定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、4，5，6满足构成三角形的条件，但是，三条线段首尾相连不能组成直角三角形，不符合题意；
B、由可知，这三条线段不能构成三角形，不符合题意；
C、2，3，4满足构成三角形的条件，但是，三条线段首尾相连不能组成直角三角形，不符合题意；
D、5，12，13满足构成三角形的条件，且，三条线段首尾相连能组成直角三角形，符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．
【详解】这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：．
5．D
【分析】此题考查勾股定理，根据长方形的性质得到，由此，利用勾股定理求出长度即可．
【详解】连接，

∵长方形，，
∴，
∴，
∴，
∴点P表示的数是，
故选：D．
6．A
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键，分别是两个直角三角形的斜边，在中，，在中，，，进而求解．
【详解】解：在和中，，，
；
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解本题的关键．利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可．
【详解】解：，，，
，
少走的路长为，
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了三角形的面积与角平分线的性质，解题的关键是熟知相关公式与性质．
先根据直角三角形的面积公式求得的长度，然后再根据“角平分线的任意一点到角两边的距离相等”可得．
【详解】解：由题意可知，，
即：，
∴．
∵P为的平分线上的一点，，
∴．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，用勾股定理逆定理的条件去判断图中三角形是否为直角三角形即可，熟练掌握勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形是解题的关键．
【详解】解：、∵，，
∴它们不能摆成两个直角三角形；
、∵，，
∴它们不能摆成两个直角三角形；
、∵，，
∴它们能摆成两个直角三角形；
、∵，，
∴它们不能摆成两个直角三角形；
故选：．
10．B
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，然后利用的面积公式列式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】如图，过点作于，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
11．24
【分析】本题考查了勾股定理的应用．设直角三角形的两直角边分别是a、b（，且a、b均为正数），利用勾股定理和三角形的面积公式求得两直角边是6和8．然后由三角形的周长公式求得该直角三角形的周长．
【详解】解：设直角三角形的两直角边分别是a、b（，且a、b均为正数），
则，
解得：，
所以该直角三角形的周长是：．
故答案为：24．
12．5
【分析】本题主要考查了两点之间的距离．利用两点之间的距离公式进行计算，即可求解．
【详解】解：∵点，点，
∴．
故答案为：5
13．
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟记相关结论即可.
【详解】解：∵直角三角形的两个锐角互余，
∴另一个锐角是，
故答案为：
14．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
过点C作，使，连接，过点E作，交的延长线于点F，证明，得出，证出四边形是正方形，得出，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
【详解】解: 过点C作，使，连接,过点E作,交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．4
【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积．先设，，，根据勾股定理有，再根据等式性质可得，再根据等边三角形的性质，易求而，同理可求，，从而可得，易求．
【详解】解：设，，，那么
是直角三角形，
，
，
又，，，
，
，，
故答案为：4
16．/70度
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，以及等腰三角形性质等相关知识，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，根据等腰三角形的性质可知，进而即可得解．
【详解】解：，点是的中点，
，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查解平分线的性质，勾股定理，过点D作于点E，由角平分线性质定理得，由勾股定理求出，最后根据三角形面积可求出．
【详解】解：如图，过点D作于点E，

∵平分，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
又
∴
∴，
解得，，
即：点D到的距离是
故答案为：．
18．3或4
【分析】本题考查折叠问题以及含角的直角三角形的性质，根据题意，分三种情况进行讨论：点与点重合、点在线段之间以及点与点重合，依据折叠的性质以及含角的直角三角形的性质进行计算即可得到的长，解决问题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【详解】解：①如图所示，当点与点重合时，三点共线，
∴；

②如图所示，当点在线段中间时，

由折叠可得，，
点是边的中点，
，
，
在三角形纸片中，，，则，
是等边三角形，
，
，即与点重合，满足①，同理解得；
③如图所示，当点与点重合时，三点共线，

∴，
∴，
∴在中，，
由折叠可得，，
∴，即；
综上所述，的长为3或4，
故答案为：3或4．
19．见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定，掌握利用判定两个三角形全等是解决此题的关键．
【详解】证明：∵
∴，
在和中，
，
∴．
20．见解析
【分析】本题考查了角平分线的判定，证是解题关键．
【详解】证明：∵，，
∴
在和中：
∴，
∴
又∵，，
∴平分
21．证明过程见详解．
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得即可得证．
【详解】证明：平分，
，
在和中，
，
．
22．(1)详见解析
(2)线段的长为
【分析】（1）由角平分线的已知条件和，通过等量代换得到，从而证明，
（2）根据，得出角等，在中确定直角，用勾股定理，即可求出线段的长，
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
，
故答案为：线段的长为．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和证明，等腰三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是：理解相关定理，从已知条件中通过推导，得出相应的结论．
23．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由题意得，根据旋转得，则即可求得；
（2）由旋转可得和，则有，得到，即可证明结论；
（3）由旋转得和，则有和，进一步求得，结合，即可求得，故．
【详解】（1）解：∵，
∴，
根据旋转得，则，
∴．
故答案为：；
（2）解：由旋转可得，，
∴，
∴，
∴平分
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义以及垂直定义，解题的关键是熟悉旋转的性质和等腰三角形的性质．
24．大卖场E应建在离A站千米处
【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是关键．设千米，则千米，在和中，利用勾股定理可用x表示出和；接下来根据列方程求出x的值即可．
【详解】解：设千米，则千米，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
因为，所以，解得，
所以大卖场E应建在离A站千米处．
25．证明见解析
【分析】本题考查角平分线的性质计算和证明，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，利用是的平分线，，利用“”可证,即可得到,再利用“”证得，即可得到答案．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
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