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第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
一、平行四边形概念
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，平行四边形用“”表示，平行四边形记作“”.
如下图，四边形中AB//CD，AD//CD，则四边形是平行四边形.
二、平行四边形的性质
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴，，，
角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴，
对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴，
三、两条平行线之间的距离
1、两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
2、性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
【题型一】利用平行四边形的性质求边长
【例1.1】如图， ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
解：∵ ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，
设AD为3x，AB为2x，可得：3x+2x＝15，
解得：x＝3，
∴BC＝AD＝9，
故选：A．
【例1.2】在中，和的平分线交于边上的一点E，且，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
解：∵，
∴，
∴，
∵和的平分线交于边上的一点E，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【例1.3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为 ．
解： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，CD＝AB＝，
∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE＝AE＝2，
∵CE2+DE2＝22+12＝5，CD2＝()2＝5，∴CE2+DE2＝CD2，
∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴，
故答案为：2．
【例1.4】如图，在中，对角线与相交于点O，已知，，．求和的长．
解：∵在中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，．
【题型二】利用平行四边形的性质求角
【例2.1】在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：2，则∠D＝( )
A．36° B．108° C．72° D．60°
解：在 ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：2：3，
设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x＝360°，解得x＝36°，
则∠D＝108°．
故选：B．
【例2.2】已知 ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为( )
A．100° B．110° C．120° D．140°
解： 在 ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝140°，∴∠A＝∠C＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝110°．
故选：B．
【例2.3】如图，在平行四边形中，平分且交于点E，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵平行四边形，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【题型三】利用平行四边形的性质求周长
【例3.1】如图，在中，，的周长为19，则的周长为（ ）
A．38 B．18 C．20 D．40
解：∵，的周长为19，即
，
∵四边形是平行四边形，
，，
的周长
故选：C．
【例3.2】如图，点为的对角线的中点，过点与边、分别相交于点、，若，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
故四边形的周长为．
故选：C．
【例3.3】如图，在平行四边形中，对角线、交于，交于，连接．
(1)若的周长为，求平行四边形的周长；
(2)若，平分，试求的度数．
解：（1）解：四边形是平行四边形，
．
，
．
故的周长为，
根据平行四边形的对边相等得，
平行四边形的周长为．
（2），
，
，平分，
，
，
，
，
．
【题型四】利用平行四边形的性质求面积
【例4.1】如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是平行四边形，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，即，
∴，
∴平行四边形的面积是：．
故选：C．
【例4.2】如图，在中，P是边上一点．已知，，则的面积是 cm2．
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：12．
【例4.3】如图，在中，延长到点，使，连结交于点，若，则的面积是
解：如图所示，连接，
四边形是平行四边形，
，
，，
在和中，
，
，
；
，则，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：．
【题型五】利用平行四边形的性质证明
【例5.1】如图，在中，平分交延长线于点E，作，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
（1）证明：在中，有，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）在中，有，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
【例5.2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．
解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
（2）∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC，
∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°，
∴∠AED＝85°．
【例5.3】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G．
（1）求证：AG＝FG；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵∠DAF＝∠FAB，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BA＝BF，
∵BG⊥AF，
∴AG＝GF．
（2）解：结论：△CEF是等腰三角形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，AD∥BC，
∴∠E＝∠BAE，∠CFE＝∠DAF，
∵∠DAF＝∠BAE，
∴∠E＝∠CFE，
∴CE＝CF．
（3）解：如图，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABG中，AG6，
∴AF＝2AG＝12，
∵ BF AH AF BG，
∴AH，
∴S平行四边形ABCD＝BC AH＝144．
【题型六】两平行线间的距离及其应用
【例6.1】如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，，如果，，，那么平行线a、b之间的距离为（ ）
A． B． C． D．不能确定
解：∵，，
∴，
∵
∴平行线a、b之间的距离为，
故选：C．
【例6.2】如图，平行线间的三个图形，下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的面积大 B．三角形的面积大 C．梯形的面积大 D．三个图形的面积相等
解：设该组平行线间的距离为h，
平行四边形的面积，
三角形的面积，
梯形的面积，
∴三个图形的面积相等，
故选：D．
【题型七】平行四边形与平面直角坐标系的综合
【例7.1】如图，已知四边形为平行四边形，在平面直角坐标系中，，则点A的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
解：∵四边形是平行四边形，且
∴
故点A的坐标为，即
故选：A．
【例7.2】在平面直角坐标系中，，再找一点C，使这四点能连成平行四边形，则点C的坐标为 ．
解：设点的坐标为
若这四个点构成平行四边形，由平行四边形的性质可知的中点和的中点重合，
∴ ，解得；
若这四个点构成平行四边形，由平行四边形的性质可知的中点和的中点重合，
∴ ，解得；
若这四个点构成平行四边形，由平行四边形的性质可知的中点和的中点重合，
∴ ，解得；
所以点的坐标为或或
故答案为：或或．
【题型八】平行四边形的折叠问题
【例8.1】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（ ）度．
A．40 B．35 C．30 D．50
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝50°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，
∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，
∴∠AED＝∠AED′＝110°，
∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，
故选：A．
【例8.2】如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
【分析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD＝10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长等于AB+AD，即可解决问题．
【解答】解：∵平行四边形ABCD是周长为20，
∴AB+AD＝10，
由翻折可知：EB＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝10，
故选：C．
1． ABCD中，∠A：∠B＝1：2，则∠C的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
解： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，
∵∠A：∠B＝1：2，∴∠A＝×180°＝60°，
∴∠C＝60°．
故选：C．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，AE＝3，AD＝8，则CD的长为( )
A．4 B．5 C．2 D．3
解： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝8，CD＝AB，
∴∠E＝∠ECD，
∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD，
∴∠E＝∠BCE，
∴BE＝BC＝8，
∴AB＝BE﹣AE＝8﹣3＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
3．的周长为，其对角线交于O点，若的周长比的周长多，则的长是( )
A． B． C． D．
解：∵的周长为，其对角线交于O点，
∴，，，
∵的周长比的周长多，
∴，
∴，
故选：B．
4．如图，，已知直角三角形中，B，C在直线a上，A在直线b上，，，，则点A到直线a的距离为 ．
解：设点A到直线a的距离为h，
∵直角三角形中，，，，
∴，
即，
解得：．
故答案为：
5．如图，在直角坐标系中， OABC的顶点A(1，4)、C(5，0)，则B的坐标为( )
A．(5，4) B．(6，4) C．(6，5) D．(5，6)
解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥OC，AB＝OC，
∵A(1，4)、C(5，0)，∴点B(6，4) ，
故选：B．
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝58°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠EAC＝21°，则∠ACD的度数是( )
A．92° B．82° C．72° D．62°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∠BAD＝180°，AB∥CD，
∵∠B＝58°，∴∠BAD＝122°，
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝61°，
∵∠EAC＝21°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝82°，
∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝82°．
故选：B．
7．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为( )
A．18 B．9 C．6 D．3
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，
∵ ABCD周长为18，∴AD+CD＝9，
∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE＝CD+AE+DE＝AD+CD＝9．
故选：B．
8．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B'处，若∠1＝∠2＝42°，则∠B为（ ）
A．84° B．114° C．116° D．117°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠B'AB＝42°，
∵将 ABCD沿对角线AC折叠，
∴∠BAC＝∠B'AC＝21°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝117°，
故选：D．
9．如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则两平行线与间的距离为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
解：如图，过点P作于F，延长交于点G，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，，
∴，
同理可得，
∴，
∴平行线与之间的距离为8，
故选：D．
10．如图，在中，于点，于点，若的周长为，，．
(1)求和之间的距离及和之间的距离．
(2)求平行四边形的面积．
解：（1）∵四边形为平行四边形，
∴，．
∴和之间的距离，和之间的距离．
（2）∵的周长为，
∴，
又，即．
∴，
∴，
∴，
∴．
11．如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
∴DE＝AC．
12．已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠E＝∠DCM，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE＝CD，
∴AE＝AB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBM＝∠AMB，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴AB＝AM，
∵AB＝AE，AM＝DM，
∴点M是AD的中点，
∴BC＝2AM，
∴BC＝BE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE．
1．如图，在平行四边形中，为边延长线上一点，连接．若的面积为4，则平行四边形和的面积分别为（ ）
A．4，12 B．4，8 C．2，8 D．8，12
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
设点E到的距离为h，
∵的面积为4，
∴，
∴，
∴，
故选D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AC＝10cm，AB＝4cm，BD⊥AB，则BD的长为( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
解：∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO＝AC＝5，
∵BD⊥AB，AB＝4，∴，
∴BD＝2BO＝6，
故选：C．
3．如图，在中，、相交于点O，若，，则的周长为（ ）
A．8 B． C． D．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：C．
4．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣3，0），（0，2），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2）
解：∵平行四边形ABCD，A（1，0）、B（﹣3，0），
∴AB＝4，
∴DC＝4，
∵D（0，2），
∴C（﹣4，2）．
故选：D．
5．如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE＝OF＝1.5，CF＝AE，
∴EF＝OE+OF＝3，
∴四边形EFCD的周长＝DE+EF+CF+CD＝CD+EF+AD＝11．
故选：B．
6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是( )
A．1.5 B．3 C．6 D．4
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，AD∥BC，OC＝OA，∠EOA＝∠FOC，∠EOA＝∠OCF，
在△AOE和△OFC中，∴△AOE≌△OFC(AAS)，
∴S△AOE＝S△OFC，
在△AOB和△DOC中，∴△AOB≌△DOC(SAS)，
∴S△AOB＝S△DOC，
∵AB＝3，AC＝4，AD＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∴S阴影＝S△ABC＝AB AC＝×3×4＝6，
故选：C．
7．平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，2），以A，B，O为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
解：设第四个顶点C的坐标为（x，y），
①当BC＝AO时，
∵O（0，0），A（﹣1，0），B（0，2），
∴AO＝1，
∴BC＝1，
∴C点坐标为C（1，2）或C（﹣1，2）．
②BO＝AC时，
∵BO＝2，
∴AC＝2，
∴C点坐标为C（﹣1，﹣2）．
故选：C．
8．如图，平行四边形ABCD的周长为30，AE⊥BC于E，AF⊥DC的延长线于点F，AE＝4，AF＝6，则平行四边形ABCD的面积是 ．
解：∵平行四边形ABCD的周长为30，
∴AB＝CD，AD＝BC，BC+CD＝15，
设BC为x，则CD＝15﹣x，
∵S平行四边形ABCD＝BC AE＝CD AF，
∴4x＝(15﹣x)×6，解得：x＝9，
∴BC＝9，
∴S平行四边形ABCD＝BC AE＝9×4＝36，
故答案为：36．
9．如图，已知，平行四边形ABCD中，BE⊥CD于E，BE＝AB，∠DAB＝60°，∠DAB的平分线交BC于F，连接EF．则∠EFA的度数等于 ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵AF平分∠∠DAB，∴，
∴∠BAF＝∠AFB＝30°，
∴AB＝BF，
∵BE＝AB，∴BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE，
∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，
∵DAB＝60°，∴∠C＝∠DAB＝60°，
∴∠EBF＝30°，
∴，
∴∠EFA＝∠BFE﹣∠BFA＝45°，
故答案为：45°．
10．已知： ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB＝CD
∴∠ABD＝∠CDB
∵∠BAE＝∠DCF，CD＝AB，∠ABD＝∠BDC
∴△ABE≌△CDF
∴AE＝CF
11．如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点．
(1)求证：；
(2)若点是的中点，，求的周长．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
；
（2）解：∵由（1）可知，，且四边形是平行四边形，
，
又若点是的中点，
，
周长．
12．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠EFC，
∵点E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）证明：∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
∵BE⊥AF，
∴BA＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∵∠DAE＝∠BFA，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴AE平分∠DAB；
（3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4，
∴∠DAE＝∠BAF＝30°，
∵BE⊥AF，
∴BEAB＝2，
∴AEBE＝2，
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE的面积＝△FCE的面积，
∴ ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2AE BE＝22＝4．
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18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
一、平行四边形概念
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，平行四边形用“”表示，平行四边形记作“”.
如下图，四边形中AB//CD，AD//CD，则四边形是平行四边形.
二、平行四边形的性质
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对边平行且相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴，，，
角 平行四边形的对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴，
对角线 平行四边形的对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴，
三、两条平行线之间的距离
1、两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
2、性质：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
【题型一】利用平行四边形的性质求边长
【例1.1】如图， ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
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【例1.2】在中，和的平分线交于边上的一点E，且，，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【例1.3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E．若AE＝2，DE＝1，，则AC的长为 ．
【例1.4】如图，在中，对角线与相交于点O，已知，，．求和的长．
【题型二】利用平行四边形的性质求角
【例2.1】在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：2，则∠D＝( )
A．36° B．108° C．72° D．60°
【例2.2】已知 ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为( )
A．100° B．110° C．120° D．140°
【例2.3】如图，在平行四边形中，平分且交于点E，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【题型三】利用平行四边形的性质求周长
【例3.1】如图，在中，，的周长为19，则的周长为（ ）
A．38 B．18 C．20 D．40
【例3.2】如图，点为的对角线的中点，过点与边、分别相交于点、，若，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【例3.3】如图，在平行四边形中，对角线、交于，交于，连接．
(1)若的周长为，求平行四边形的周长；
(2)若，平分，试求的度数．
【题型四】利用平行四边形的性质求面积
【例4.1】如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【例4.2】如图，在中，P是边上一点．已知，，则的面积是 cm2．
【例4.3】如图，在中，延长到点，使，连结交于点，若，则的面积是
【题型五】利用平行四边形的性质证明
【例5.1】如图，在中，平分交延长线于点E，作，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长．
【例5.2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．
【例5.3】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于F，交DC的延长线于E，过点B作BG⊥AE于点G．
（1）求证：AG＝FG；
（2）判断△CEF的形状，并说明理由；
（3）若AB＝10，AD＝15，BG＝8，求四边形ABCD的面积．
【题型六】两平行线间的距离及其应用
【例6.1】如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，，如果，，，那么平行线a、b之间的距离为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【例6.2】如图，平行线间的三个图形，下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的面积大 B．三角形的面积大
C．梯形的面积大 D．三个图形的面积相等
【题型七】平行四边形与平面直角坐标系的综合
【例7.1】如图，已知四边形为平行四边形，在平面直角坐标系中，，则点A的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
【例7.2】在平面直角坐标系中，，再找一点C，使这四点能连成平行四边形，则点C的坐标为 ．
【题型八】平行四边形的折叠问题
【例8.1】如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′＝（ ）度．
A．40 B．35 C．30 D．50
【例8.2】如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（ ）
A．1 B．5 C．10 D．20
1． ABCD中，∠A：∠B＝1：2，则∠C的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，AE＝3，AD＝8，则CD的长为( )
A．4 B．5 C．2 D．3
3．的周长为，其对角线交于O点，若的周长比的周长多，则的长是( )
A． B． C． D．
4．如图，，已知直角三角形中，B，C在直线a上，A在直线b上，，，，则点A到直线a的距离为 ．
5．如图，在直角坐标系中， OABC的顶点A(1，4)、C(5，0)，则B的坐标为( )
A．(5，4) B．(6，4) C．(6，5) D．(5，6)
6．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝58°，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠EAC＝21°，则∠ACD的度数是( )
A．92° B．82° C．72° D．62°
7．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，周长为18，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连结CE，则△CDE的周长为( )
A．18 B．9 C．6 D．3
8．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B'处，若∠1＝∠2＝42°，则∠B为（ ）
A．84° B．114° C．116° D．117°
9．如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则两平行线与间的距离为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
10．如图，在中，于点，于点，若的周长为，，．
(1)求和之间的距离及和之间的距离．
(2)求平行四边形的面积．
11．如图，在 ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED．若AE＝AB，求证：AC＝DE．
12．已知：如图在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM，CM、BA的延长线相交于点E，BM平分∠ABC．求证：BM⊥CE．
1．如图，在平行四边形中，为边延长线上一点，连接．若的面积为4，则平行四边形和的面积分别为（ ）
A．4，12 B．4，8 C．2，8 D．8，12
2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AC＝10cm，AB＝4cm，BD⊥AB，则BD的长为( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
3．如图，在中，、相交于点O，若，，则的周长为（ ）
A．8 B． C． D．
4．如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（1，0），（﹣3，0），（0，2），则顶点C的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（﹣4，2）
5．如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是( )
A．1.5 B．3 C．6 D．4
7．平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（0，2），以A，B，O为顶点作平行四边形，第四个顶点的坐标不可能是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
8．如图，平行四边形ABCD的周长为30，AE⊥BC于E，AF⊥DC的延长线于点F，AE＝4，AF＝6，则平行四边形ABCD的面积是 ．
9．如图，已知，平行四边形ABCD中，BE⊥CD于E，BE＝AB，∠DAB＝60°，∠DAB的平分线交BC于F，连接EF．则∠EFA的度数等于 ．
10．已知： ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、CF，若∠BAE＝∠DCF．求证：AE＝CF．
11．如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点．
(1)求证：；
(2)若点是的中点，，求的周长．
12．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
