5.2探索轴对称的性质 北师大版初中数学七年级下册同步练习（含解析）

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5.2探索轴对称的性质北师大版初中数学七年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在锐角三角形中，的面积，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点，则的长度为( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，的面积为，，平分，、分别为、上的动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点若的周长是，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在五边形中，，，，，，点，分别在边，上，连接，，，当的周长最小时，的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图，在的方格纸中有一个以格点为顶点的，则与成轴对称且以格点为顶点的三角形共有
．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.将一条宽度为的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为，重叠部分为图中阴影部分，若，则重叠部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上当的周长最小时，点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，的面积为，，平分，、分别为、上的动点，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
10.小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，若数轴上、两点之间的距离为在的左侧，且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，的面积是，，，、分别是、上的动点，连接、，则的最小值是______．
12.阅读下面材料：利用折纸折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接．
如图，当点在上时，求 ______；
如图，当点在的内部时，连接，若，，求 ______．
13.如图，在四边形中，，，，分别为，上的点，当的周长最小时，的度数为______．
14.在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块其中，，分别，，的中点，，分别为，的中点，小明将这四块纸，重新组合拼成四边形相互不重叠，不留空隙，则所能拼成的四边形中周长的最小值为______，最大值为______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点在内如图，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、．
若，求的度数；
如图，若，当的周长最小值为时，求的度数．
16.本小题分
如图，为线段上的一个动点，分别过点，在两侧作，，连结，已知，，，设．
用含的代数式表示的长．
当点满足什么条件时，的值最小
根据中的结论，请构图求出代数式的最小值．
17.本小题分
如图，是等腰直角三角形，，与关于对称，为边上一点，连接并延长交于点，作交于点．
求证：；
探究：当为何值时，点与点关于对称．
18.本小题分
如图，在中，，，点为线段的中点，点在边上，连接，沿将折叠得到．
如图，当点落在上时，求的度数；
如图，当时，求的度数．
19.本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，点，，，均在格点上，请用直尺按要求完成画图并回答问题．
连接，延长到，使；
分别画直线，射线；
在射线上找点，使最小，并写出此画图的依据是__________．
20.本小题分
如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，
求的度数；
若，，求线段的长和的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：过作于点，交于点，过点作于，如图：
平分，于点，于，
，
是最小值，此时与重合，与重合，
三角形的面积为，，
，
．
即的最小值为．
故选：．
过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
本题考查三角形中的最短路径，解题的关键是理解的长度即为最小值．
2.【答案】
【解析】解：，，，
，
由折叠得，，，，
，
，
，，
，
，
故选：．
由折叠得，，，，则，所以，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、轴对称的性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，
是的平分线，
，
是点到直线的最短距离垂线段最短，
的面积为，，
，
的最小值是．
故选：．
作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再利用三角形的面积求出即可解决问题．．
本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
4.【答案】
【解析】解：点关于的对称点是，
．
点关于的对称点是，
的周长，，，
，
故选：．
根据轴对称的性质可知，；因为的周长已知，则可把其中的两边，代换为，，则根据是相关线段的和即可求出其长．
本题考查轴对称知识，掌握轴对称的性质是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
作关于和的对称点，，连接交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线，
，
，
，
，，
且，，
，
故选：．
根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．
此题主要考查了轴对称最短路径问题，等腰三角形的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查轴对称的性质；找准对称轴后画图是正确解答本题的关键．解答此题首先找到的对称轴，、、，所在直线，的中垂线都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．
【解答】
解：与成轴对称且以格点为顶点三角形有、、、，共个，
故选C．
7.【答案】
【解析】解：如图，过作于，则，
，
，
，
中，，
重叠部分的面积为，
故选：．
过作于，则，依据勾股定理即可得出的长，进而得到重叠部分的面积．
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
8.【答案】
【解析】解：作点关于轴的对称点，连接交轴一点点，如图所示：
点、的坐标分别为和，
的坐标是，
设直线的解析式为，将、坐标分别代入，
，解得，
直线的解析式为，
点的坐标为，
故答案为：．
如解析图作点关于轴的对称点，连接交轴一点点，根据两点之间线段最短，这时的周长最小，求出直线的解析式为即可求出点的坐标．
此题主要考查平面直角坐标系中一次函数与几何问题的综合，解题关键是根据两点之间线段最短得出直线解析式．
9.【答案】
【解析】解：如图，，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，
是的平分线，
，
是点到直线的最短距离垂线段最短，
的面积为，，
，
的最小值是．
故选：．
作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，再根据是的平分线可知，再利用三角形的面积求出即可解决问题．．
本题考查的是轴对称最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
10.【答案】
【解析】设点表示的数为，则点表示的数为，由题意得，解得故选B．
11.【答案】
【解析】解：作点关于的对称点，作点，交于点
则，
．
即的最小值为．
的面积是，，，
，
，，
，
，
即的最小值为．
故答案为：．
作点关于的对称点，作点，交于点则，所以即的最小值为．
此题考查了角平分线的性质，角平分线的性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟练掌握此性质是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由折叠知，
，
由折叠知，
，
点落在上，
，
，
，
即，
故答案为：；
由折叠知，，
，，
，，
，
即，
故答案为：．
由折叠得出，，再由点落在上，得出，即可得出结论；
同的方法求出，，即可得出结论．
本题考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线，
，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．
14.【答案】 ，
【解析】解：如图，
，，，，
四边形周长；
如图，
，
四边形周长为；
故答案为：，．
根据题意，可固定四边形，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值．
本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键．
15.【答案】解：点关于射线的对称点是，
．
点关于射线的对称点是，
．
，
；
作点关于、的对称点和，连接、、、
，，，，，．
的周长最小值为，，
．
为等边三角形．
．
，
．
【解析】根据轴对称的性质可得对称轴两边的对应角相等，那么，，那么；
作点关于、的对称点和，连接、、、那么的周长最小值即为的长，易得为等边三角形，那么，所以．
本题考查轴对称的综合应用．根据轴对称的性质可得关于轴对称的两个图形，对称轴两边的对应角相等，对应边相等是解决本题的关键．
16.【答案】．
点在直线上．
构图略，最小值为．

【解析】略
17.【答案】证明：设交于点，
，，
，
与关于对称，
，
，
，
于点，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解：当时，点与点关于对称，
理由：连接，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
平分，
垂直平分，
点与点关于对称．
【解析】设交于点，由，，得，由轴对称的性质得，则，而，则，即可根据““证明≌，得；
解：当，则，而，所以，则，可证明，由全等三角形的性质得，所以，而平分，由等腰三角形的“三线合一”得垂直平分，所以点与点关于对称，则当时，点与点关于对称．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，证明≌是解题的关键．
18.【答案】解：沿折叠得到，
≌，
，
点为线段的中点，
，
，
，
；
由得≌，
又，
，
，
，，
，
在中，．
【解析】证明，可得，从而得到，即可求解；
根据折叠的性质求出，根据三角形的内角和求出，从而得到、，再根据平角的定义求出．
本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角．
19.【答案】两点之间线段最短
【解析】解：如图，线段即为所求；
如图，直线，射线即为所求；
如图，点即为所求．依据是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
根据线段的定义以及题目要求画出图形即可；
根据直线，射线的定义画出图形即可；
根据两点之间线段最短解决问题．
本题考查作图应用与设计作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型．
20.【答案】解：由折叠可得，，，
又，
，
，
即；
由折叠可得：，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
设，则，
中，，
中，，
，
即，
解得：，
，
．
【解析】由折叠可得，，，再根据，即可得出；
在中，根据勾股定理可得，设，则，根据勾股定理可得，即，求得，得出的长和的长，再由三角形面积公式即可得出．
本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理、三角形面积等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
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