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第七章 复数 单元测试
高一数学（新试卷结构：8+3+3+5）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共8道题，每题5分，共40分）
1．复数，则的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
2．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若，则“”是复数“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设，则复数的模为（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
6．在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
7．复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A．6 B． C． D．7
8．欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（共3道题，每题6分，共18分）
9．对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．
10．已知，则下列正确的是（ ）
A． B．在复平面内所对应的点在第二象限
C． D．
11．已知复数，，，为坐标原点，，，对应的向量分别为，，，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则为正三角形
三、填空题（共3道题，每题5分，共15分）
12．复数z满足 （i为虚数单位），则z的虚部为 ．
13．复数，且，若是实数，则有序实数对可以是 .
14．设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为 .
四、解答题（共5道题，共77分）
15．（13分）已知复数．
(1)求；
(2)若，求；
(3)若，且是纯虚数，求．
16．（15分）已知复数满足，的虚部为2，所对应的点在第三象限，求：
(1)复数；
(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
17．（15分）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.
(1)求的值;
(2)记复数，求复数的模.
18．（17分）已知复数，其中.
(1)若且，求的值；
(2)若，求.
19．（17分）下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值.
解法一：∵，
又∵是纯虚数，令（且），
∴.
故当时，即当时，所求式有最大值为.
解法二：∵，∴.
故所求式有最大值为.
解法三：∵，
又∵为纯虚数，∴，
∴.
故所求式有最大值为.
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第七章 复数 单元测试
高一数学（新试卷结构：8+3+3+5）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共8道题，每题5分，共40分）
1．复数，则的虚部为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由可得：，故的虚部为.
故选D．
2．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由，可得，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选D.
3．若，则“”是复数“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由“”为纯虚数，得，解得，
故“”是复数“为纯虚数”的充要条件.
故选C.
4．设，则复数的模为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】设，则，所以，.
由，所以.
故选D.
5．已知复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得在复平面内所对应的点为，则所对应的点为，
所以，则，
故选B.
6．在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因为复数对应的向量，所以，
所以.
故选.
7．复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A．6 B． C． D．7
【答案】C
【解析】复数，为实数，则，
由为实数，得，解得，又，
显然，由为纯虚数，得，解得，
所以.
故选C.
8．欧拉公式（其中为虚数单位，），是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，的共轭复数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，故.
故选A.
二、多选题（共3道题，每题6分，共18分）
9．对于复数，下列结论错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则
C．若，则为实数
D．
【答案】AB
【解析】对于A：当，，当时为实数，A错误；
对于B：若，则，B错误；
对于C：若，则为实数，C正确；
对于D：，D正确.
故选AB.
10．已知，则下列正确的是（ ）
A． B．在复平面内所对应的点在第二象限
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，由，所以，故A正确；
对于B，由，所以，故在复平面内所对应的点为，
在第三象限，故B错误；
对于C，，所以，
则，故C正确；
对于D，，所以，故，故D错误，
故选AC.
11．已知复数，，，为坐标原点，，，对应的向量分别为，，，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．若，则为正三角形
【答案】ABD
【解析】因为，，，
所以，则，
对于A，，
故
，
，所以，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，设与的夹角为，若，则，
即，即，所以，
所以，即与的夹角为，故C错误；
对于D，若，则，则，
即，由C选项可知与的夹角为，
同理与的夹角为，与的夹角为，
又，所以，故D正确.
故选ABD.
三、填空题（共3道题，每题5分，共15分）
12．复数z满足 （i为虚数单位），则z的虚部为 ．
【答案】
【解析】设，
因为，所以，
可得，解得，
则z的虚部.
故答案为：.
13．复数，且，若是实数，则有序实数对可以是 .
【答案】(答案不唯一)
【解析】因为为实数,
所以，解得,
所以有序实数对可以是(答案不唯一)
故答案为：(答案不唯一)
14．设复平面内的不同三点对应复数分别为，若（是虚数单位），则的值为 .
【答案】
【解析】设，由可得，
即，整理得，
即，
则；又复数对应的向量为，
则，，
则，
，
则，则，则.
故答案为：.
四、解答题（共5道题，共77分）
15．（13分）已知复数．
(1)求；
(2)若，求；
(3)若，且是纯虚数，求．
【解析】（1）；
（2）；
（3）设，
则，所以①
，
因为是纯虚数，所以②
由①②联立，解得 或
所以或．
16．（15分）已知复数满足，的虚部为2，所对应的点在第三象限，求：
(1)复数；
(2)若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
【解析】（1）设（，），
所以，①
因为，又的虚部为2，
所以，②
由①②解得或，所以或，
又所对应的点在第三象限，所以．
（2），
因为复数在复平面上对应的点在第二象限，
所以，解得，
故实数的取值范围为．
17．（15分）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.
(1)求的值;
(2)记复数，求复数的模.
【解析】（1）由题意得:，即，
所以，所以，，
解得：，.
（2），，，
所以.
18．（17分）已知复数，其中.
(1)若且，求的值；
(2)若，求.
【解析】（1）因为，所以，解得，
因为，所以，
当时，，不符合条件，当时，满足，
综上，.
（2）若，则，
所以，即，
所以，即，
解得，又因为，
所以.
19．（17分）下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值.
解法一：∵，
又∵是纯虚数，令（且），
∴.
故当时，即当时，所求式有最大值为.
解法二：∵，∴.
故所求式有最大值为.
解法三：∵，
又∵为纯虚数，∴，
∴.
故所求式有最大值为.
【解析】解：上述解法中仅解法三正确，本题的几何意义在于“在虚轴上找一点，
使其到定点距离之和为最小”.
∵在虚轴同侧，
对于解法一：当时，，
，则，
即不能使得不等式中的等号成立，
故解法一错误；
对于解法二：不等式中，
等号成立的条件是复数在复平面内对应的点在线段上，
而线段与虚轴没有公共点，故这个等号不成立，解法二错误；
解法三由于找到点关于虚轴的对称点，
显然连线与虚轴交点即是所找的一点，.
∵，
故所求式最大值为.
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