1.6完全平方公式 北师大版初中数学七年级下册同步练习（含解析）

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1.6完全平方公式北师大版初中数学七年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.北京东城区模拟某中学开展“筑梦冰雪，相约冬奥”的学科活动，设计几何图形作品表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形的四条边为边向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若四个正方形的周长之和为，面积之和为，则长方形的面积为
．( )
A. B. C. D.
2.已知正方形的边长为，正方形的边长为，长方形和为阴影部分，将图中的长方形和剪下来，拼成图所示的长方形，比较图与图的阴影部分的面积，可得等式( )
A. B.
C. D.
3.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.安徽合肥蜀山区期中已知，则的值是
．( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则与的大小关系是
．( )
A. B. C. D. 无法确定
6.如果多项式是一个完全平方式，则的值是( )
A. B. 或 C. 或 D.
7.诚诚同学在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板，进行拼接重组探究，已知纸板与的面积之和为如图所示，现将纸板按甲方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为若将纸板，按乙方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
8.无论，取何值时，的值都是
．( )
A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数
9.如图所示为利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中，与之相对应的是( )
A. B.
C. D.
10.已知是一个完全平方式，则等于( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.计算： ．
12.辽宁本溪期末如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是________．
13.是完全平方式，则__________．
14.如果是一个关于的完全平方式，那么的值为______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设，，，为大于的自然数．
探究是否为的倍数，并用文字表述出你所获得的结论；
若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出，，，，这一列数中从小到大排列的个完全平方数，并指出当满足什么条件时，为完全平方数．不必说明理由
16.本小题分
已知多项式，多项式．
若多项式是完全平方式，则________．
已知时，多项式的值为，则时，该多项式的值为多少？
判断多项式与的大小关系，并说明理由．
17.本小题分
若，为实数，且满足，求的值．
18.本小题分
两个边长分别为和的正方形如图放置如图，其未叠合部分阴影的面积为；若再在图中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形如图，两个小正方形叠合部分阴影的面积为．
用含，的代数式分别表示、；
若，，求的值；
当时，求出图中阴影部分的面积．
19.本小题分
已知实数，满足，．
求的值；
求的值．
20.本小题分
数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图中边长分别为、的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如：由图可得，则：
由图可以解释的等式是______；
用张边长为的正方形纸片，张长为、宽为的长方形纸片，张边长为的正方形纸片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为______；
先计算，再用图形的面积解释它的正确性．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查完全平方公式的应用，用代数式表示两个大小不同的正方形的周长和面积是解决问题的前提．
设，，由四个正方形的周长之和为，面积之和为列出等式，结合完全平方公式求解即可．
【解答】
解：设，，
由四个正方形的周长之和为，面积之和为可得，
，，
即，，
由得，，
得，
所以，
即长方形的面积为，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由图得：正方形的面积是，正方形的面积是，
阴影部分的面积是，
由图得：，，
长方形的面积即阴影部分的面积是，
，
故选：．
图阴影部分的面积等于正方形的面积减去正方形的面积，图阴影部分的面积等于乘以，根据图图阴影部分的面积相等列等式．
此题考查了平方差公式与几何图形，平方差公式的推导，解题的关键是数形结合用代数式分别表示出图和图中阴影部分面积．
3.【答案】
【解析】解：，故选项A不合题意；
，故选项B不合题意；
，故选项C不合题意；
，故选项D符合题意．
故选：．
按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查是代数式的求值，完全平方公式．
首先将变形为；变形为，再将看做一个整体，将平方式展开，从而求得代数式的值．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式，平方差公式，关键是化简，后进行作差比较大小，
运用乘法公式，在化简、的基础上，作差比较它们的大小即可．
【解答】
解：由，
所以，
因为，
所以，即．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：，多项式是一个完全平方式，
，
解得：或，
故选：．
根据完全平方公式进行解答即可．
本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．
7.【答案】
【解析】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，，
，
，
乙种拼图中阴影部分的面积为，
故选：．
设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得出，，进而得出，再用代数式表示乙种拼图中的阴影部分面积即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
8.【答案】
【解析】解：
，
因为，，
所以，
所以无论、取何值，的值都是正数，
故选：．
利用完全平方公式把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可．
本题考查的是完全平方公式，正确应用完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
9.【答案】
【解析】根据题意，得大正方形的边长为，面积为，由个边长为的正方形，个长为、宽为的矩形，个边长为的正方形组成．故选A．
10.【答案】
【解析】解：是一个完全平方式，
．
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】．
12.【答案】
【解析】解：图甲中：，图乙中：．
故答案为： ．
本题主要考查了完全平方公式的几何背景．利用两个图形中的阴影部分面积相等进而得到结论是解题的关键．
分别表示出图甲、图乙中阴影部分的面积即可求解．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和的积的倍，故．
【解答】
解：中间一项为加上或减去和的积的倍，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：，
，
解得，
故答案为：．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
15.【答案】【小题】解：．
因为为大于的自然数，
所以是的倍数．
所以这个结论用文字表述为：两个连续奇数的平方差是的倍数．
【小题】解：这一列数中从小到大排列的个完全平方数为，，，．
当为一个完全平方数的倍时，为完全平方数．

【解析】
本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题关键．
利用完全平方公式，将 化简，可得结论．
本题考查了“完全平方数”，考查了同学们的探究发现的能力．
理解完全平方数的概念，通过计算找出规律即可．
16.【答案】【小题】

【小题】
解：当时，，
所以，
所以
因为，，
所以，，
所以时，多项式的值为．
【小题】
解：．
理由如下：
，
因为，，
所以，所以．

【解析】 解：因为是一个完全平方式，所以，所以．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题考查了完全平方式，比较简单．
本题考查了完全平方公式，偶次方的非负性．
根据题意可得，再根据偶次方的非负性解答即可
本题考查了完全平方公式，偶次方的非负性．
根据题意可得，再根据偶次方的非负性解答即可．
17.【答案】解：因为，
所以．
所以．
解得，．
则．
【解析】此题考查了完全平方公式，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
已知等式变形后，利用非负数的性质求出与的值，即可确定出所求式子的值．
18.【答案】解：由图可得，，；
，
因为，，
所以；
由图可得，，
因为，
所以．
【解析】【分析】
根据正方形面积之间的关系，即可用含，的代数式分别表示，；
根据，将，代入进行计算即可；
根据，，即可得到阴影部分的面积．
【解答】
解：由图可得，，；
，
因为，，
所以；
由图可得，，
因为，
所以．
【点评】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，列代数式的有关知识，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
19.【答案】【小题】解：因为，，
所以
．
【小题】解：因为，，
所以
．

【解析】 本题考查整式的乘法计算，以及利用整体代入法求代数式的值．
化简所求式子化为，将已知数据代入即可．
本题考查利用整体法求代数式的值，涉及完全平方公式的应用，属中档题．
化简所求式子化为，将已知数据代入即可．
20.【答案】
【解析】解：从整体看，大正方形的边长为，
大正方形的面积为：；
组成看，大正方形由一个小正方形和四个长方形组成，
大正方形的面积为：．
．
故答案为：；
大正方形的面积为：，
大正方形的边长为：；
；
如图：四边形的面积即可表示：的计算结果．
从整体看，大正方形的边长为，那么可表示出大正方形的面积为：；从组成看，大正方形由一个小正方形和四个长方形组成，可表示为：，让它们相等即可；
易得大正方形的面积为，符合完全平方公式，可表示为，那么边长为：；
用第一个括号里的每一项，去乘另一个括号里的每一项，最后把所得的积相加即可；根据、可得图形从整体看边长为：和，从组成看：由，，，组成，画出相关图形即可．
本题考查完全平方式及其应用．根据图形中面积的不同表示方法得到相关等式是解决本题的关键．用到的知识点为：．
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