2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（相似三角形问题）（含答案）

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（相似三角形问题）
1．已知抛物线交x轴于、，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点P是第四象限内抛物线上的一点，交y轴于点D，连接，若，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接（如图②），在线段上是否存在点Q，使与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)在（2）的条件下，如图②，在y轴上有一点R，当时，请直接写出点R的坐标．
2．如图1，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C，顶点为．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点D为线段上的一点，当时，求点D的坐标；
(3)如图3，点P为直线上方的抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交于点Q，连接，当与相似时，求点P的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与坐标轴分别相交于点A，B，三点，其对称轴为．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴，直线交于点，．
①当时，求的长；
②若，，的面积分别为，，，且满足，求点的坐标．
4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在原点右侧），与y轴交于点C．抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F，连接BC．

(1)求A、B、C三点坐标；
(2)如图，点P是线段上一动点，过点P作轴，交抛物线于点D，问当动点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时P点的坐标；
(3)坐标轴上是否存在点G，使以A，C，G为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标：若不存在，请说明理由．
5．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为，且与直线交于两点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)求证：是直角三角形；
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作轴与抛物线交于点M，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P在抛物线上．

(1)求a的值；
(2)直线与抛物线，分别交于点A，B，若的最大值为3，请求出m的值；
(3)Q是x轴的正半轴上一点，且的中点M恰好在抛物线上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
7．综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，为线段上的动点，连接，当与相似时，求出点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线经过两点，．过点作轴，交抛物线于点，交轴于点．

(1)求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；
(2)若抛物线上存在点M，使得的面积为，求出点M的坐标；
(3)连接、、、，在坐标平面内，求使得与相似（边与边对应）的点的坐标．
9．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线且，顶点为D，连接与抛物线的对称轴l交于点E．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t，求四边形面积S的最大值及此时P点的坐标；
(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，将抛物线向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为，平移后的抛物线与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点．判断以三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．
(3)直线与抛物线交于两点（点在点的右侧），当轴上存在一点，能使以三点为顶点的三角形与相似时，请直接写出点的坐标．
11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B，C重合），过点P作，垂足为点D，点P在运动的过程中，以P，D，C为顶点的三角形与相似时，求点P的坐标；
(3)在y轴负半轴上是否存在点N，使点A绕点N顺时针旋转后，恰好落在第四象限抛物线上的点M处，且使，若存在，请求N点坐标，若不存在，请说明理由．（请在备用图中自己画图）
12．如图1，抛物线经过两点，与y轴相交于点C，连结，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线于点G，交x轴于点E．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，当点P在位于直线上方的抛物线上运动时，连结，四边形的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由．
(3)如图1，当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△相似？并求出此时点P的坐标．
13．在平面直角坐标系中，点B从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．是等腰直角三角形，其中，，点C在第一象限，过C作轴，垂足为D，连接交于E，设运动时间为秒．

(1)证明：≌；
(2)当与相似时，求t的值；
(3)在（2）条件下，抛物线m经过A，B，D三点，请问在抛物线m上否存在点P，使得面积与的面积相等？若存在，请求出．
14．如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与 轴交于点，抛物线的顶点为，点是轴上方抛物线上的一个动点，过作轴于，交直线于．
(1)求二次函数表达式及顶点的坐标；
(2)当时，求点的坐标；
(3)设抛物线对称轴与轴交于点，连接交对称轴于，连接并延长交对称轴于，证明的值为定值，并求出这个定值．
15．如图1，抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D，抛物线与x轴的交点为F，G．

(1)求该抛物线的表达式．
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积．
(3)如图2，若轴交于点E且点P在直线上方，求的最大值．
(4)若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．
16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C，顶点为D．抛物线对称轴与x轴交于点F，E是对称轴上的一个动点．
(1)若，求的值；
(2)若，求点E的坐标；
(3)当取得最小值时，连接并延长交抛物线于点M，请直接写出的长度．
17．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，，点坐标为．

(1)求抛物线解析式；
(2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
(3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知二次函数的图像交x轴于点，，交y轴于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0(3)求t为何值时，是等腰三角形？
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)存在，
(4)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出的长，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，与二次函数的解析式联立求解即可得；
（3）先利用两点之间的距离公式求出，利用待定系数法可得直线的解析式为，从而可设点的坐标为，可得的长，再分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得；
（4）分两种情况：①点在轴正半轴上和②点在轴负半轴上，利用等腰三角形的三线合一、一次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将点、代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：、，
，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，即，
解得或（不符合题意，舍去），
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，
解得或（即为点），
所以点的坐标为．
（3）解：，
，，，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，
，
①当时，
，即，
解得或（不符合题意，舍去），
，
所以此时点的坐标为；
②当时，
，即，
整理得：，此方程没有实数根，
综上，在线段上存在点，使与相似，此时点的坐标为．
（4）解：①如图，当点在轴正半轴上时，

，
，
又，
，
；
②如图，当点在轴负半轴上时，
设与直线交于点，延长与直线交于点，

设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
，
，，
，
又，即，
，即点是的中点，
设点的坐标为，
，解得，
，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，
，
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用、相似三角形的判定与性质、求一次函数的解析式、等腰三角形的三线合一等知识点，较难的是题（4），正确分两种情况讨论是解题关键．
2．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先确定点C的坐标，然后在根据顶点坐标确定坐标轴得到，再将点代入，可得：；进而求得a、b的值即可；
（2）先说明是等腰直角三角形可得，；过点D作，可知是等腰直角三角形，即；再说明；设，则，解直角三角形可得、，最后根据列方程求得m的值即可；
（3）由轴可得：，设；由待定系数法可得直线的解析式为，则点Q、；过点C作，则，
可得；然后分和两种情况分别根据相似的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，则点C的坐标为
∵点是的顶点坐标，
∴，即
将点代入，可得：
∴
∴，，
∴．
（2）解：令，则，解得：或，
∴，
∵，
∴，，
∴是等腰直角三角形
∴，
过点D作
∴是等腰直角三角形
∴，
∴，即，
设，则
∴，
∵，
∴，即
∵
∴，解得：
∴D的坐标为．

（3）解：∵轴，
∴
设
由，
运用待定系数法可得直线的解析式为，
过C作
∴点Q，，
过点C作，则，
∴，
∵，，
当时，即，
∴，解得：（舍去），，
∴；
当时，即，
∴，解得：（舍去），，
∴；
综上，点P的坐标为或．

【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
3．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据抛物线对称轴为，可得，求得，再将代入抛物线，根据待定系数法求得，即可解答；
（2）①求出点，点的坐标，即可得到直线的解析式为，设，则，求得的解析式，列方程求出点的坐标，最后根据列方程，即可求出的长；
②过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，根据，可得，即，证明，设，得到直线的解析式，求出点D的坐标，即可得到点的坐标，将点E的坐标代入解方程，即可解答．
【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为，
得，
解得，
将代入抛物线可得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，得，
解得，，
，，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
设，则，
设的解析式为，将，代入，
得，
解得，
的解析式为，
联立方程，
解得，
根据，得，
解得，，
经检验，，是方程的解，
点是该抛物线上位于第一象限的一个动点，
在轴正半轴，
，
即的长为；
②解：如图，过分别作的垂线段，交于点，过点D作的垂线段，交于点I，

，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，即点D的横坐标为，
，
设的解析式为，将，，
代入得，
解得，
的解析式为，
，即，
，
四边形是矩形，
，
，即，
将代入，
得，
解得，（舍去），
．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数，二次函数与一元二次方程，两点之间的距离，相似三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
4．(1)，，
(2)四边形CEBD的最大面积为，此时点P的坐标为
(3)存在，点G的坐标为，，
【分析】（1）根据抛物线表达式，求解与坐标轴交点A、B、C三点坐标即可；
（2）根据B、C坐标求出设直线的解析式，设点P坐标为m，表示出，再根据表示出关于m的表达式，根据表达式求出四边形的最大面积和P点的坐标即可；
（3）根据抛物线表达式求出B、C、F三点坐标，分析的形状，分类讨论和不同角对应相等时，求出点G的坐标即可．
【详解】（1）解：解方程得：，
，
当时，
∴；
（2）解：，
设直线的解析式为
把点，分别代入中，
得解得，
∴直线的解析式为．
∵点P在线段上，点D在抛物线上，轴，
∴设，则．
∴，
∴
∴当，四边形的面积最大，最大面积为，此时点P的坐标为．
（3）解：存在．连接，，，如解图所示．

∵，
∴．
又∵，，
∴，，，，，
∴，
∴为直角三角形．
∵，，，
∴
∴．
∴当点G与点O重合时，，
∴此时点G的坐标为．
过点A作交y轴正半轴于点，如解图所示，此时．
∴，则．
∴，
∴，
∴．
过点C作交x轴负半轴于点，如解图所示，此时．
∴，即．
∴，
∴，
综上所述，点G的坐标为，，．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质与应用，结合求多边形最大面积、相似三角形相关知识点，综合性较强．数形结合、综合知识点、分类讨论求解是解题的关键．
5．(1)
(2)见解析
(3)存在，N点，其坐标为或或或
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于D、E两点，得出和为等腰直角三角形,进而可得出,即可得到答案；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出的长度，当和相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标．
【详解】（1）∵顶点A的坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
又∵抛物线过原点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，即，
联立抛物线和直线解析式可得，
解得或，
∴，；
（2）如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于D、E两点，
则，，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，即，
∴是直角三角形；
（3）存在，点N的坐标为或或或，理由如下：
假设存在满足条件的点N，
设，则，
∴，，
由（2）在和中，可分别求得，，
∵轴于点N，
∴，
∴当和相似时有或，
①当时，则有，即，
∵当时，M、O、N不能构成三角形，
∴，
∴，即，
解得或，此时N点坐标为或；
②当时，则有，即．
∴，
即，解得或，此时N点坐标为或．
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为或或或．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度稍大．
6．(1)
(2)
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线即可解答；
（2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可求出m的值即可；
（3）过点Q作x轴的垂线，分别过点P，G作x轴的平行线，与分别交于K，N，则，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，从而可得出结论．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为P，
∴顶点坐标为，
点在抛物线上，
，
．
（2）解：直线与抛物线，分别交于点A，，
，，
，
，
当时，的最大值为，
的最大值为3，
，解得，
，
．
（3）解：存在，理由如下：
设点的横坐标为，则，
，
点在轴正半轴上，
且，
，
，，，．
如图，过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，，

，，
，
，
，
，
，即．
，，，
，解得．
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的性质与判定、中点坐标公式等知识点，解题的关键是构造相似三角形得出方程进行求解．
7．(1)抛物线的解析式为；
(2)点的坐标为或；
(3)存在点，使得是等腰三角形，点的坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）分两种情况，当∽相似时，当∽相似时，根据相似三角形的性质分别求解即可；
（3）设点，分三种情况：当时，当时，当时，根据等腰三角形性质即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，
，解得，
抛物线的解析式为；
（2）与轴交于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
设直线设直线的解析式为，
把代入得，
解得，
直线的解析式为，
设，
当∽相似时，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，解得，
点的坐标为；
当∽相似时，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，（不合题意的根舍去）
点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
（3）存在点，使得是等腰三角形，理由如下：
，
，
设点，
，
，
，
，
当时，
，
，经检验符合题意；
点的坐标为；
当时，
，
或，
点的坐标为或；
当时，
，
舍去或，经检验符合题意；
点的坐标为；
综上，存在一点，使得是等腰三角形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的解析式、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题
8．(1)，
(2)点的坐标为：，，，；
(3)点的坐标是，，，．
【分析】（1）把，代入求得抛物线的函数表达式为，由于轴，设．于是得到方程，即可得到结论；
（2）设边上的高为，根据已知条件得到，点即为抛物线上到的距离为2的点，于是得到的纵坐标为0或4，令，或令，解方程即可得到结论；
（3）解直角三角形得到，，，，；①如图1，当时，求得，过作轴于，根据三角函数的定义得到，，于是得到结果；②如图2，根据相似三角形的性质得到，过作轴于，过作轴的平行线交的延长线于解直角三角形得到，于是得到结论．
【详解】（1）解：把，代入得：
，解得，
故抛物线的函数表达式为，
∵轴，
设．
，解得：或，
，
∴；
（2）解：设边上的高为，
，
，
，点即为抛物线上到的距离为2的点，
的纵坐标为0或4，令，
解得：，，
，，
令，
解得：，，
，，
综上所述：点的坐标为：，，，；
（3）解：，，，，
，，，
，，
①如图1，

当时，，，
，
过作轴于，
，
在中，，
，，
同理可得；
②如图2，

当时，，，
，
过作轴于，过作轴的平行线交的延长线于，
，
，
，
，，
，同理，
综上所述：使得与相似（边与边对应）的点的坐标是，，，．
【点睛】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．
9．(1)
(2)最大值为72，此时点P的坐标为；
(3)或或
【分析】（1）先根据对称性求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式，进而求出，则，求出，由此利用二次函数的性质即可得到答案；
（3）先证明是等腰直角三角形，然后分①当，，时；②当，时；③当，时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，且对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为，
∴，
∴，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
（2）解：如图所示，过点P作轴交于F，设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为72，
∴此时点P的坐标为；

（3）解：
为等腰直角三角形，
∵抛物线的对称轴为直线，
点E的横坐标为3，
又点E在直线BC上，
点E的纵坐标为5，
，
设，
①当，，时
，
解得或（舍去）
此时点M的坐标为；

②当，时
解得：或（舍去）
此时点M的坐标为

③当，时
则有，
解得：（舍去）
此时点M的坐标为；

在射线上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与相似，点M的坐标为：或或．
【点睛】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．
10．(1)抛物线的解析式为
(2)是直角三角形．理由见解析
(3)点的坐标或
【分析】（1）将代入抛物线，通过待定系数法，即可解答；
（2）写出平移后的解析式，再求出三点的坐标，求得，即可判断；
（3）求出直线的解析式，再求出两点的坐标，根据相似的性质，进行分类讨论，即可解答．
【详解】（1）解：∵将点代入抛物线，可得方程，
∴抛物线的解析式为；
（2）是直角三角形．理由如下：
将抛物线向左平移1个单位长度，得新抛物线，
∴平移后的抛物线顶点为，
令，得，
∴，
令，得，
解得：，
∴，如图1，连接，
∵，
∴轴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是直角三角形．

（3）
解：存在，理由如下：
，
，
是等腰直角三角形，
直线的斜率为1，
直线的解析式为，
联立方程，解得，，
，
①当时，，
，
根据图形可得，是等腰直角三角形，
设直线的解析式为，将代入解析式可得，
解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，将代入解析式得，解得，
直线的解析式为，
当时，解得，
；
，
，
，
②当时，，
，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的平移，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握数形结合技巧，分类讨论是解题的关键．
11．(1)
(2)或
(3)，图见解析
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先证明，可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，即可求解；
（3）过作交于点，过点作，交的延长线于点，则，设与轴交于，证明，可得，从而得到平分，再求出的解析式，可得，再由，可求出点N的坐标，即可．
【详解】（1）解：将三点坐标代入中，
得，，解得，，
所以抛物线表达式为：．
（2）解：根据题意，得：
，
∴，
，
又，
，
，
，
当时，

，
，
，
，
点的纵坐标为4，
当时，有，
解得或（舍），
点的坐标为；
当时，，
作轴于点，过点作轴交于点，如图，

，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
，
综上，点的坐标为：或．
（3）解：过作交于点，过点作，交的延长线于点，则，

，
设与轴交于，
由旋转得：，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
的解析式为：，
，
解得：，
，
设，
，
，
解得：，
所以，点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
12．(1)抛物线的解析式为
(2)存在最大值，△的面积有最大值8，点P的坐标为
(3)存在，点P的坐标为或
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值即可；
（2）连接．设点P的坐标为．则
．然后依据列出△的面积与a的函数关系式，从而可求得△PBC的最大面积，由，即可求解；
（3）先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△为等腰直角三角形，故此当时，以P，C，F为顶点的三角形与△相似．设，则，构建方程从而可求得t的值，于是可求得点P的坐标．
【详解】（1）解：将点的坐标代入函数的表达式得：
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图2，连接．

设点P的坐标为．则．
∵，
∴直线的解析式为．
∵，
，
∴．
当时，△的面积有最大值8．
∵，
∵，
∴当△的面积有最大值时，四边形的面积S取得最大值．
∴四边形的最大面积，
∴四边形的最大面积S为16，此时点P的坐标为；
（3）如图1：

∵，
∴△为等腰直角三角形，且为直角．
∵以P，C，F为顶点的三角形与△相似，
∴△为等腰直角三角形，
∵直线l，
∴．
设，则，
∴．
∴，
∴，
解得或（舍去）或，
∴点P的坐标为 或．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的应用，能够熟练运用方程思想表示点的坐标及线段长度是解题关键．
13．(1)见解析
(2)t的值为2
(3)存在，点P坐标为或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质及同角的余角相等可证明，，再加上，利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）与有一组对顶角相等，分和，分别把这两种相似作为已知条件，求出t的值，其中一种不合题意，需舍去；求解即可；
（3）将A，B，D的坐标分别代入二次函数解析式，先求出抛物线解析式，再求出直线的解析式，过点B作直线的平行线，构造与同底等高的三角形，平行线与抛物线的交点为P，求出该直线与抛物线的交点即可．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，
，
，
，
由题意知，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
当时，
，
，
与为等腰直角三角形，
由（1）知，，
，
的值为2；
当时，
，
为等腰直角三角形，
，
由（1）知，，∴，
故不合题意，舍去，
综上所述，t的值为2；
（3）解：由知，，，
将，，分别代入，
得，，
解得：，，，
，
将点代入，
得，，
，
如右图，当点P在直线下方的抛物线上时，
过点B作的平行线，交抛物线于点P，交y轴于点M，连接，

此时与同底等高，面积相等，
将点代入，
得，，
，
联立与，
得，，
解得，，
与点重合，舍去；
当点P在上方的抛物线上时，
直线是直线向下平移1个单位得到的，
将直线向上平移1个单位得到直线，
可得到与同底等高，面积相等，
联立与，
得，
解得，，，
点P坐标为或
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、一次函数图象的平移及平行线的性质、等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，面积法、解一元二次方程等知识，解题的关键是要能够熟练运用相似的判定与性质，借助图象平移国，利用等面积法解决问题．
14．(1)二次函数的表达式为，顶点D的坐标为；
(2)当时，点P的坐标为
(3)见解析，这个定值为9
【分析】（1）将A，B点代入二次函数表达式中求得a、b的值即可确定函数解析式，然后再化成顶点式即可确定顶点D坐标；
（2）先求得点C的坐标，再运用待定系数法求得直线的解析式为；设点P的坐标为，进而得到点M的坐标为；再结合得到，然后根据图形线段相等列方程求出t，进而确定点P的坐标；
（3）如图，过点P作轴于点G，设点P的坐标为，再说明可得、，即，；进而得到，；然后分当点G在上和上两种情况，分别的值即可解答．
【详解】（1）解：∵，在二次函数的图像上，
∴将A，B点代入二次函数表达式中，
得，解得
∴二次函数的表达式为，
将其化为顶点式为，
∴顶点D的坐标为．
（2）解：∵
∴当时，，即点C的坐标为
设直线的解析式为，
将点，点代入可得：，解得：
∴直线的解析式为，
∵点P在x轴上方的抛物线上，
∴设点P的坐标为，
∵轴于N，
∴点N的坐标为，
∵交于M，
∴点M的坐标为
∵，点P在点M的上方.
∴，即，解得，(与B重合舍去)，
当时，，
∴当时，点P的坐标为．
（3）解：如图，过点P作轴于点G，设点P的坐标为
∵轴于点H，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
当点G在上时，
∵，，，，
∴=9；
同理：当点G在上，由抛物线对称性可知，结果相同．
综上可知，的结果为定值，且这个定值为9．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的综合、二次函数与相似三角形的综合等知识点，灵活运用二次函数与几何的联系是解答本题的关键．
15．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；
（2）先求出点G的坐标，得到，再推出轴，然后根据梯形面积公式求解即可；
（3）先求出点的坐标，然后证明，再由二次函数的最值性质，求出答案；
（4）根据题意，可分为两种情况进行分析：当时；当时；分别求出两种情况的点的坐标，即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线经过和两点，
将和代入得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：在 中，当时，，解得或，
∴，
∴，
∵，
∴轴，
∴；
（3）解：设直线的解析式为，把和代入得，解得，
直线的解析式为，
在，当时，，解得，
，
联立，解得，，
轴，轴，
，
，
，即，
，
设点，，则，
，
，
，抛物线开口向下，有最大值，，
当时，有最大值为；
（4）解：轴，
轴，即，
根据题意，分两种情况：
①当时，
，
轴，，，
点纵坐标是3，横坐标，即，解得，
点的坐标为；
轴，
点的横坐标为2，
点；
②当时，
，
过点作于点，如图所示：

，
，
设点，则，则，解得，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，运用数形结合和分类讨论的思想解题是关键．
16．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）先分别求出，，根据勾股定理得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，即可求解；
（2）找出的外心P，计算，得出点D、C、F、B四点共圆，要使，且点E在直线上，则点F为直线于的交点，即当点E和点F重合，分两种情况：点E在上方，点E在下方，即可得出结论；
（3）过点E作于点H，得出，当点H，E，A三点共线时，，此时取得最小值，证明，得出则，求出，再得出所在直线的表达式为，即可得出，根据两点之间的距离公式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，则，
把代入得：，
解得：，
∴，则，
在中，根据勾股定理可得，
当时，，
∴．
（2）解：把代入得：，
∴，
令中点为P，
∵，
∴，
∵是直角三角形，
∴的外心为中点P，
∴的外接圆半径，
∵，，
∴，
∴点D、C、F、B四点共圆，
∵，点E在直线上，
∴点F为直线与的交点，即当点E和点F重合，
∵，
∴，
∴当点E在下方时，；
当点E在上方时，如图所示：
此时，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴此时点E的坐标为，
综上分析可知，点E的坐标为或；
（3）解：过点E作于点H，
∵，
∴，则，
∴，
如图：当点H，E，A三点共线时，，此时取得最小值，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则
∴，即，
解得：，
∴，
设所在直线的表达式为，
把，代入得：
，解得：，
∴所在直线的表达式为，
联立得：，
解得：，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，平行线的性质，解直角三角形的方法和步骤，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，以及掌握“胡不归”问题的解题方法．
17．(1)；
(2)P点的坐标为或
(3)的坐标为或或
【分析】（1）根据得，再由待定系数法即可求出解析式；
（2）分类讨论和，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得点的坐标；
（3）存在．分类讨论：四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形为平行四边形．由平行线的性质和平移的性质可得点的坐标．
【详解】（1），
，
设，
把代入得，
解得，
；
（2），对称轴是：直线，
，，
，，
，
，
，
，
如图，当时，，
，
，
，
则，

当时，，
，
，
，
，
点的坐标为或；
（3）存在．
假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．
如图，当四边形是平行四边形时，则，
，点的横坐标为，
点的横坐标为，
将代入，
；

如图，当四边形是平行四边形时，则，
同理得：；

如图，当四边形为平行四边形时，

由平行四边形对角线互相平分可得：点的横坐标为：，
将代入，
综上所述，点的坐标为或或
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，三角形相似的性质和判定，平行四边形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是利用平移的性质确定点的坐标，并正确画图，运用分类讨论的思想解决问题
18．(1)二次函数的表达式为
(2)当时，的面积最大，最大面积是
(3)t的值为，或
【分析】（1）将点、代入求得a、b的值即可解答；
（2）如图：过点M作轴于点E，设面积为S；
由题意得：，．根据已知条件和二次函数的性质可得，即，再解直角三角形可得，然后再列出S与t的函数关系式，最后利用二次函数的性质求最值即可；
（3）先求得直线BC解析式为，然后根据题意可得、、，进一步表示出相关线段，最后分、、三种情况解答即可．
【详解】（1）解：将，代入中，
得，解得，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：如图：过点M作轴于点E，设面积为S，
由题意得：，．
∵，
∴，
在中，令得，
∴，
∴，
∴，．
∴，
∴，
∵0∴当时，的面积最大，最大面积是．
（3）解：设BC解析式为
则，解得：
∴直线BC解析式为
∵，
∴，，
∵
∴，
∵，
∴，
①如图：当时，
∵，
∴，
∴，解得：；
②如图：当时，即，解得：；
③当时（如图3），过点N作于点F，则．
∵
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，t的值为，或．
【点睛】本题属于二次函数综合体，主要考查了求二次函数解析式、动点问题、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．