1.5平方差公式 北师大版初中数学七年级下册同步练习（含解析）

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1.5平方差公式 北师大版初中数学七年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形如图甲，把余下的部分拼成一个矩形如图乙，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证
( )
A. B.
C. D.
2.已知，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
3.广西桂平期末如图，点，，，分别在长方形的边上，点，在边上，若正方形的面积等于，图中阴影部分的面积总和为，则正方形的面积等于
．( )
A. B. C. D.
4.有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，正方形和长方形每边只有一根木棒，则他们两人谁摆的面积大？．( )
A. 小明 B. 小刚 C. 同样大 D. 无法比较
5.如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正形，把剩下部分拼成一个梯形如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是( )
A. B.
C. D.
6.在边长为的正方形中挖去一个边为的小正方形如图甲，把余下的部分拼成一个长方形如图乙，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证( )
图甲 图乙
A. B.
C. D.
7.为了能用平方差公式计算，须先进行适当变形，下列变形后能直接运用平方差公式的是
( )
A. B.
C. D.
8.在下列各项中，可以用平方差公式计算的是( )
A. B.
C. D.
9.娄底中考下列运算正确的是．( )
A. B.
C. D.
10.如图，阴影部分是边长是的大正方形剪去一个边长是的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列幅图割拼方法：
其中能够验证平方差公式的有( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知，，则的值为 ．
12.已知，则的值是 ．
13.江苏南京期中已知，则的值为________．
14.
若，，则 ；
已知、满足，，则的值是 用科学记数法表示．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
湖北省初中数学竞赛利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．
根据下列所示图形写出一个代数恒等式；
已知正数，，和，，满足试构造边长为的正方形，利用图形面积来说明．
16.本小题分
已知下列等式：，
请仔细观察前三个等式的规律，则第个等式为 ．
请你找出规律，写出第个等式为 用含的式子表示．
利用中发现的规律计算：．
17.本小题分
如图，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积：
方法_______________________________________；
方法_______________________________________，
由此可以验证的乘法公式是_______________________________．
类似地，在棱长为的正方体上割去一个棱长为的小正方体如图，通过不同的方法计算图中余下几何体的体积：
方法_____________________________；
方法_____________________________；
由此可以得到的等式是_____________，并证明这个等式．
18.本小题分
试说明不论，取何值，等式都是成立的，并利用此等式计算．
19.本小题分
若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，则称这个正整数为“和谐数”如，，因此和都是“和谐数”．
判断是否为“和谐数”，并说明理由；
下面是某个同学演算后发现的两个说法，请选择其中一个说法，判断对错，并说明理由．
说法：数为正整数是“和谐数”；
说法：“和谐数”一定是奇数．
20.本小题分
某同学在计算时，把写成后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：
．
请借鉴该同学的经验，计算：
．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】
解：图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
阴影部分的面积．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了代数式求值，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．把原式化简，整体代入，即可得到结果．
【解答】
解：由，
，
则原式
，
故选C
3.【答案】
【解析】解：设大、小正方形边长为、，
则有，阴影部分面积为：，
即，
可得，
即所求面积是．
故选：．
设大、小正方形边长为、，则，然后利用图中阴影部分的面积总和为，进而可得正方形的面积．
本题考查了平方差公式与图形的面积，解决本题的关键是找准图形间的面积关系．
4.【答案】
【解析】解：设三个木棒的长度分别为，和，
则小明所摆正方形的面积为，小刚所摆长方形的面积为，
所以，
所以，
所以小明所摆的正方形的面积大于小刚所摆的长方形的面积，
故选A．
可设三个木棒的长度分别为、、，分别表示出两个图形的面积，再用作差法进行比较大小即可．
本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键，注意作差法比较大小的应用．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查的是平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
根据图中阴影部分的面积是，图中梯形的面积是，利用面积相等即可解答．
【解答】
解：图中阴影部分的面积是，
图中梯形的面积是，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式的几何背景：利用几何方法证明平方差公式．图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差，即为，图乙中阴影部分边长分别为和，其面积为，利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式．
【解答】
解：图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积，
而两个图形中阴影部分的面积相等，
．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了利用平方差公式进行计算，此题解题关键是分别找出两个括号的符号相同的和符号不同的项，然后变形就比较简单．由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项．
【解答】
解：．
故选D．
8.【答案】
【解析】解：、，不符合平方差公式的结构特征，故错误；
B、，不符合平方差公式的结构特征，故错误；
C、，不符合平方差公式的结构特征，故错误；
D、，符合平方差公式的结构特征，故正确；
故选：．
利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，选项A不符合题意；
不是同类项不能合并，选项B不符合题意；
，选项C不符合题意；
，选项D符合题意．
故选D．
本题考查了同底数幂的乘法，平方差公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项有关知识．
利用同底数幂的乘法，平方差公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项对选项进行判断即可解答．
10.【答案】
【解析】解：图，左边图形的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积，
，故可以验证平方差公式；
图，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积，
，故可以验证平方差公式；
图，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积，
，故可以验证平方差公式；
图，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积，右边图形阴影部分的面积，
，故可以验证平方差公式．
正确的有．
故选：．
分别对各个图形中的阴影面积用不同方法表示出来，即可得到等式，则可对各个选项是否可以验证平方差公式作出判断．
本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并熟练掌握相关几何图形的面积计算方法是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：当，时，
．
故答案为：．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以
．
故答案为：．
利用平方差公式和整体代入法即可得出答案．
本题考查的是代数式求值，平方差公式，解题关键是熟练掌握平方差公式．
14.【答案】【小题】

【小题】

【解析】 略
略
15.【答案】【小题】解：或或写出一个即可
【小题】解：画出下列三个图形中的一个即可．
因为，
所以根据图形有．

【解析】 本题是平方差公式的几何背景题，属基础题．
根据两种方法表示阴影面积可得恒等式．
本题是平方差公式的几何背景题，属较难题．
利用为边长作正方形，再在内部构造长宽分别为、和、和、的长方形，利用面积说明即可．
16.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
．

【解析】 略
略
略
17.【答案】解： ；；；
；
；；
证明：等式左边右边，得证．

【解析】解：；；
由此可以验证的乘法公式是；
故答案为：；；；
见答案．
此题考查了平方差公式的几何背景，弄清题中阴影部分面积求法是解本题的关键．
阴影部分面积可以由直接求，也可以间接求出，由此验证平方差公式即可；
仿照中方法计算结果，利用多项式乘多项式法则验证即可．
18.【答案】解：


．



．

【解析】本题考查了单项式乘多项式，恒等变形，本题关键是证明为恒等式．
先将变形得到，根据平方差公式和单项式乘多项式的计算法则展开，即可得到为恒等式，再把相应的值代入计算即可求解．
19.【答案】【小题】解：是“和谐数”．
理由如下：．
【小题】解：说法：数为正整数是“和谐数”，是对的．
理由如下：因为，
又当为正整数时，数是正整数，与是两个连续自然数，
所以数为正整数是“和谐数”
说法：“和谐数”一定是奇数，是对的．
理由如下： 设两个连续自然数为，为自然数，则“和谐数”，
因为，
又当为自然数时，是正整数，且为奇数，
所以“和谐数”一定是奇数．

【解析】 本题考查了平方差公式的应用：利用平方差公式把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．
根据“和谐数”的定义判断即可．
本题考查了新定义，平方差公式的应用．
由，根据“和谐数”的定义判断说法即可；
设两个连续自然数为，为自然数，则“和谐数”，利用平方差公式展开得到，然后利用整除性可说明“和谐数”一定是奇数．
20.【答案】解：原式
．
【解析】此题考查了平方差公式的应用，弄清题意是解本题的关键．
原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
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