4.3探索三角形全等的条件 北师大版初中数学七年级下册同步练习（含解析）

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4.3探索三角形全等的条件北师大版初中数学七年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，，于点，于点，若，，则的长度是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，，添加下列条件，不能使的是
( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，已知，添加下列条件，不能使的是
( )
A. B. C. D.
4.如图，，，，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.在以如图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线平分的是( )
A. 图和图 B. 图和图 C. 图 D. 图和图
7.如图，已知，添加以下条件，不能判定≌的是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在等腰三角形中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
9.如图，等腰中，，是的中点，于，交的延长线于，若，则的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与，重合，连接，与交于点下列判断正确的有( )
≌；
；
与的面积相等．
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.如图，已知在和中，，点、、在同一条直线上，若使≌，则还需添加的一个条件是 只填一个即可
12.如图，，，只需补充一个条件__________________，就得≌．
13.如图所示，中，，，，直线经过点点以每秒的速度从点出发，沿路径向终点运动；同时点以每秒的速度从点出发，沿路径向终点运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过、作于点，于点设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为_______．
14.如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，当点运动结束时，点随之结束运动当点运动到某处时有与全等，则的运动速度是______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在中，，点在边上，使，过点作，分别交于点，的延长线于点求证：．
16.本小题分
如图，四边形的对角线交于点，，是的中点．
说明：≌；
若，，求的周长．
17.本小题分
如图，，分别平分，，且，试探究与的数量关系，并说明理由．
18.本小题分
已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．
试说明：；
若，，求的度数．
19.本小题分
如图，在中，，，分别为，的平分线．求证：四边形是等腰梯形．
20.本小题分
如图，点，，，在同一直线上，，，．
求证：≌；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】分析
易证，即可证明，可得，根据，即可解题．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法、、、、等和性质全等三角形的对应边、对应角相等是解题的关键．
详解
解：，于点，于点，
，，
，又
在和中，
，
，
，
，
，，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】分析
本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角已知，是公共角，根据选项逐一进行分析即可得．
详解
解：、添加可利用证明，故此选项不合题意；
B、添加可利用证明，故此选项不合题意；
C、添加可利用证明，故此选项不合题意；
D、添加不能证明，故此选项符合题意，
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法有关知识，本题要判定≌，已知，，具备了一组边一组角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
【解答】
解：添加，不能判定≌，故符合题意；
B.添加，可根据判定≌，故不符合题意；
C.添加，可根据判定≌，故不符合题意；
D.添加，可根据判定≌，故不符合题意．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质．
证明可得， ， ，无法得到，即可得解．
【解答】
解：，
，
即，
在和中
， ， ，
无法得到，
故选项D错误．
5.【答案】
【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质得到，证明≌，得到，根据三角形的外角的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】根据角平分线的作法即可进行判断．
解：在图中，利用基本作图可判断平分；
在图中，根据作法可知：
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
所以点到和的距离相等，
平分．
在图中，利用基本作图得到点为的中点，则为边上的中线；
故选：．
本题考查了作图基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
7.【答案】
【解析】解：、在和中
，
≌，故本选项不符合题意；
B、在和中
，
≌，故本选项不符合题意；
C、在和中
，
≌，故本选项不符合题意；
D、根据，和不能推出≌，故本选项符合题意；
故选：．
全等三角形的判定有，，，，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
8.【答案】
【解析】解：过作于，过作于，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
的面积，
故选：．
过作于，过作于，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的应用，关键是求出，主要考查学生运用性质进行计算的能力．
求出，根据证≌，推出，得出，求出、、长，根据三角形的面积公式得出的面积等于，代入求出即可．
【解答】
解：，
，
，
，
，，，
，
在和中
，
≌，
，
，为中点，
，
，
，
，
，
的面积是．
故选C．
10.【答案】
【解析】解：点是线段的中点，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，故正确，符合题意；
≌，
，
，
，
即，故正确，符合题意；
≌，
，
，
，
，故正确，符合题意；
综上：正确的有，
故选：．
根据点是线段的中点，得出，根据等腰直角三角形的性质，推出，，即可求证≌；根据全等的性质得出，推出，即；根据全等的性质得出，根据三角形中线的性质得出，则．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等，对应边相等，面积相等；三角形中线将三角形面积平均分为两份．
11.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
利用全等三角形的判定方法添加条件．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
【解答】
解：，，
当添加时，可根据“”判断≌；
当添加时，可根据“”判断≌；
当添加时，可根据“”判断≌．
当添加时，可根据“”判断≌．
故答案为答案不唯一．
12.【答案】或者或者或者
【解析】【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
首先根据可得，再根据可得，然后再加上条件可利用定理证明≌；加上条件，可利用定理证明≌；加上条件，可利用定理证明≌；加上条件可得，可利用定理证明≌．
【解答】
解：，
，
即，
，
，
补充条件，
在和中，
≌．
补充条件，
在和中，
≌．
补充条件，
在和中，
≌．
补充条件，
则，进而可得≌．
故答案为或者或者或者．
13.【答案】 或或
【解析】【分析】
本题考查全等三角形中的动点问题．熟练掌握全等三角形的判定，根据动点的位置，进行分类讨论，是解题的关键．
分 ， ， 以及 四种情况进行讨论，利用全等三角形的判定，进行求解即可．
【解答】
解： ， ，
从 运动到 需要： ，从 运动到 需要： ，
运动的总时间为： ，
从 运动到 需要： ，从 运动到 需要： ，
运动的总时间为： ，
当 时： ， ，
， ，
，
，
，
，
当 时： ，
即： ，
不合题意，舍去；
当： 时， ， ，
当 重合时，，即： ， ，
，解得： ；
当： 时， ， ，
， ，
当 时： ，
即： ，解得： ；
当： 时， ， ，
， ，
当 时： ，
即： ，解得： ；
综上：当 的值为 或或．
故答案为： 或或．
14.【答案】或
【解析】解：设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为，
若≌，
则，，
，，
解得：，；
若≌，
则，，
，
解得：，．
综上，的运动速度是或，
故答案为：或．
分两种情况：≌时，，≌时，，建立方程组求得答案即可．
此题考查全等三角形的性质，关键是了解全等三角形的对应角相等，对应边相等，解决此题的关键是注意分类讨论．
15.【答案】证明：，．，F.在和中，．
【解析】略
16.【答案】解：证明：因为，
所以，．
又因为是的中点，
所以．
在和中，
所以≌．
因为≌，
所以．
因为，
所以的周长为．
【解析】略
17.【答案】解：．
理由：，分别平分，，
，．
又，
．
在和中，
，
．

【解析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；证明三角形全等是解题的关键．
由，根据角平分线的定义得出，由证明，得出对应边相等即可．
18.【答案】解：证明：因为，
所以．
因为，
所以，即．
在和中，
所以≌．
所以．
因为≌，
所以．
因为，
所以．
【解析】略
19.【答案】证明：，
，
，
在与中，
，
≌，
．
，即．
，且，
∽，
，
，
又与交于点，
即与不平行，
四边形是梯形，
，
梯形是等腰梯形．
【解析】可以先利用全等三角形的判定≌，得出，再证明四边形是梯形，这样就得到了四边形是等腰梯形．
此题主要考查学生对等腰梯形的判定的掌握情况，与此同时也考查到了全等三角形的判定方法，做题将两者结合并灵活运用有利于解此题．
20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
，即，
，，
，
，
．
【解析】根据即可证明：≌；
由可知，再利用即可求出答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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