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第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
一、平行四边形的判定
1、平行四边形的判定方法
判定方法 数学语言 图形
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） ∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形 ABCD 是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB = CD，AD = CB ∴四边形ABCD 是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB∥CD，AB = CD ∴四边形ABCD 是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A =∠C，∠B =∠D ∴四边形 ABCD 是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是 平行四边形. ∵AO = CO，DO = BO ∴四边形ABCD 是平行四边形
【题型一】根据边、角判定平行四边形
【例1.1】如图，能判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解：A. ，；无法判定为平行四边形，本选项不合题意；
B. ，；无法判定为平行四边形，本选项不合题意；
C. ，；无法判定为平行四边形，本选项不合题意；
D. ，；两组对边分别相等的四边形为平行四边形，本选项符合题意．
故选：D．
【例1.2】如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．求证：四边形DBEC是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF＝∠FEB，∠DCF＝∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△DCF和△EBF中，
，
∴△EBF≌△DCF（AAS），
∴DC＝BE，
∴四边形BECD是平行四边形．
【例1.3】如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB＝CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【例1.4】如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠DCB＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠D+∠DCB＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【例1.5】如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点在对角线上，且．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点分别是的中点，
∴，，
∴，
在中，
，
∴．
（2）证明：由（1）可知，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【题型二】根据对角线判定平行四边形
【例2.1】如图，四边形的对角线交于点O，，，求证：四边形是平行四边形．
证明：在和在中，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
【例2.2】已知，如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
证明：如图，连接BD，与AC交于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
又OB＝OD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【例2.3】如图，已知在矩形中，E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，连接和．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
（1）解：在矩形中，，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，又，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴．
【题型三】平行四边形的性质与判定综合
【例3.1】如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形，其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
解： ∵DE＝BF，∴DF＝BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，∴Rt△DCF≌Rt△BAE(HL)，
∴FC＝EA，故①正确；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥FC，
∵FC＝EA，∴四边形CFAE是平行四边形，
∴EO＝FO，故②正确；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，∴∠CDF＝∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD＝AB，∴四边形ABCD是平行四边形，故③正确；
由以上可得出：△CDF≌△ABE，△CDO≌△ABO，△CDE≌△BAF，
△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△BOC等．故④错误．
故正确的有3个．
故选：B．
【例3.2】如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
证明：(1)在 ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC．
∵F是AD的中点，∴．
又∵CE＝BC，∴DF＝CE，
∵DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形；
(2)解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在 ABCD中，∵∠B＝60°，AB∥DC，∴∠B＝∠DCE，
∴∠DCE＝60°．
∵AB＝4，∴CD＝AB＝4，
∴CH＝CD＝2，DH＝2．
在 CEDF中，CE＝DF＝AD＝3，则EH＝1．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知．
【例3.3】如图，点、是对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求四边形的面积．
（1）证明：如图，连接，交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
即，
又，
四边形是平行四边形．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
．
【题型四】平行四边形的动点问题
【例4.1】在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为(5，0)，(2，3)，若以O，A，P，B为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 ．
解：设P(x，y)，分三种情况：
①当OA为对角线时，则，解得x＝3，y＝﹣3，∴P(3，﹣3)；
②当OB为对角线时，则，解得x＝﹣3，y＝3，∴P(﹣3，3)；
③当OP为对角线时，则，解得x＝7，y＝3，∴P(7，3)，
综上，满足条件的点P坐标为(3，﹣3)或(﹣3，3)或(7，3)，
故答案为：(3，﹣3)或(﹣3，3)或(7，3)．
【例4.2】 (1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝8cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒(x＞0)，求当x为多少秒时，四边形PQCD变为平行四边形．
(2)如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒(t＞0)，求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．
解： (1)当四边形PQCD为平行四边形时，
则PD＝CQ，
∴6﹣0.5x＝2x，解得，
∴x＝时，四边形PQCD变为平行四边形；
(2)由题意知，AP＝0.5tcm，CQ＝2tcm，
∴PD＝(6﹣0.5t)cm，
当以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，PD＝BQ，
当0＜t＜3时，6﹣0.5t＝6﹣2t，解得t＝0(舍去)；
当3＜t≤6时，BQ＝(2t﹣6)cm，
∴2t﹣6＝6﹣0.5t，解得t＝4.8；
当6＜t≤9时，BQ＝(18﹣2t)cm，
∴18﹣2t＝6﹣0.5t，解得t＝8；
当9＜t≤12时，BQ＝(2t﹣18)cm，
∴2t﹣18＝6﹣0.5t，解得t＝9.6，
综上所述：t＝4.8或8或9.6，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
1．如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；
B中由可得，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求；
C中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；
∵，
∴，
D中由可得，，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求；
故选：B．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC
解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
3．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是，∠A：∠B：∠C：∠D的值为( )
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．故选：D．
4．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC；⑤∠A＝∠C，∠B＝∠D；⑥∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有( )
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
解：①根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判定这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判定这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判定这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判定这个四边形是平行四边形；
⑤根据平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可知⑤能判定这个四边形是平行四边形；
⑥∵∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°，
∴AD∥BC，AB∥CD，
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知⑥能判定这个四边形是平行四边形；
∴一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有5组，
故选：C．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形．
解：设点P运动了t秒，
∴CQ＝tcm，AP＝2tcm，BQ＝（15﹣t）cm，PD＝（18﹣2t）cm，
①当BQ＝AP时，且AD∥BC，则四边形APQB是平行四边形，
即15﹣t＝2t，
∴t＝5；
②当CQ＝PD时，且AD∥BC，则四边形CQPD是平行四边形，
即t＝18﹣2t，
∴t＝6，
综上所述：当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时，点P运动了5秒或6秒，
故答案为：5或6．
6．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABEO是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD和四边形DOEC都是平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝CD，OE∥CE且OE＝DC，
∴AB∥OE且AB＝OE．
∴四边形ABEO是平行四边形．
7．如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，
∵△ABE和△CDF是等边三角形，
∴BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，
∴∠DCB﹣∠DCF＝∠DAB﹣∠BAE，
即∠DAE＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，
又∵BE＝DF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
8．如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，
（1）求证；四边形ABCD为平行四边形；
（2）求四边形ABCD的面积．
（1）证明：∵∠ADB＝90°，
∴AO13，
∵AC＝26，
∴CO＝AO＝13，
∵OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝2OD＝10，
∴四边形ABCD的面积＝AD×BD＝12×10＝120．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）AP＝ ，BQ＝ ，（分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
解：（1）∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，
∴AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∴BQ＝（15﹣3t）cm，
故答案为：t，3t；
（2）设点A到BC的距离为h，
∵四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍，
∴（12﹣t+3t）×h＝2（t+15﹣3t）×h，
∴t＝3；
（3）若四边形APQB是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴t＝15﹣3t，
∴t；
若四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝CQ，
∴12﹣t＝3t，
∴t＝3，
若四边形APCQ是平行四边形，
∴AP＝CQ，
∴t＝3t，
∴t＝0（不合题意舍去），
若四边形PDQB是平行四边形，
∴PD＝BQ，
∴12﹣t＝15﹣3t，
∴t，
综上所述：当t或3或时，点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
10．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．
(1)求证：四边形BECF为平行四边形；
(2)若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长．
(1)证明：∵AD是等边△ABC的BC边上的高，
∴BD＝DC，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵∠AED＝30°，
∴ED＝AD，∠ADF＝∠AED+∠EAD＝60°，
∵AF⊥AB，∴∠DAF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣30°＝60°，
∴△ADF为等边三角形，
∴AD＝DF，
∵ED＝AD，∴ED＝DF，
∵BD＝DC，
∴四边形BECF为平行四边形；
(2)∵AB＝6，∴BD＝3，AD＝3，
∵△ADF为等边三角形，∴AF＝AD＝3，
∴，
∵∠ABC＝60°，∠AED＝30°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝3，
∴四边形BECF的周长为：2(BF+BE)＝2(3+3)＝6+6．
二、三角形的中位线
1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC，且DE =BC．
3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段.
4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半.
5、三角形的中线与中位线
相同点：都是与中点有关的线段.
不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
【题型一】一条中位线问题
【例1.1】如图，是的中线，，分别是，的中点，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
解：∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
故选：A．
【例1.2】如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝EB，OE＝3，AB＝5， ABCD的周长( )
A．11 B．13 C．16 D．22
解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OC，AD＝BC，AB＝CD＝5，
∵AE＝EB，OE＝3，∴BC＝2OE＝6，
∴ ABCD的周长＝2×(AB+BC)＝22．
故选：D．
【例1.3】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EH⊥AC，垂足为H，与AF交于点G，若，则EG的长为 ．
解：如图，连接EF，
∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△BAC的中位线，
∴，EF∥AC，
∵EH⊥AC，∴EH⊥EF，即∠GEF＝90°，
在Rt△GEF中，由勾股定理得．
故答案为：6．
【例1.4】已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝2，则AC的长等于 ．
解：过D点作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD＝BE＝2，则DF＝1，，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴△ABG≌△DBG(ASA)，
∴AG＝DG，
∴G为AD中点，∴E为AF中点，
∴AE＝EF＝CF，
∴．
故答案为：．
【题型二】多条中位线问题
【例2.1】如图，在中，，，，点，，分别是的三边，，的中点，则的周长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
解：∵点，，分别是的三边，，的中点，
∴分别是的中位线，
∵，，，
∴，
∴的周长，
故选：D．
【例2.2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝10°，∠ACB＝66°，则∠FEG等于 ．
解： ∵E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，
∴EG、FG分别是△ABC和△ADC两个三角形的中位线，
∴EG∥BC，FG∥AD，EG＝BC，FG＝AD，
∵AD＝BC，∴EG＝FG，
∵EG∥BC，FG∥AD，∴∠FGC＝∠DAC＝10°，∠EGC＝180°﹣∠ACB＝114°，
∴∠EGF＝∠FGC+∠EGC＝124°，
∵EG＝FG，∴．
故答案为：28°．
【例2.3】如图，在凸四边形中，，M，N分别为中点，则线段的值不可能是（ ）
A．1 B．4 C．8 D．12
解：连接，取中点G，连接，
∵M是边的中点，
∴是的中位线，，
，
∵N是的中点，
∴是的中位线，，
，
在中，由三角形三边关系可知，即，
∴，
当时，即，
故线段长的取值范围是，
线段的值不可能是1．
故选：A．
1．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB＝5，则OE的长是( )
A．2.5 B． C．1 D．
解： 在 ABCD中，AC与BD相交于点O，∴BO＝DO，
∵点E是边BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB＝2.5．
故选：A．
2．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，为上一点，为的中点．若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
解：连接，如图：
四边形是正方形，且，，
，，
在中，根据勾股定理得：
，
又点是的中点，点为的中点，
是的中位线，
，
故选B．
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线的中点，点E和点F分别是AB与CD的中点．若∠PEF＝20°，则∠EPF的度数是( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．
∴∠PEF＝∠PFE＝20°，
∴∠EPF＝180°﹣2∠PEF＝140°．
故选：D．
4．如图，平行四边形ABCD中，O为对角线交点，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，AB＝7，AD＝10，则OP＝ ．
解：延长DP交BC于Q，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，CD＝AB＝7，BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，∠ADP＝∠CQD，
∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，
∴∠ADP＝∠CDQ＝∠ADC，∠DCP＝∠QCP＝∠BCD，
∴∠CQD＝∠CDQ，
∴CQ＝CD＝7，
∴BQ＝BC﹣CQ＝3，
∵∠CDQ+∠DCP＝ (∠ADC+∠BCD)＝×180°＝90°，
∴CP⊥DQ，∴DP＝QP，
∵OB＝OD，∴OP是△BDQ的中位线，
∴OP＝BQ＝1.5，
故答案为：1.5．
5．在中，点是的中点，平分，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（1）解：延长交于，
平分，于点，
，，
在和中，
，
．
，
点是的中点，
，
是的中位线．
；
（2），
，
是的中位线．
，
故的长为1．
1．能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD
解： A、AB∥CD，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形；故本选项错误；
B、AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD为平行四边形；故本选项正确；
C、∠A＝∠B，∠C＝∠D，则四边形为等腰梯形或矩形；故本选项错误；
D、AB＝AD，CB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形；故本选项错误．
故选：B．
2．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故B正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故C正确，不符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵，
∴，
∴；
∴；
∴；
∴四边形是平行四边形，故D正确，不符合题意；
添加后，不能得出，进而得不出四边形是平行四边形，故A不能；
故选：A．
3．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．不确定
解：，在平行四边形中，，
∴，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴
故选：B
4．如图，在平面直角坐标系中点A，B的坐标分别是A(1，1)，B(2，﹣2)，再找一点C，使它与点A，B，O构成的四边形是平行四边形，则点C的坐标不可能是( )
A．(﹣1，3) B．(3，﹣1) C．(1，﹣3) D．(﹣2，3)
解：如图所示，观察图象可知，满足条件的点C有三个，坐标分别为(﹣1，3)或(3，﹣1)或(1，﹣3)，∴点C的坐标不可能是(﹣2，3)，故选：D．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？( )
A．2秒 B．2秒或3秒 C．2秒或4秒 D．4秒
解：设点P、Q运动的时间为t秒，依题意得CQ＝t，BQ＝6﹣t，AP＝2t，
PD＝9﹣2t，
①当BQ＝AP时，四边形APQB是平行四边形，即6﹣t＝2t，解得t＝2．
②当CQ＝PD时，四边形CQPD是平行四边形，即t＝9﹣2t，解得，t＝3，
所以经过2秒或3秒后，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形．
故选：B．
6．在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是平行四边形．添加的条件是 ．
解：由于对角线互相平分的四边形为平行四边形，
，
故添加条件为：．
故答案为：．
7．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形；其中正确的结论是 ．
解：∵DE＝BF，∴DF＝BE，
在Rt△DCF和Rt△BAE中，∴Rt△DCF≌Rt△BAE(HL)，
∴CF＝AE，故①正确；
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥FC，
∵CF＝AE，∴四边形CFAE是平行四边形，
∴OE＝OF，故②正确；
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，∴∠CDF＝∠ABE，
∴CD∥AB，
∵CD＝AB，∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确；
由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等，故③错误；
∴正确的有3个，
故答案为：①②④．
8．已知平行四边形，对角线和相交于点，是延长线上一点，连接交于点，，，则的长为 ．
解：如图，取的中点G，连接
∵平行四边形，对角线和相交于点，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
取的中点H，连接
则，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
解：当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm，
则CF=BC-BF=（8-3t）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t=8-3t，
解得：t=2；
当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=t cm，BF=3t cm，
则CF=BF-BC=（3t-8）cm，
∵AG∥BC，
∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t=3t-8，
解得：t=4；
综上可得：当t=2或4s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
10．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点．
（1）求证：OD＝OC．
（2）求证：四边形AFBE平行四边形．
证明：（1）∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OD＝OC；
（2）∵OD＝OC，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴OFOD，OEOC，
∴EO＝FO，
又∵OA＝OB，
∴四边形AFBE是平行四边形．
11．如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接BD交EF于点O，当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长．
(1)证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，∴OE＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：∵BE⊥AC，∴∠BEF＝90°，
在Rt△BEF中，
∴OE＝OF＝3，
在Rt△BEO中，
∴BD＝2OB＝2．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
（1）证明：因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD+∠DCB＝90°，
因为∠ADC+∠DCB＝90°，
所以∠ACD＝∠ADC，
所以AC＝AD，即△ACD为等腰三角形，
因为AE平分∠CAB，
所以AE⊥CD，CE＝DE，
所以AE垂直平分CD；
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
所以AB10，AD＝AC＝6，
所以BD＝AB﹣AD＝4，
因为点E为CD中点，点F为BC中点，
所以EF为△CBD的中位线，
所以EFBD＝2．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
（1）①证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
②同理可证△AOD≌△COB，
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵EF⊥BD，
∴BE＝BF，
∴∠OBF＝∠OBE＝32°，
∴∠EBF＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝80°﹣64°＝16°．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
一、平行四边形的判定
1、平行四边形的判定方法
判定方法 数学语言 图形
边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（定义） ∵AB∥CD，AD∥BC ∴四边形 ABCD 是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AB = CD，AD = CB ∴四边形ABCD 是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵ AB∥CD，AB = CD ∴四边形ABCD 是平行四边形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形. ∵∠A =∠C，∠B =∠D ∴四边形 ABCD 是平行四边形
对角线 对角线互相平分的四边形是 平行四边形. ∵AO = CO，DO = BO ∴四边形ABCD 是平行四边形
【题型一】根据边、角判定平行四边形
【例1.1】如图，能判定四边形为平行四边形的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
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【例1.2】如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作CD∥AB，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD．求证：四边形DBEC是平行四边形．
【例1.3】如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【例1.4】如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【例1.5】如图，在平行四边形中，点分别是的中点，点在对角线上，且．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
【题型二】根据对角线判定平行四边形
【例2.1】如图，四边形的对角线交于点O，，，求证：四边形是平行四边形．
【例2.2】已知，如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【例2.3】如图，已知在矩形中，E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，连接和．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
【题型三】平行四边形的性质与判定综合
【例3.1】如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形，其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【例3.2】如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．
【例3.3】如图，点、是对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求四边形的面积．
【题型四】平行四边形的动点问题
【例4.1】在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为(5，0)，(2，3)，若以O，A，P，B为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为 ．
【例4.2】 (1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝8cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB方向运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了x秒(x＞0)，求当x为多少秒时，四边形PQCD变为平行四边形．
(2)如图2，若四边形ABCD变为平行四边形ABCD，AD＝BC＝6cm，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向D点运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度在BC间往返运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设P、Q两点同时出发，并运动了t秒(t＞0)，求当t为多少秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形．
1．如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD∥BC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AB＝CD，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC
3．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是，∠A：∠B：∠C：∠D的值为( )
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．1：2：1：2
4．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC；⑤∠A＝∠C，∠B＝∠D；⑥∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有( )
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝18 cm，BC＝15 cm，点P在AD边上以每秒2 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1 cm的速度从点C向点B运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为 秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形．
6．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连接BE．求证：四边形ABEO是平行四边形．
7．如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形．
8．如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝90°，AD＝12，DO＝OB＝5，AC＝26，
（1）求证；四边形ABCD为平行四边形；
（2）求四边形ABCD的面积．
9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以3cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）AP＝ ，BQ＝ ，（分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形PQCD的面积是四边形ABQP面积的2倍时，求出t的值．
（3）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
10．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB的延长线上，连接ED，∠AED＝30°，过A作AF⊥AB与ED的延长线交于点F，连接BF，CF，CE．
(1)求证：四边形BECF为平行四边形；
(2)若AB＝6，请直接写出四边形BECF的周长．
二、三角形的中位线
1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
几何语言：在 △ABC中，∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
几何语言：∵ D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
∴ DE∥BC，且DE =BC．
3、一个三角形有三条中位线，如图DE,DF,EF都是△ABC的中位线，中位线是一条线段.
4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半.
5、三角形的中线与中位线
相同点：都是与中点有关的线段.
不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
【题型一】一条中位线问题
【例1.1】如图，是的中线，，分别是，的中点，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【例1.2】如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝EB，OE＝3，AB＝5， ABCD的周长( )
A．11 B．13 C．16 D．22
【例1.3】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EH⊥AC，垂足为H，与AF交于点G，若，则EG的长为 ．
【例1.4】已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝2，则AC的长等于 ．
【题型二】多条中位线问题
【例2.1】如图，在中，，，，点，，分别是的三边，，的中点，则的周长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【例2.2】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝10°，∠ACB＝66°，则∠FEG等于 ．
【例2.3】如图，在凸四边形中，，M，N分别为中点，则线段的值不可能是（ ）
A．1 B．4 C．8 D．12
1．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB＝5，则OE的长是( )
A．2.5 B． C．1 D．
2．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，为上一点，为的中点．若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线的中点，点E和点F分别是AB与CD的中点．若∠PEF＝20°，则∠EPF的度数是( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
4．如图，平行四边形ABCD中，O为对角线交点，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，AB＝7，AD＝10，则OP＝ ．
5．在中，点是的中点，平分，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
1．能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD＝BC B．AB＝CD，AD＝BC
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD
2．如图，平行四边形中，E，F是对角线上的两点，如果添加一个条件使四边形是平行四边形，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．不确定
4．如图，在平面直角坐标系中点A，B的坐标分别是A(1，1)，B(2，﹣2)，再找一点C，使它与点A，B，O构成的四边形是平行四边形，则点C的坐标不可能是( )
A．(﹣1，3) B．(3，﹣1) C．(1，﹣3) D．(﹣2，3)
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝9cm，BC＝6cm，点P在AD边上以每秒2cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒1cm的速度从点C向点B运动，几秒时，直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形？( )
A．2秒 B．2秒或3秒 C．2秒或4秒 D．4秒
6．在四边形中，，请再添加一个条件，使四边形是平行四边形．添加的条件是 ．
7．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE＝BF，则下列结论：①CF＝AE；②OE＝OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形；其中正确的结论是 ．
8．已知平行四边形，对角线和相交于点，是延长线上一点，连接交于点，，，则的长为 ．
9．如图，在等边中，，射线，点从点出发沿射线以的速度运动；点从点出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当为 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
10．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA＝OB，E、F分别是OC，OD中点．
（1）求证：OD＝OC．
（2）求证：四边形AFBE平行四边形．
11．如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)连接BD交EF于点O，当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．
（1）求证：AE垂直平分CD；
（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：①△AOE≌△COF；②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．
