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5.3简单的轴对称图形北师大版初中数学七年级下册同步练习
第I卷(选择题)
一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.四边形中,,,在、上分别找一点、,当三角形周长最小时,的度数为( )
A. B. C. D.
2.如图,在中,为的平分线,,垂足为,且,,,则与的关系为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图,在中,,,点是边上任意一点,过点作交于点,则的度数是
( )
A. B. C. D.
4.如图,在中,的垂直平分线交于,的垂直平分线交于,,则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图,在、中,,,,是的中线,,,三点在一条直线上,连接,,以下五个结论::;;;中,正确的个数是( )
A. B. C. D.
6.如图是一纸条的示意图,第次对折,使,两点重合后再打开,折痕为;第次对折,使,两点重合后再打开,折痕为;第次对折,使,两点重合后再打开,折痕为已知,则纸条原长为.( )
A. B. C. D.
7.在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为的正方形,、是方格纸中的两个格点即正方形的顶点在这张的方格纸中,找出格点,使,则满足条件的格点有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.如图,在中,,平分,交于点,,交的延长线于点若,则的度数为
( )
A.
B.
C.
D.
9.在中,,的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为,则底角的大小为
( )
A. B. 或 C. 或 D.
10.如图,在已知的中,按以下步骤作图:分别以,为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于两点,;作直线交于点,连接,若,,则的度数为( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
二、填空题:本题共4小题,每小题3分,共12分。
11.如图,在中,,是的中点,,垂足为,,则的度数是______.
12.如图,,于点,于点若,则 .
13.如图,已知在中,,,为的垂直平分线,交于点,交于点,为的垂直平分线,交于点,交于点若,则 .
14.在如图所示的网格纸中,有,两个格点,试取格点,使得是等腰三角形,则这样的格点有 个
三、解答题:本题共6小题,共48分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图,在中,,的垂直平分线交于点,交于点,连接若,的周长为,求的长.
16.本小题分
如图,要在街道旁修建一个牛奶站,向居民区,提供牛奶,牛奶站应建在什么地方,才能使,到它的距离之和最短?
17.本小题分
如图,一张纸上有、、、四个点,请找出一点,使得,.
18.本小题分
如图,是的平分线,,,垂足分别为点,,,,,求的长.
19.本小题分
如图,在四边形中,,为的中点,连接并延长交的延长线于点.
试说明:.
若,,当的长为多少时,点在线段的垂直平分线上为什么
20.本小题分
如图,已知和均为等边三角形.
试说明:.
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识,利用对称作辅助线是解决最短的关键.延长到使得,延长到使得,连接与、分别交于点、,此时周长最小,推出,进而得出的度数.
【解答】
解:如图,延长到使得,延长到使得,连接与、分别交于点、.
,
、关于对称,、关于对称,
此时的周长最小,
,,
,
同理:,
,,
,,
,
,
,
.
,
故选:.
2.【答案】
【解析】分析
延长,交于,由易证得出,,,求出,,则,得出是等腰三角形,那,由三角形内角和定理及平角可得,即可得出结果.
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形、角平分线的定义等知识,熟练掌握全等三角形的判定与等腰三角形的定义是解题的关键.
详解
解:
如图所示,延长,交于,
平分,,
,,
在和中,
,
,,,
,,
,
,
是等腰三角形,
,
.
又.
.
,
.
故选:.
3.【答案】
【解析】,,,
,,
,,
,
故选B.
4.【答案】
【解析】【分析】
根据三角形内角和定理求出,根据线段垂直平分线的性质得到,得到,同理可得,,结合图形计算,得到答案.
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
【解答】
解:,
的垂直平分线交于,
,
,
的垂直平分线交于,
,
,
.
故选A.
5.【答案】
【解析】解:,
,
即.
在和中,
≌,
故正确;
≌,
.
,
,
,
.
;故正确;
,,
,
.
,故正确,
延长到,使得,连接,.
则≌.
,,
,
,
,
,
,,
≌,
,
,故正确,
延长交于.
≌,
,
,
,
,
,故正确.
故选:.
由条件证明≌,就可以得到结论;
由≌就可以得出,就可以得出而得出结论;
由条件知,由,就可以得出结论.
延长到,使得,连接想办法证明≌,即可解决问题;
延长交于只要证明即可;
本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于压轴题.
6.【答案】
【解析】解:根据翻折可知:,
,
,
,
,
,
解得.
答:纸条原长为.
故选:.
根据翻折可得,,,所以,进而可以解决问题.
本题考查了翻折变换,解决本题的关键是掌握翻折的性质.
7.【答案】
【解析】分析
本题考查了网格的特点和线段的垂直平分线,注意不要漏点,根据线段垂直平分线的性质,点在的垂直平分线上,最后根据方格纸确定点的个数.
详解
解:如图,满足,故点在的垂直平分线上,有个,
故选A.
8.【答案】
【解析】分析
此题主要考查平行线的性质及角平分线定义和等腰三角形及三角形内角和定理,根据两直线平行,同位角相等求得,根据角平分线定义求得,再根据等腰三角形两底角相等求得另一底角,然后根据三角形内角和定理求解
详解
解:,
,
平分,
,
,
,
.
故选A.
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理,分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键.当为锐角三角形时,设的垂直平分线交线段于点,交于点,在中可求得,再由三角形内角和定理可求得;当为钝角三角形时,设的垂直平分线交于点,交直线于点,则可利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得,可求得答案.
【解答】
解:当为锐角三角形时,
如图,设的垂直平分线交线段于点,交于点,则,,
,
,
当为钝角三角形时,
如图,设的垂直平分线交于点,交直线于点,
则,,
,
,
,
,
.
综上可知,的度数为或,
故选C.
10.【答案】
【解析】【分析】
利用线段垂直平分线的性质得出,再利用三角形内角和等于得出即可.
本题考查的是作图基本作图,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键.
【解答】
解:由题意可得:垂直平分,
则,
故,,
则,
,
,
.
故选A.
11.【答案】
【解析】解:,为的中点,
,
,
,
,
,
故答案为:.
首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到平分,然后求得其一半的度数,从而求得答案.
本题考查了等腰三角形的性质,解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质,难度不大.
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂直的性质,等腰三角形的性质.
由,,可计算出,再利用等腰三角形的性质求出,最后利用及同角的余角相等得到的度数.
【解答】
解:,,
,
又,
,
,
,
.
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的判定,解答本题关键是根据题意,画出符合实际条件的图形.分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想.分是腰长时和是底边时,找出满足条件点即可.
【解答】
解:如图,
分情况讨论:
为等腰的底边时,点在线段的垂直平分线上,符合条件的点有个,即、、、;
为等腰其中的一条腰时,符合条件的点有个,即、、、.
所以满足条件的格点共个.
故答案为.
15.【答案】解:由题意得,,
,
,
的周长为,
.
【解析】本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性质,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
由线段垂直平分线的性质可得,,由线段的和差关系可求解.
16.【答案】解:作点关于直线的对称点,连接交直线于点,则点即为所求点.
【解析】作点关于的对出现,则,故此,然后依据两点之间线段最短的性质解答即可.
本题主要考查的是轴对称最短路径问题,熟练掌握相关知识是解题的关键.
17.【答案】解:如图所示:
.
【解析】分别作出和的垂直平分线,两线的交点就是点.
此题主要考查了基本作图,关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
18.【答案】解:是的平分线,,,
,,
又,
,
.
,
.
【解析】略
19.【答案】解:因为,
所以,
因为为的中点,
所以.
在和中,
所以.
所以.
当时,点在线段的垂直平分线上理由如下:
由可知,,
因为,
所以,
因为为的中点,
要使点在线段的垂直平分线上,
所以,
所以.
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的概念及其性质的知识;
由,可得,再根据全等三角形的判定与性质可得;
由由可知,,再根据线段垂直平分线的判定,使,再计算可.
20.【答案】证明:因为,均为等边三角形,
所以,,.
所以.
所以.
在和中,
所以.
所以.
又因为,
所以.
【解析】本题考查的是全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质,关键是掌握全等三角形的判定与性质.
先根据等边三角形的性质得出,,,证明,进而得到,再由,利用等量代换即可.
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