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第六章 平面向量及其应用 单元测试
高一数学（新试卷结构：8+3+3+5）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共8道题，每题5分，共40分）
1．若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
4．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，则等于（ ）
A． B． C．9 D．16
7．如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且三点共线，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3道题，每题6分，共18分）
9．已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．在中，角的对边分别是，若，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
三、填空题（共3道题，每题5分，共15分）
12．写出一个与向量共线的单位向量： .
13．已知，为平面内向量的一组基底，，，若，则 .
14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是 .
四、解答题（共5道题，共77分）
15．（13分）已知向量满足，且的夹角为.
(1)求的模；
(2)若与互相垂直，求λ的值.
16．（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点是边的中点，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求边的值.
17．（15分）如图所示，是边长为2的正三角形，点，，四等分线段BC．
(1)求的值；
(2)若点Q是线段上一点，且，求实数m的值．
18．（17分）在中，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，且，求在上的投影的取值范围．
19．（17分）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求；
(2)若点在边上，，且满足 ，求边长；
请在以下三个条件：
①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；
其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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第六章 平面向量及其应用 单元测试
高一数学（新试卷结构：8+3+3+5）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共8道题，每题5分，共40分）
1．若为任一非零向量，的模为1，给出下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的大小不能确定，A错误；
两个非零向量的方向不确定，B错误；
向量的模是一个非负实数，D错误；
非零向量的模是正实数，C正确．
故选C.
2．已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误.
故选C.
3．已知向量，满足，，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】∵，，
∴，，
∴.
故选B.
4．已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由已知得，，，
若，则，即，解得，
所以“”“”，但“”“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选B．
5．已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，且，则，
两边平方可得，即，
所以，，所有与的夹角为.
故选C.
6．在中，，则等于（ ）
A． B． C．9 D．16
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可得，
所以， 即，
令与的夹角为，则，
所以，故选C.
7．如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
所以，所以，
所以，
.
故选D.
8．我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且三点共线，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当伞完全张开时，，
因为为的中点，所以，
当伞完全收拢时，，所以，
在中，，
所以.
故选A.
二、多选题（共3道题，每题6分，共18分）
9．已知非零向量、，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】对于A，向量是具有方向的量，
若，则向量与的大小一样，方向不确定，不一定共线，故A错误；
对于B，若，则一定有，故B正确；
对于C，若，则只能说明非零向量、共线，
当、大小不同或方向相反时，都有，故C错误；
对于D，若，则、共线且方向相同，所以，故D正确．
故选BD．
10．如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A选项，由正六边形的几何性质可知，，
所以，，，则四边形为平行四边形，故，A对；
对于B选项，因为四边形为平行四边形，
由平面向量加法的平行四边形法则可得，B错；
对于C选项，由正六边形的几何性质可知，，
则四边形为菱形，所以，，，
易知为等边三角形，则，故，C对；
对于D选项，设正六边形的边长为，易知，
则，
，
所以，，D错.
故选AC.
11．在中，角的对边分别是，若，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
【答案】AC
【解析】由余弦定理可得，解得，故A正确；
由及正弦定理，可得,
化简可得.
因为，所以，所以，即.
因为，所以，故B错误；
因为，所以且，代入，
可得，解得，.
因为，，，
所以由正弦定理可得，
由，可得，
化简可得，解得或（舍），故C正确；
.
故选AC.
三、填空题（共3道题，每题5分，共15分）
12．写出一个与向量共线的单位向量： .
【答案】或
【解析】设所求向量为，
由题可知：且，
解得：
或，
所以向量坐标为或．
故答案为：或
13．已知，为平面内向量的一组基底，，，若，则 .
【答案】
【解析】由得，，解得.
故答案为：.
14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】以原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.
因为正方形的边长为，所以，
则、，则，
设的中点为，则，，所以，，
因为是半圆上的动点，设点，
则，其中，则，
所以，，
由对称性可知，当点在第三象限的半圆弧上运动时（包含点、），
，
当点在第一象限的半圆弧上运动时（包含点、），的中点为，半圆的半径为，
可设点，其中，则，
，则，
同理可知，当点在第四象限内的半圆弧上运动时（包含点、），
.
综上可知，的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（共5道题，共77分）
15．（13分）已知向量满足，且的夹角为.
(1)求的模；
(2)若与互相垂直，求λ的值.
【解析】（1）因为向量满足，且的夹角为，
所以，
解得；
（2）因为与互相垂直，
所以，
，
即，解得或.
16．（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点是边的中点，且.
(1)求角的大小；
(2)若，，求边的值.
【解析】（1）由题意及正弦定理知，
，
，
，．
（2）因为点是AC边的中点，，
两边同时平方可得：
，，，
，
即，解得（舍）或 .
故边的值是2.
17．（15分）如图所示，是边长为2的正三角形，点，，四等分线段BC．
(1)求的值；
(2)若点Q是线段上一点，且，求实数m的值．
【解析】（1）因为点，，四等分线段，
所以，，，
，
（2）∵点Q在线段上，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
因此所求实数m的值为.
18．（17分）在中，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，且，求在上的投影的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
，即，
因为 ，，
所以，即
，所以.
（2）因为，且，
所以，
因为，，，，
所以，
由，得，
所以在上的投影为，
当时，，
因为，所以，所以，
时，
当且 时，，
时，， 所以，
时，，所以 ，
综上，在上的投影的取值范围为.
19．（17分）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求；
(2)若点在边上，，且满足 ，求边长；
请在以下三个条件：
①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线；
其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
由倍角公式可得，则，
又因为，则，
所以，
即．
且，则，可得，
又因为，所以．
（2）若选择①：若为的中线，设（），
由余弦定理可得，，
因为，可得，
即，整理得，可知，
又因为，解得或（舍去），
所以；
若选择②：若为的角平分线，则，
在中，由余弦定理得，即，
可知，即，可知，，
所以；
若选择③：若为的高线，则，
则，即，则，
可知，可知，,
所以．
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