2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（与特殊图形存在性问题）（含答案）

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数的综合（与特殊图形存在性问题）
1．如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点是直线下方的抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为．
①用含的代数式表示线段的长．
②连接，，求的面积最大时点的坐标．
(3)设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
2．如图，已知抛物线与x轴交点为A、B，A在B的左侧，与y轴交点为点C，且抛物线与直线交于A、C．

(1)求直线的表达式；
(2)是D第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求三角形面积的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标：若不存在，请说明理由．
3．综合与探究
如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式
(2)P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S．
①求的面积S的最大值
②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C．

(1)求此抛物线和直线的表达式；
(2)设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点两点，且与轴交于点．连接，，为抛物线在第二象限内一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接，，抛物线上是否存在点，使得．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图，连接，，过点作交于点，连接．若，求点坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点B在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，连接．

(1)求抛物线的表达式及线段的长；
(2)若过点O的直线交线段于点P，将的面积分成两部分，请求出点P的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与轴交于点，对称轴为直线，点在该抛物线上．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，在射线上有一点使得．当周长取得最大值时，求点的坐标和周长的最大值；
(3)如图2，在（2）的条件下，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，将原抛物线沿着射线方向平移，平移后的抛物线与x轴的右交点恰好为点E，动点M在平移后的抛物线上，点T是平面内任意一点，是否存在菱形，若存在，请直接写出点T的横坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，已知点A的坐标为，是抛物线上的点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，是否存在以A，B，M，N为顶点的平行四边形？若存在求出的坐标，若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点C．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC交于点D，若E是直线AC上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值；
(3)如图②，P是直线AC上的一个动点，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，抛物线经过两点，与轴交于点，直线经过点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将在直线上平移，平移后的三角形记为，直线交抛物线于，当时，求点的坐标；
(3)若点在轴上，点在抛物线上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴直线与直线相交于点，连接，，判定的形状，并说明理由；
(3)在直线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴交于另一点．

(1)点坐标是______；点坐标是______；
(2)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(3)探究1：在抛物线上直线下方是否存在一点，使面积最大？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)探究2：在（3）的条件下，平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点G为直线上方抛物线上一动点，过点G作垂直于x轴交AC于点E，当最大时，求G点的坐标．
(3)在抛物线是否存在点P，使，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．
14．已知函数与x轴交于点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接，设的面积为S．
①求S关于t的函数表达式；
②求S的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)如图2，设抛物线的对称轴为L，L与x轴的交点为D，在直线L上是否存在点M，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．

(1)求抛物线的表达式；
(2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线经过，两点，并且与y轴交于点C．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，过点M作x轴的垂线交于点N，设的长为h，求h与t之间的函数关系式及h的最大值；
(3)在x轴的负半轴上是否存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，说明理由．
17．如图，抛物线的图象过点，顶点为，点在轴正半轴上，线段．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线上有点，使得是以为斜边的直角三角形，请求出点的坐标；
(3)将直线绕点逆时针方向旋转所得直线与抛物线相交于另一点，若点是直线上的动点，是否存在点，使，，，四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请求出此时四边形的周长和面积；若不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为腰的等腰三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)①；②点P的坐标为
(3)存在，点M的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法，将和点代入抛物线，求解即可；
（2）①设，先求出点坐标，再利用待定系数法，将点、代入直线BC解析式，求解得到BC解析式，即可得到，用点纵坐标减去点纵坐标即可得的关于的表达式；②根据及三角形面积公式，求得，可得当时，有最大值，将 代入计算，即可求得点坐标；
（3）存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形，先求出点坐标为点，过点作轴，交轴于点，则，利用勾股定理求出的长为，然后分情况讨论以点为顶点的四边形是菱形时点的坐标情况，当为菱形对角线时，则，此时点与点重合，根据，即可求出点的坐标；当为菱形边长时，则，分点在点上方和点在点下方的情况即可求出的坐标，列出点的所有坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，与轴交于点，
，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）解：如图，在直线下方的抛物线上取一点，连接，，

①设，解析式，
抛物线解析式为，
时，，
点坐标为，
将点、代入直线BC解析式，
得，解得，
所以直线解析式为，
过点作轴的平行线交直线于点，则，
，
答：用含的代数式表示线段的长为；
②
，
当时，有最大值，
当时，，
，
答：的面积最大时点的坐标为．
（3）解：存在这样的点和点，使得以点为顶点的四边形是菱形．

抛物线的对称轴为，
将代入解析式得，
点坐标为，
如图，过点作轴，交轴于点，则，
，，
， ，
当为菱形对角线时，则，此时与重合，
，
，解得，
点坐标为，
当为菱形边长时，则，
或，
解得或，
点坐标为或，
综上所述得以点为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或．
【点睛】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，求三角形面积最大值，与线段有关的动点问题，二次函数的性质，菱形的判定与性质，掌握待定系数法求函数解析式，割补法求三角形面积，分情况讨论点的坐标情况是解本题关键．
2．(1)
(2)，
(3)存在，，
【分析】（1）求出、、三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，由题意可得，则，，当时，的最大值为，此时，；
（3）设，，是菱形的对角线，根据菱形的性质可得方程组，求解方程组即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得或，
，，
令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
；
（2）过点作轴交于点，

点的横坐标为，
，则，
，
∴
∵，抛物线有最大值，
∴当时，取得最大值，
当时，，即
∴面积的最大值为，此时；
（3）存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形，理由如下：
，
设，，
是菱形的对角线，
，
，
解得，
，．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，菱形的性质，待定系数法求解析式，抛物线与坐标轴交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质是解题的关键．
3．(1)
(2)①；②存在，或
【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法、二次函数与一次函数及勾股定理的逆定理：
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）①利用待定系数法求得直线的解析式为，则可得，进而可求解；
②根据题意可得，，，分类讨论：当时，，当时，，利用数形结合及勾股定理的逆定理即可求解；
综合性强，利用分类讨论思想及数形结合思想解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：点，点，在抛物线上，
，
解得，
∴抛物线的解析式．
（2）①∵M是抛物线的顶点，
∴．
设直线的解析式为，
可得：，
解得，
∴直线的解析式为．
设，
，
当时，S的最大值为．
②存在，满足条件的点P的坐标为或，
提示：①如图1，当时，，
根据题意可得，，．

∵点P在的图象上，
，
解得，
∴．
如图2，当时，，
AI
过点C作于点E，
根据题意可得，，，，
在中，，．
∵，
∴．
在中，，．
∵，
∴．
在中，．
∵，
∴，
化简为，
解得，．
∵点P在第二象限，∴，
∴．
综上所述，，．
4．(1)，
(2)存在，或，
【分析】（1）利用待定系数法将，两点的坐标代入解析式中，解方程组即可求得；
（2）根据题意画出符合题意的图形，设出点的坐标，依据解析式得出点的坐标，利用，的坐标表示出线段，的长度，利用平行四边形的对边相等得到，解方程即可求得的坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过、两点，
．
解得：．
抛物线的解析式为：．
直线经过、两点，
．
解得：．
直线的解析式为：．
（2）存在．
，
抛物线的顶点的坐标为．
轴，在直线上，
．
．
①如图1，连接，

若点在轴的下方，四边形为平行四边形，则．
设，则．
．
．
解得：或（舍去）．
．
②如图2，连接，，，

若点 在轴的上方，四边形为平行四边形，则．
设，则．
．
．
解得：（负值舍去）．
．
，．
综上，点的坐标为或，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，待定系数法确定函数的解析式，利用点的坐标的特征表示相应线段的长度，平行四边形的性质．
5．(1)；
(2)不存在，理由见解析；
(3)．
【分析】()用待定系数法求出函数解析式即可；
()由得 ，则 ，用待定系 数法求出直线的解析式，过点作 轴于，交于，设，则，利用面积法即可得出结论；
()连接，可得，则 ，过作轴于，根 据平行线分线断成比例求出，可得 ，利用待定系数法求出直线 的解析式为，设直线的解析式为，由点求出的值，联立即可 得点坐标；
本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质，三角形的面积、平行线分线断成比例定理等知识点，数形结合熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）分别将、、代入中得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）不存在点，使得，
理由如下：
∵ ，
∴，
∴ ，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
过点作轴于，交于，

设，则，
∴，
∴，
整理得，
∵，
∴原方程无解，
∴不存在点，使得；
（3）连接，

∵ ，
∴，
∵，
∴，
过作轴于，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∵直线的解析式为，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
∵ ，
∴，
解得 ，
∴直线的解析式为，
联立得 ，
，
解得或（不合题意，舍去）
∴点坐标为．
6．(1)抛物线的表达式为，，
(2)点坐标为或
(3)或或
【分析】（1）用待定系数法抛物线的表达式，过点作轴于点D，根据勾股定理可得线段的长；
（2）先用待定系数法求出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，分两种情况：①当时，，可求，从而求得坐标，②当时，，同理可求坐标；
（3）设，利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得：
，解得，
抛物线的解析式为，
过点作轴于点D，

，
∴，，．
，
，．
在中，．
在中，．
∴．
（2）解：，
，
，
，，
设直线的函数解析式解析式为，将、代入得：
，解得，
直线的函数解析式解析式为，
过点的直线交线段于点，将三角形的面积分成的两部分，
过作轴于，过作轴于，分两种情况：
①当时，如图：

，
，
而，即，
，即，
在中，令得，
，
；
②当时，如图：

，
，
，
，即，
在中，令得，
，
；
综上所述，点坐标为或；
（3）解：点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，设，分三种情况：
①以、为对角线，此时中点与中点重合，
、，，
的中点为，，中点为，，
，解得，
，
②以、为对角线，此时中点与中点重合，
同理可得：，
解得，
，
③以、为对角线，此时中点与中点重合，
同理可得：，
解得，
，
综上所述，的坐标为：或或．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合知识，涉及解析式、与坐标轴交点、三角形面积、平行四边形等，解题的关键是根据已知列方程组求解．
7．(1)
(2)，周长最大值为
(3)或
【分析】（1）通过对称轴可先求出的值，再将点坐标代入，即可求出二次函数的表达式；
（2）找出的三边关系比例，设出点的坐标之后可列出的周长的解析式；
（3）先设出点的坐标，利用两点间的距离公式可表示出和的关系式，即可求出点的坐标，最后运用全等三角形可求出的坐标．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图1，过点作于点，设直线交轴于点，
令，得，
，
设直线的解析式为，把、代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
令，得，
解得：，
，，
，
，
，
在中，，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
轴，
，
，
，即
，
，
周长
，
，，
当时，周长取得最大值，
此时点的坐标为；
（3）解：联立方程组得，
解得：，，
，
在中，令，得，
解得：，
，
原抛物线上的点平移后得到，
原抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位，
原抛物线，顶点坐标为，
平移后的抛物线顶点坐标为，
平移后的抛物线解析式为：，
动点在平移后的抛物线上，
设，
菱形，
和为对角线，
，
，，
，
，
，
解得或，
或
点的坐标为为或，
①当点的坐标为时：
如图所示，过点作轴于，过作轴的平行线与过点且平行于轴的平行线交点，过点作轴与交点，
则，，
，，，
四边形为菱形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为，
②当点的坐标为时：
同理①可得点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或
【点睛】本题第一问考查了用待定系数法求二次函数的解析式，属于基础题，第二问的重难点在于通过相似三角形找出的三边比例，最后得出的周长和的长成固定比例，即越长，的周长就越长，第三问的易错点在于题目中已经说明时菱形，其实就已经说明了和为菱形的对角线，接着通过可先求出点的坐标，再运用全等求出点的坐标即可，第二问和第三问属于难题．
8．(1)
(2)
(3)存在，或，或，使得以A，B，M，N为顶点的平行四边形
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，连接，根据对称性得到，则当B、P、C三点共线时，最小，即最小，求出点B的坐标，进而求出直线解析式为，在中，当时，，由此即可得到答案；
（3）分当为对角线时， 当为对角线时当为对角线时，则由平四边形对角线中点坐标相同，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把，，代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，连接，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴，
∴，
∴当B、P、C三点共线时，最小，即最小，
∵抛物线对称轴为直线，
∴
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴存在，使得的值最小；

（3）解：设，
当为对角线时，则由平四边形对角线中点坐标相同可得： ，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，；
当为对角线时，则由平四边形对角线中点坐标相同可得： ，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，；
当为对角线时，则由平四边形对角线中点坐标相同可得： ，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，；
综上所述，存在，或，或，使得以A，B，M，N为顶点的平行四边形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)点P的坐标为或或或．
【分析】（1）利用待定系数法，设抛物线的交点式直接得出结果；
（2）先求出抛物线的对称轴，直线解析式，进而求得，坐标，过点与轴垂直的直线交与，设点坐标为，点坐标为，从而得出，根据二次函数的最值得出结果；
（3）设点P为．用两点距离公式用表示出、，根据等腰三角形的定义分三种情况列出方程求解即可.
【详解】（1）解：由题意得，
；
（2）解：如图1，

由抛物线 得：
抛物线的对称轴是直线：，
抛物线与y轴交点坐标为
又∵直线过、，
∴直线解析式为
当时，，
，
设过点与轴垂直的直线交AC与，设点坐标为，点坐标为，
∴，
∵，
∴即
∴当时，；
（3）解：设，
则，，
当时，由得，，
，，
，
当时，由得，，
，
，
当时，由得，，
，，
，
综上所述：点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，等腰三角形的定义、三角形面积的求法等知识，解决问题（2）的关键是利用铅直法求三角形面积。解决问题（3）的关键是利用平面直角坐标系中两点距离公式表示三角形三边长．
10．(1)
(2)点的坐标为或或或
(3)点坐标为或或或
【分析】（1）把点，代入抛物线方程，用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得是等腰直角三角形，将在直线上平移，设向右平移个单位长度，则向上移动同样的单位长度，可得用含表示点，的坐标，根据即可求解；
（3）本题应分情况讨论：①将平移，令D点落在x轴（即E点）、B点落在抛物线（即F点）上，可根据平行四边形的性质，得出F点纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求得F点坐标；②过D作x轴的平行线，与抛物线的交点符合F点的要求，此时F、D的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出F点坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过两点，
，解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：直线经过点，且，
，解得，，
∴直线的解析式为，
，
是等腰直角三角形，
将在直线上平移，设向右平移个单位，则向上平移为个单位，
∴点的对应点的坐标为，直线交抛物线于，则，
当点在点下方时，，且，
，解得，，
∴点的坐标为或；
当点在点上方时，，且，
，解得，，
∴点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或；
（3）解：①平移直线，交x轴于E点，交抛物线于F点，

当时，四边形为平行四边形，此时点和点的纵坐标互为相反数，
，
设，则，
解得：或，
或，
②过D作轴与抛物线交于点点，过点作，交x轴于点，过点作，交x轴于点，此时四边形，为平行四边形，此时点点的纵坐标为，代入，
得：，
解得：或，
或，
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法是解题的关键．
11．(1)该抛物线的解析式为
(2)为直角三角形，理由见解析
(3)在直线上存在点，使，的坐标为或
【分析】（1）将，代入，用待定系数法可得抛物线的解析式；
（2）令得，解方程求出，再由两点间的距离公式可得，求出抛物线的对称轴，结合可得点，再利用两点间的距离公式可得，，最后根据勾股定理逆定理进行计算即可得到答案；
（3）先计算出，设，则，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入得，
解得：，
该抛物线的解析式为：；
（2）解：为直角三角形，
理由如下：
令得，
解得：，，
，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
点在抛物线的对称轴上且在上，
当时，，
，
，，
，
是直角三角形；
（3）解：在直线上存在点，使，
理由如下：
，，，
，
，
，
，
点在直线上，
设，
，
或，
解得：或，
当时，，
当时，，
的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、利用勾股定理求两点之间的距离、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
12．(1)，
(2)，
(3)
(4)点的坐标为或或
【分析】（1）由题意求出当时，，当时，，即可得出、的坐标；
（2）将、两点坐标分别代入二次函数解析式，即可求解；
（3）设点坐标为，过点作于点，交于点，则点坐标为，根据，即可求解；
（4）分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形对角线时，当为平行四边形对角线时，列出方程组可求出答案．
【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，当时，，解得：，
，，
故答案为：，；
（2）将、两点坐标分别代入二次函数解析式，
，解得：，
二次函数解析式为：，化为顶点式为，
抛物线的顶点为；
（3）存在，理由如下：
设点坐标为，
如图，过点作于点，交于点，

则点坐标为，
，
，
当时，有最大值，此时，，
；
（4）存在，理由如下：
设，
由（1），（3）可知，，，
如图，当为平行四边形的对角线时，

，
，
，
如图，当为平行四边形的对角线时，
，
，
，
如图，当为平行四边形的对角线时，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．
13．(1)
(2)
(3)存在，、、、
【分析】（1）先求出点C的坐标，设出交点式，待定系数法求解析式即可；
（2）先求出直线的解析式，将的长转化为二次函数求最值，计算即可；
（3）设点P的坐标为，求出的长度，根据求出点P的纵坐标，即可解答．
【详解】（1）解：∵，当，，
∴，
∵抛物线与x轴交于点，，
∴设解析式为，把，代入得：，
∴，
∴；
（2）设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
设，则：，
∴，
∴当时，取最大值，此时
∴；
（3）存在，
∵，，
∴，
设点P的坐标为，
∵，
∴点P的纵坐标的绝对值为2，
即或
解得：，，，
综上：、、或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．属于常见的压轴题．
14．(1)
(2)①，②最大值为，
(3)在直线l上存在点M，使得四边形是平行四边形，点M的坐标为．
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）①在图1中，过点P作轴，交于点F，求得直线的解析式为．点P的坐标为，则点F的坐标为，根据三角形的面积公式得出；②根据二次函数的性质得出当时，S取最大值，最大值为．再运用勾股定理求得，等面积法求得点P到直线BC的距离，进而得出P的坐标；
（3）如图2，连接，交抛物线对称轴l于点E，因为抛物线与x轴交于两点，所以抛物线的对称轴为直线，由平行四边形的性质及平移规律可求出点M的坐标；当时，不存在，据此即可解答．
【详解】（1）解：将代入,
得，解得：，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：①在图1中，过点P作轴，交于点F，
∵，
∴
设直线的解析式为，
将代入,
，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点P的坐标为，
∴点F的坐标为，
∴,
∴；
②
∴当时，S取最大值，最大值为，
∵，
∴线段，
∴点P到直线的距离的最大值为，
当时，，
则此时点P的坐标为．
（3）解：在直线l上存在点M，使得四边形是平行四边形，理由如下：
如图2，连接，交抛物线对称轴l于点E，
∵抛物线与x轴交于两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
当时，不存在，理由如下，
若四边形是平行四边形，则，
∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，
∴点P的横坐标，
又∵，
∴不存在，
综上所述，在直线l上存在点M，使得四边形是平行四边形，点M的坐标为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式、函数的思想求极值、平行四边形的存在性等知识点，灵活运用平行四边形的性质及判定定理是解题关键．
15．(1)
(2)四边形面积S的最大值是，此时点的坐标是；
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）由抛物线的对称轴可得，即，由直线得出，将代入抛物线可得，解方程组即可得到答案；
（2）作轴于点，交于点，则，进而得到，则当时，，此时；
（3）先求得，设点的坐标为，分五种情况讨论：设直线与轴交于点，则，此题是等腰三角形；延长交直线于点，此时，但三点在同一条直线上，因此不存在以三点为顶点的等腰三角形；，且点在轴上方，由，列方程得，求得；，且点在轴下方，设直线与轴交于点，则，得到；，则，列得方程，可得 ．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
直线，当时，，
当时，，
解得，
，
抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：对于，
当时，，解得：，
∴点B的坐标为，
又∵，
∴，
∴，
如图2，作轴于点，交于点，

点的横坐标为，
，
，
，
，
当时，，即，此时，
∴四边形面积S的最大值是，此时点的坐标是；
（3）解：存在，
设点的坐标为，
则，
解得，
，
，
设点的坐标为，
如图3，设直线与轴交于点，

点点关于轴对称，
，
此题是等腰三角形，，
延长交直线于点，
，
，，
，
，
，
三点在同一条直线上，
不存在以三点为顶点的等腰三角形，
如图4，，且点在轴上方，

，
，
解得：，,
，
如图4，，且点在轴下方，
设直线与轴交于点，
，
，
，
如图4，，
，
，
解得：，
，
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
16．(1)抛物线的解析式为
(2)最大值为4
(3)点或
【分析】（1）将，两点代入求解即可得到答案；
（2）根据点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t得到点，结合轴得到点N的坐标，即可得到函数结合函数的性质求解即可得到答案；
（3）分，，讨论，结合线段相等列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，
解得： ，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，∵点M是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t，
∴点，
∵轴，
∴点，
∴，
∴，
∴当时，h的值最大，最大值为4；
（3）解：在x轴的负半轴上存在点P，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下：
当时，
∵，
∴，
∵点，点P在x轴的负半轴上，
∴点，
当时，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵点P在x轴的负半轴上，
∴点，
当时，点P位于的垂直平分线上，
∵，
∴点O位于的垂直平分线上，
∴此时点P与点O重合，不合题意，舍去，
综上所述，在x轴的负半轴上存在点或，使以B，C，P三点为顶点的三角形为等腰三角形；
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及分类讨论特殊三角形问题．
17．(1)
(2)点的坐标为或
(3)存在点，使得，，，四点构成的四边形为平行四边形，此时四边形的周长为或；面积是．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）求得直线和直线的解析式，将直线的解析式与抛物线的解析式联立，解方程即可得出出点的坐标；
（3）存在．求得点的坐标，证明，则当时，，，，四点构成的四边形为平行四边形．分两种情况计算：①当点在线段上时，平行四边形的周长为：，其面积为：；②当点在线段的延长线上时，平行四边形'的周长为：，其面积为：．
【详解】（1）解：顶点为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得
，
抛物线的解析式为；
（2），
设直线的解析式为，，
，则是等腰直角三角形， ，
，
把代入，得，
直线的解析式为，

是以为斜边的直角三角形，
，
设交轴于点，则是等腰直角三角形，则，
∴
设直线的解析式为，将，代入，可得，
直线的解析式为，
解得或
点的坐标为或
（3）存在．理由如下：
由已知及（1）、（2）可知，，
又顶点为，
点到直线的距离等于，即等于，
，
．
当时，，，，四点构成的四边形为平行四边形．

①当点在线段上时，
平行四边形的周长为：；
其面积为：；
②当点在线段的延长线上时，
平行四边形的周长为：；
其面积为：．
综上所述，存在点，使得，，，四点构成的四边形为平行四边形，此时四边形的周长为或；面积是．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、直线与抛物线的交点坐标及平行四边形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
18．(1)
(2)存在，的最大值为，
(3)存在，的坐标为或或或．
【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解；
（3）设，可求，，分和，两种情况讨论，列出一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，则有
，
解得：，
∴直线的解析式为；
设（），
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
∴当时，的最大值为，
，
．
故的最大值为，．
（3）解：存在，
∵抛物线的对称轴为直线，
设，
，
，
，
当，即时，
，
解得：，
∴点M的坐标为或；
当，即时，
，
解得：，
∴点M的坐标为或；
综上所述：存在，的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，等腰三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．